Theorem hovergt0 14829

Description: The hover function evaluated at a point greater than zero. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
hover.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
hovergt0	⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 0 ≤ (𝐹‘𝐶))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem hovergt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 8022	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 0 ∈ ℝ)
2		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
3		peano2rem 8288	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 − 1) ∈ ℝ)
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐶 − 1) ∈ ℝ)
5		maxle1 11358	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐶 − 1) ∈ ℝ) → 0 ≤ sup({0, (𝐶 − 1)}, ℝ, < ))
6	1, 4, 5	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 0 ≤ sup({0, (𝐶 − 1)}, ℝ, < ))
7		mincom 11375	. . . . . 6 ⊢ inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) = inf({0, 𝐶}, ℝ, < )
8		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 0 < 𝐶)
9	1, 2, 8	ltled 8140	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 0 ≤ 𝐶)
10		0re 8021	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		mingeb 11388	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐶 ↔ inf({0, 𝐶}, ℝ, < ) = 0))
12	10, 2, 11	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (0 ≤ 𝐶 ↔ inf({0, 𝐶}, ℝ, < ) = 0))
13	9, 12	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → inf({0, 𝐶}, ℝ, < ) = 0)
14	7, 13	eqtrid 2238	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) = 0)
15	14	preq1d 3702	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → {inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)} = {0, (𝐶 − 1)})
16	15	supeq1d 7048	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ) = sup({0, (𝐶 − 1)}, ℝ, < ))
17	6, 16	breqtrrd 4058	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 0 ≤ sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ))
18		hover.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))
19		preq1 3696	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → {𝑥, 0} = {𝐶, 0})
20	19	infeq1d 7073	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → inf({𝑥, 0}, ℝ, < ) = inf({𝐶, 0}, ℝ, < ))
21		oveq1 5926	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 − 1) = (𝐶 − 1))
22	20, 21	preq12d 3704	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → {inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)} = {inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)})
23	22	supeq1d 7048	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ) = sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ))
24		mincl 11377	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
25	2, 1, 24	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
26		maxcl 11357	. . . 4 ⊢ ((inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐶 − 1) ∈ ℝ) → sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
27	25, 4, 26	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
28	18, 23, 2, 27	fvmptd3 5652	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐹‘𝐶) = sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ))
29	17, 28	breqtrrd 4058	1 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 0 ≤ (𝐹‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {cpr 3620   class class class wbr 4030   ↦ cmpt 4091  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  supcsup 7043  infcinf 7044  ℝcr 7873  0cc0 7874  1c1 7875   < clt 8056   ≤ cle 8057   − cmin 8192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-sup 7045  df-inf 7046  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-rp 9723  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146

This theorem is referenced by:  ivthdichlem  14830