Theorem ivthdichlem 14971

Description: Lemma for ivthdich 14973. The result, with a few notational conveniences. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
hover.f	|- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )
ivthdichlem.z	|- ( ph -> Z e. RR )
ivthdichlem.i	|- ( ph -> A. f ( f e. ( RR -cn-> RR ) -> A. a e. RR A. b e. RR ( ( a < b /\ ( f ` a ) < 0 /\ 0 < ( f ` b ) ) -> E. x e. RR ( a < x /\ x < b /\ ( f ` x ) = 0 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ivthdichlem	|- ( ph -> ( Z <_ 0 \/ 0 <_ Z ) )

Distinct variable groups:   F, a, b, f, x   Z, a, b, f, x   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( f, a, b)

Proof of Theorem ivthdichlem

Dummy variable c is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivthdichlem.z	. . . 4 |- ( ph -> Z e. RR )
2		peano2rem 8310	. . . 4 |- ( Z e. RR -> ( Z - 1 ) e. RR )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( Z - 1 ) e. RR )
4		2re 9077	. . . . 5 |- 2 e. RR
5	4	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> 2 e. RR )
6	1, 5	readdcld 8073	. . 3 |- ( ph -> ( Z + 2 ) e. RR )
7	1	ltm1d 8976	. . . 4 |- ( ph -> ( Z - 1 ) < Z )
8		2rp 9750	. . . . . 6 |- 2 e. RR+
9	8	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
10	1, 9	ltaddrpd 9822	. . . 4 |- ( ph -> Z < ( Z + 2 ) )
11	3, 1, 6, 7, 10	lttrd 8169	. . 3 |- ( ph -> ( Z - 1 ) < ( Z + 2 ) )
12		hover.f	. . . . 5 |- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )
13	12	hovercncf 14966	. . . 4 |- F e. ( RR -cn-> RR )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> F e. ( RR -cn-> RR ) )
15	12	hovera 14967	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> ( F ` ( Z - 1 ) ) < Z )
16	1, 15	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` ( Z - 1 ) ) < Z )
17	12	hoverb 14968	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> Z < ( F ` ( Z + 2 ) ) )
18	1, 17	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> Z < ( F ` ( Z + 2 ) ) )
19	16, 18	jca 306	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` ( Z - 1 ) ) < Z /\ Z < ( F ` ( Z + 2 ) ) ) )
20		ivthdichlem.i	. . 3 |- ( ph -> A. f ( f e. ( RR -cn-> RR ) -> A. a e. RR A. b e. RR ( ( a < b /\ ( f ` a ) < 0 /\ 0 < ( f ` b ) ) -> E. x e. RR ( a < x /\ x < b /\ ( f ` x ) = 0 ) ) ) )
21	3, 6, 1, 11, 14, 19, 20	ivthreinc 14965	. 2 |- ( ph -> E. c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) ( F ` c ) = Z )
22		0red 8044	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> 0 e. RR )
23		1red 8058	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> 1 e. RR )
24		elioore 10004	. . . . . 6 |- ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) -> c e. RR )
25	24	ad2antrl 490	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> c e. RR )
26		0lt1 8170	. . . . . 6 |- 0 < 1
27		axltwlin 8111	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ c e. RR ) -> ( 0 < 1 -> ( 0 < c \/ c < 1 ) ) )
28	26, 27	mpi 15	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ c e. RR ) -> ( 0 < c \/ c < 1 ) )
29	22, 23, 25, 28	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> ( 0 < c \/ c < 1 ) )
30	29	orcomd 730	. . 3 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> ( c < 1 \/ 0 < c ) )
31		simplrr 536	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) /\ c < 1 ) -> ( F ` c ) = Z )
32	12	hoverlt1 14969	. . . . . . 7 |- ( ( c e. RR /\ c < 1 ) -> ( F ` c ) <_ 0 )
33	25, 32	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) /\ c < 1 ) -> ( F ` c ) <_ 0 )
34	31, 33	eqbrtrrd 4058	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) /\ c < 1 ) -> Z <_ 0 )
35	34	ex 115	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> ( c < 1 -> Z <_ 0 ) )
36	12	hovergt0 14970	. . . . . . 7 |- ( ( c e. RR /\ 0 < c ) -> 0 <_ ( F ` c ) )
37	25, 36	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) /\ 0 < c ) -> 0 <_ ( F ` c ) )
38		simplrr 536	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) /\ 0 < c ) -> ( F ` c ) = Z )
39	37, 38	breqtrd 4060	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) /\ 0 < c ) -> 0 <_ Z )
40	39	ex 115	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> ( 0 < c -> 0 <_ Z ) )
41	35, 40	orim12d 787	. . 3 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> ( ( c < 1 \/ 0 < c ) -> ( Z <_ 0 \/ 0 <_ Z ) ) )
42	30, 41	mpd 13	. 2 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> ( Z <_ 0 \/ 0 <_ Z ) )
43	21, 42	rexlimddv 2619	1 |- ( ph -> ( Z <_ 0 \/ 0 <_ Z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   /\ w3a 980   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   {cpr 3624   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   supcsup 7057  infcinf 7058   RRcr 7895   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   < clt 8078   <_ cle 8079   - cmin 8214   2c2 9058   RR+crp 9745   (,)cioo 9980   -cn->ccncf 14890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016  ax-addf 8018

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-map 6718  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-xneg 9864  df-xadd 9865  df-ioo 9984  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-rest 12943  df-topgen 12962  df-psmet 14175  df-xmet 14176  df-met 14177  df-bl 14178  df-mopn 14179  df-top 14318  df-topon 14331  df-bases 14363  df-cn 14508  df-cnp 14509  df-tx 14573  df-cncf 14891

This theorem is referenced by:  ivthdich  14973