Theorem ivthdichlem 15290

Description: Lemma for ivthdich 15292. The result, with a few notational conveniences. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
hover.f	|- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )
ivthdichlem.z	|- ( ph -> Z e. RR )
ivthdichlem.i	|- ( ph -> A. f ( f e. ( RR -cn-> RR ) -> A. a e. RR A. b e. RR ( ( a < b /\ ( f ` a ) < 0 /\ 0 < ( f ` b ) ) -> E. x e. RR ( a < x /\ x < b /\ ( f ` x ) = 0 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ivthdichlem	|- ( ph -> ( Z <_ 0 \/ 0 <_ Z ) )

Distinct variable groups:   F, a, b, f, x   Z, a, b, f, x   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( f, a, b)

Proof of Theorem ivthdichlem

Dummy variable c is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivthdichlem.z	. . . 4 |- ( ph -> Z e. RR )
2		peano2rem 8381	. . . 4 |- ( Z e. RR -> ( Z - 1 ) e. RR )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( Z - 1 ) e. RR )
4		2re 9148	. . . . 5 |- 2 e. RR
5	4	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> 2 e. RR )
6	1, 5	readdcld 8144	. . 3 |- ( ph -> ( Z + 2 ) e. RR )
7	1	ltm1d 9047	. . . 4 |- ( ph -> ( Z - 1 ) < Z )
8		2rp 9822	. . . . . 6 |- 2 e. RR+
9	8	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
10	1, 9	ltaddrpd 9894	. . . 4 |- ( ph -> Z < ( Z + 2 ) )
11	3, 1, 6, 7, 10	lttrd 8240	. . 3 |- ( ph -> ( Z - 1 ) < ( Z + 2 ) )
12		hover.f	. . . . 5 |- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )
13	12	hovercncf 15285	. . . 4 |- F e. ( RR -cn-> RR )
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> F e. ( RR -cn-> RR ) )
15	12	hovera 15286	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> ( F ` ( Z - 1 ) ) < Z )
16	1, 15	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` ( Z - 1 ) ) < Z )
17	12	hoverb 15287	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> Z < ( F ` ( Z + 2 ) ) )
18	1, 17	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> Z < ( F ` ( Z + 2 ) ) )
19	16, 18	jca 306	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` ( Z - 1 ) ) < Z /\ Z < ( F ` ( Z + 2 ) ) ) )
20		ivthdichlem.i	. . 3 |- ( ph -> A. f ( f e. ( RR -cn-> RR ) -> A. a e. RR A. b e. RR ( ( a < b /\ ( f ` a ) < 0 /\ 0 < ( f ` b ) ) -> E. x e. RR ( a < x /\ x < b /\ ( f ` x ) = 0 ) ) ) )
21	3, 6, 1, 11, 14, 19, 20	ivthreinc 15284	. 2 |- ( ph -> E. c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) ( F ` c ) = Z )
22		0red 8115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> 0 e. RR )
23		1red 8129	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> 1 e. RR )
24		elioore 10076	. . . . . 6 |- ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) -> c e. RR )
25	24	ad2antrl 490	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> c e. RR )
26		0lt1 8241	. . . . . 6 |- 0 < 1
27		axltwlin 8182	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ c e. RR ) -> ( 0 < 1 -> ( 0 < c \/ c < 1 ) ) )
28	26, 27	mpi 15	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ c e. RR ) -> ( 0 < c \/ c < 1 ) )
29	22, 23, 25, 28	syl3anc 1252	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> ( 0 < c \/ c < 1 ) )
30	29	orcomd 733	. . 3 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> ( c < 1 \/ 0 < c ) )
31		simplrr 536	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) /\ c < 1 ) -> ( F ` c ) = Z )
32	12	hoverlt1 15288	. . . . . . 7 |- ( ( c e. RR /\ c < 1 ) -> ( F ` c ) <_ 0 )
33	25, 32	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) /\ c < 1 ) -> ( F ` c ) <_ 0 )
34	31, 33	eqbrtrrd 4086	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) /\ c < 1 ) -> Z <_ 0 )
35	34	ex 115	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> ( c < 1 -> Z <_ 0 ) )
36	12	hovergt0 15289	. . . . . . 7 |- ( ( c e. RR /\ 0 < c ) -> 0 <_ ( F ` c ) )
37	25, 36	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) /\ 0 < c ) -> 0 <_ ( F ` c ) )
38		simplrr 536	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) /\ 0 < c ) -> ( F ` c ) = Z )
39	37, 38	breqtrd 4088	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) /\ 0 < c ) -> 0 <_ Z )
40	39	ex 115	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> ( 0 < c -> 0 <_ Z ) )
41	35, 40	orim12d 790	. . 3 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> ( ( c < 1 \/ 0 < c ) -> ( Z <_ 0 \/ 0 <_ Z ) ) )
42	30, 41	mpd 13	. 2 |- ( ( ph /\ ( c e. ( ( Z - 1 ) (,) ( Z + 2 ) ) /\ ( F ` c ) = Z ) ) -> ( Z <_ 0 \/ 0 <_ Z ) )
43	21, 42	rexlimddv 2633	1 |- ( ph -> ( Z <_ 0 \/ 0 <_ Z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 712   /\ w3a 983   A.wal 1373   = wceq 1375   e. wcel 2180   A.wral 2488   E.wrex 2489   {cpr 3647   class class class wbr 4062   |-> cmpt 4124   ` cfv 5294  (class class class)co 5974   supcsup 7117  infcinf 7118   RRcr 7966   0cc0 7967   1c1 7968   + caddc 7970   < clt 8149   <_ cle 8150   - cmin 8285   2c2 9129   RR+crp 9817   (,)cioo 10052   -cn->ccncf 15209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086  ax-caucvg 8087  ax-addf 8089

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 835  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-isom 5303  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-frec 6507  df-map 6767  df-sup 7119  df-inf 7120  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-q 9783  df-rp 9818  df-xneg 9936  df-xadd 9937  df-ioo 10056  df-seqfrec 10637  df-exp 10728  df-cj 11319  df-re 11320  df-im 11321  df-rsqrt 11475  df-abs 11476  df-rest 13240  df-topgen 13259  df-psmet 14472  df-xmet 14473  df-met 14474  df-bl 14475  df-mopn 14476  df-top 14637  df-topon 14650  df-bases 14682  df-cn 14827  df-cnp 14828  df-tx 14892  df-cncf 15210

This theorem is referenced by:  ivthdich  15292