Theorem ivthdichlem 14805

Description: Lemma for ivthdich 14807. The result, with a few notational conveniences. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
hover.f	|- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )
ivthdichlem.z	|- ( ph -> Z e. RR )
ivthdichlem.i	|- ( ph -> A. f ( f e. ( RR -cn-> RR ) -> A. a e. RR A. b e. RR ( ( a < b /\ ( f ` a ) < 0 /\ 0 < ( f ` b ) ) -> E. x e. RR ( a < x /\ x < b /\ ( f ` x ) = 0 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ivthdichlem	|- ( ph -> ( Z <_ 0 \/ 0 <_ Z ) )

Distinct variable groups:   F, a, b, f, x   Z, a, b, f, x   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( f, a, b)

Proof of Theorem ivthdichlem

Dummy variable c is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivthdichlem.z	. . . 4 |- ( ph -> Z e. RR )
2		peano2rem 8286	. . . 4 |- ( Z e. RR -> ( Z - 1 ) e. RR )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( Z - 1 ) e. RR )
4		2re 9052	. . . . 5 |- 2 e. RR
5	4	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> 2 e. RR )
6	1, 5	readdcld 8049	. . 3 |- ( ph -> ( Z + 2 ) e. RR )
7	1	ltm1d 8951	. . . 4 |- ( ph -> ( Z - 1 ) < Z )
8		2rp 9724	. . . . . 6 |- 2 e. RR+
9	8	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
10	1, 9	ltaddrpd 9796	. . . 4 |- ( ph -> Z < ( Z + 2 ) )
11	3, 1, 6, 7, 10	lttrd 8145	. . 3 |- ( ph -> ( Z - 1 ) < ( Z + 2 ) )
12		hover.f	. . . . 5 |- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )
13	12	hovercncf 14800	. . . 4 |- F e. ( RR -cn-> RR )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> F e. ( RR -cn-> RR ) )
15	12	hovera 14801	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> ( F ` ( Z - 1 ) ) < Z )
16	1, 15	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` ( Z - 1 ) ) < Z )
17	12	hoverb 14802	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> Z < ( F ` ( Z + 2 ) ) )
18	1, 17	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> Z < ( F ` ( Z + 2 ) ) )
19	16, 18	jca 306	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` ( Z - 1 ) ) < Z /\ Z < ( F ` ( Z + 2 ) ) ) )
20		ivthdichlem.i	. . 3 |- ( ph -> A. f ( f e. ( RR -cn-> RR ) -> A. a e. RR A. b e. RR ( ( a < b /\ ( f ` a ) < 0 /\ 0 < ( f ` b ) ) -> E. x e. RR ( a < x /\ x < b /\ ( f ` x ) = 0 ) ) ) )
21	3, 6, 1, 11, 14, 19, 20	ivthreinc 14799	. 2 |- ( ph -> E. c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) ( F ` c ) = Z )
22		0red 8020	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> 0 e. RR )
23		1red 8034	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> 1 e. RR )
24		elioore 9978	. . . . . 6 |- ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) -> c e. RR )
25	24	ad2antrl 490	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> c e. RR )
26		0lt1 8146	. . . . . 6 |- 0 < 1
27		axltwlin 8087	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ c e. RR ) -> ( 0 < 1 -> ( 0 < c \/ c < 1 ) ) )
28	26, 27	mpi 15	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ c e. RR ) -> ( 0 < c \/ c < 1 ) )
29	22, 23, 25, 28	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> ( 0 < c \/ c < 1 ) )
30	29	orcomd 730	. . 3 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> ( c < 1 \/ 0 < c ) )
31		simplrr 536	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) /\ c < 1 ) -> ( F ` c ) = Z )
32	12	hoverlt1 14803	. . . . . . 7 |- ( ( c e. RR /\ c < 1 ) -> ( F ` c ) <_ 0 )
33	25, 32	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) /\ c < 1 ) -> ( F ` c ) <_ 0 )
34	31, 33	eqbrtrrd 4053	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) /\ c < 1 ) -> Z <_ 0 )
35	34	ex 115	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> ( c < 1 -> Z <_ 0 ) )
36	12	hovergt0 14804	. . . . . . 7 |- ( ( c e. RR /\ 0 < c ) -> 0 <_ ( F ` c ) )
37	25, 36	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) /\ 0 < c ) -> 0 <_ ( F ` c ) )
38		simplrr 536	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) /\ 0 < c ) -> ( F ` c ) = Z )
39	37, 38	breqtrd 4055	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) /\ 0 < c ) -> 0 <_ Z )
40	39	ex 115	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> ( 0 < c -> 0 <_ Z ) )
41	35, 40	orim12d 787	. . 3 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> ( ( c < 1 \/ 0 < c ) -> ( Z <_ 0 \/ 0 <_ Z ) ) )
42	30, 41	mpd 13	. 2 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> ( Z <_ 0 \/ 0 <_ Z ) )
43	21, 42	rexlimddv 2616	1 |- ( ph -> ( Z <_ 0 \/ 0 <_ Z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   /\ w3a 980   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   {cpr 3619   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   supcsup 7041  infcinf 7042   RRcr 7871   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   < clt 8054   <_ cle 8055   - cmin 8190   2c2 9033   RR+crp 9719   (,)cioo 9954   -cn->ccncf 14725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992  ax-addf 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-map 6704  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-xneg 9838  df-xadd 9839  df-ioo 9958  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-rest 12852  df-topgen 12871  df-psmet 14039  df-xmet 14040  df-met 14041  df-bl 14042  df-mopn 14043  df-top 14166  df-topon 14179  df-bases 14211  df-cn 14356  df-cnp 14357  df-tx 14421  df-cncf 14726

This theorem is referenced by:  ivthdich  14807