Theorem ivthdichlem 14887

Description: Lemma for ivthdich 14889. The result, with a few notational conveniences. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
hover.f	|- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )
ivthdichlem.z	|- ( ph -> Z e. RR )
ivthdichlem.i	|- ( ph -> A. f ( f e. ( RR -cn-> RR ) -> A. a e. RR A. b e. RR ( ( a < b /\ ( f ` a ) < 0 /\ 0 < ( f ` b ) ) -> E. x e. RR ( a < x /\ x < b /\ ( f ` x ) = 0 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ivthdichlem	|- ( ph -> ( Z <_ 0 \/ 0 <_ Z ) )

Distinct variable groups:   F, a, b, f, x   Z, a, b, f, x   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( f, a, b)

Proof of Theorem ivthdichlem

Dummy variable c is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivthdichlem.z	. . . 4 |- ( ph -> Z e. RR )
2		peano2rem 8293	. . . 4 |- ( Z e. RR -> ( Z - 1 ) e. RR )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( Z - 1 ) e. RR )
4		2re 9060	. . . . 5 |- 2 e. RR
5	4	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> 2 e. RR )
6	1, 5	readdcld 8056	. . 3 |- ( ph -> ( Z + 2 ) e. RR )
7	1	ltm1d 8959	. . . 4 |- ( ph -> ( Z - 1 ) < Z )
8		2rp 9733	. . . . . 6 |- 2 e. RR+
9	8	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
10	1, 9	ltaddrpd 9805	. . . 4 |- ( ph -> Z < ( Z + 2 ) )
11	3, 1, 6, 7, 10	lttrd 8152	. . 3 |- ( ph -> ( Z - 1 ) < ( Z + 2 ) )
12		hover.f	. . . . 5 |- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )
13	12	hovercncf 14882	. . . 4 |- F e. ( RR -cn-> RR )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> F e. ( RR -cn-> RR ) )
15	12	hovera 14883	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> ( F ` ( Z - 1 ) ) < Z )
16	1, 15	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` ( Z - 1 ) ) < Z )
17	12	hoverb 14884	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> Z < ( F ` ( Z + 2 ) ) )
18	1, 17	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> Z < ( F ` ( Z + 2 ) ) )
19	16, 18	jca 306	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` ( Z - 1 ) ) < Z /\ Z < ( F ` ( Z + 2 ) ) ) )
20		ivthdichlem.i	. . 3 |- ( ph -> A. f ( f e. ( RR -cn-> RR ) -> A. a e. RR A. b e. RR ( ( a < b /\ ( f ` a ) < 0 /\ 0 < ( f ` b ) ) -> E. x e. RR ( a < x /\ x < b /\ ( f ` x ) = 0 ) ) ) )
21	3, 6, 1, 11, 14, 19, 20	ivthreinc 14881	. 2 |- ( ph -> E. c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) ( F ` c ) = Z )
22		0red 8027	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> 0 e. RR )
23		1red 8041	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> 1 e. RR )
24		elioore 9987	. . . . . 6 |- ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) -> c e. RR )
25	24	ad2antrl 490	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> c e. RR )
26		0lt1 8153	. . . . . 6 |- 0 < 1
27		axltwlin 8094	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ c e. RR ) -> ( 0 < 1 -> ( 0 < c \/ c < 1 ) ) )
28	26, 27	mpi 15	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ c e. RR ) -> ( 0 < c \/ c < 1 ) )
29	22, 23, 25, 28	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> ( 0 < c \/ c < 1 ) )
30	29	orcomd 730	. . 3 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> ( c < 1 \/ 0 < c ) )
31		simplrr 536	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) /\ c < 1 ) -> ( F ` c ) = Z )
32	12	hoverlt1 14885	. . . . . . 7 |- ( ( c e. RR /\ c < 1 ) -> ( F ` c ) <_ 0 )
33	25, 32	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) /\ c < 1 ) -> ( F ` c ) <_ 0 )
34	31, 33	eqbrtrrd 4057	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) /\ c < 1 ) -> Z <_ 0 )
35	34	ex 115	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> ( c < 1 -> Z <_ 0 ) )
36	12	hovergt0 14886	. . . . . . 7 |- ( ( c e. RR /\ 0 < c ) -> 0 <_ ( F ` c ) )
37	25, 36	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) /\ 0 < c ) -> 0 <_ ( F ` c ) )
38		simplrr 536	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) /\ 0 < c ) -> ( F ` c ) = Z )
39	37, 38	breqtrd 4059	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) /\ 0 < c ) -> 0 <_ Z )
40	39	ex 115	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> ( 0 < c -> 0 <_ Z ) )
41	35, 40	orim12d 787	. . 3 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> ( ( c < 1 \/ 0 < c ) -> ( Z <_ 0 \/ 0 <_ Z ) ) )
42	30, 41	mpd 13	. 2 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> ( Z <_ 0 \/ 0 <_ Z ) )
43	21, 42	rexlimddv 2619	1 |- ( ph -> ( Z <_ 0 \/ 0 <_ Z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   /\ w3a 980   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   {cpr 3623   class class class wbr 4033   |-> cmpt 4094   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   supcsup 7048  infcinf 7049   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   < clt 8061   <_ cle 8062   - cmin 8197   2c2 9041   RR+crp 9728   (,)cioo 9963   -cn->ccncf 14806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999  ax-addf 8001

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-map 6709  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-xneg 9847  df-xadd 9848  df-ioo 9967  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-rest 12912  df-topgen 12931  df-psmet 14099  df-xmet 14100  df-met 14101  df-bl 14102  df-mopn 14103  df-top 14234  df-topon 14247  df-bases 14279  df-cn 14424  df-cnp 14425  df-tx 14489  df-cncf 14807

This theorem is referenced by:  ivthdich  14889