Theorem ivthdichlem 15368

Description: Lemma for ivthdich 15370. The result, with a few notational conveniences. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
hover.f	|- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )
ivthdichlem.z	|- ( ph -> Z e. RR )
ivthdichlem.i	|- ( ph -> A. f ( f e. ( RR -cn-> RR ) -> A. a e. RR A. b e. RR ( ( a < b /\ ( f ` a ) < 0 /\ 0 < ( f ` b ) ) -> E. x e. RR ( a < x /\ x < b /\ ( f ` x ) = 0 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ivthdichlem	|- ( ph -> ( Z <_ 0 \/ 0 <_ Z ) )

Distinct variable groups:   F, a, b, f, x   Z, a, b, f, x   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( f, a, b)

Proof of Theorem ivthdichlem

Dummy variable c is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivthdichlem.z	. . . 4 |- ( ph -> Z e. RR )
2		peano2rem 8439	. . . 4 |- ( Z e. RR -> ( Z - 1 ) e. RR )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( Z - 1 ) e. RR )
4		2re 9206	. . . . 5 |- 2 e. RR
5	4	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> 2 e. RR )
6	1, 5	readdcld 8202	. . 3 |- ( ph -> ( Z + 2 ) e. RR )
7	1	ltm1d 9105	. . . 4 |- ( ph -> ( Z - 1 ) < Z )
8		2rp 9886	. . . . . 6 |- 2 e. RR+
9	8	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
10	1, 9	ltaddrpd 9958	. . . 4 |- ( ph -> Z < ( Z + 2 ) )
11	3, 1, 6, 7, 10	lttrd 8298	. . 3 |- ( ph -> ( Z - 1 ) < ( Z + 2 ) )
12		hover.f	. . . . 5 |- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )
13	12	hovercncf 15363	. . . 4 |- F e. ( RR -cn-> RR )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> F e. ( RR -cn-> RR ) )
15	12	hovera 15364	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> ( F ` ( Z - 1 ) ) < Z )
16	1, 15	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` ( Z - 1 ) ) < Z )
17	12	hoverb 15365	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> Z < ( F ` ( Z + 2 ) ) )
18	1, 17	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> Z < ( F ` ( Z + 2 ) ) )
19	16, 18	jca 306	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` ( Z - 1 ) ) < Z /\ Z < ( F ` ( Z + 2 ) ) ) )
20		ivthdichlem.i	. . 3 |- ( ph -> A. f ( f e. ( RR -cn-> RR ) -> A. a e. RR A. b e. RR ( ( a < b /\ ( f ` a ) < 0 /\ 0 < ( f ` b ) ) -> E. x e. RR ( a < x /\ x < b /\ ( f ` x ) = 0 ) ) ) )
21	3, 6, 1, 11, 14, 19, 20	ivthreinc 15362	. 2 |- ( ph -> E. c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) ( F ` c ) = Z )
22		0red 8173	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> 0 e. RR )
23		1red 8187	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> 1 e. RR )
24		elioore 10140	. . . . . 6 |- ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) -> c e. RR )
25	24	ad2antrl 490	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> c e. RR )
26		0lt1 8299	. . . . . 6 |- 0 < 1
27		axltwlin 8240	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ c e. RR ) -> ( 0 < 1 -> ( 0 < c \/ c < 1 ) ) )
28	26, 27	mpi 15	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ c e. RR ) -> ( 0 < c \/ c < 1 ) )
29	22, 23, 25, 28	syl3anc 1271	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> ( 0 < c \/ c < 1 ) )
30	29	orcomd 734	. . 3 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> ( c < 1 \/ 0 < c ) )
31		simplrr 536	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) /\ c < 1 ) -> ( F ` c ) = Z )
32	12	hoverlt1 15366	. . . . . . 7 |- ( ( c e. RR /\ c < 1 ) -> ( F ` c ) <_ 0 )
33	25, 32	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) /\ c < 1 ) -> ( F ` c ) <_ 0 )
34	31, 33	eqbrtrrd 4110	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) /\ c < 1 ) -> Z <_ 0 )
35	34	ex 115	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> ( c < 1 -> Z <_ 0 ) )
36	12	hovergt0 15367	. . . . . . 7 |- ( ( c e. RR /\ 0 < c ) -> 0 <_ ( F ` c ) )
37	25, 36	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) /\ 0 < c ) -> 0 <_ ( F ` c ) )
38		simplrr 536	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) /\ 0 < c ) -> ( F ` c ) = Z )
39	37, 38	breqtrd 4112	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) /\ 0 < c ) -> 0 <_ Z )
40	39	ex 115	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> ( 0 < c -> 0 <_ Z ) )
41	35, 40	orim12d 791	. . 3 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> ( ( c < 1 \/ 0 < c ) -> ( Z <_ 0 \/ 0 <_ Z ) ) )
42	30, 41	mpd 13	. 2 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> ( Z <_ 0 \/ 0 <_ Z ) )
43	21, 42	rexlimddv 2653	1 |- ( ph -> ( Z <_ 0 \/ 0 <_ Z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713   /\ w3a 1002   A.wal 1393   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   {cpr 3668   class class class wbr 4086   |-> cmpt 4148   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   supcsup 7175  infcinf 7176   RRcr 8024   0cc0 8025   1c1 8026   + caddc 8028   < clt 8207   <_ cle 8208   - cmin 8343   2c2 9187   RR+crp 9881   (,)cioo 10116   -cn->ccncf 15287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145  ax-addf 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-map 6814  df-sup 7177  df-inf 7178  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-q 9847  df-rp 9882  df-xneg 10000  df-xadd 10001  df-ioo 10120  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553  df-rest 13317  df-topgen 13336  df-psmet 14550  df-xmet 14551  df-met 14552  df-bl 14553  df-mopn 14554  df-top 14715  df-topon 14728  df-bases 14760  df-cn 14905  df-cnp 14906  df-tx 14970  df-cncf 15288

This theorem is referenced by:  ivthdich  15370