Theorem hovergt0 15122

Description: The hover function evaluated at a point greater than zero. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
hover.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
hovergt0	⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 0 ≤ (𝐹‘𝐶))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem hovergt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 8073	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 0 ∈ ℝ)
2		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
3		peano2rem 8339	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 − 1) ∈ ℝ)
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐶 − 1) ∈ ℝ)
5		maxle1 11522	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐶 − 1) ∈ ℝ) → 0 ≤ sup({0, (𝐶 − 1)}, ℝ, < ))
6	1, 4, 5	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 0 ≤ sup({0, (𝐶 − 1)}, ℝ, < ))
7		mincom 11540	. . . . . 6 ⊢ inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) = inf({0, 𝐶}, ℝ, < )
8		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 0 < 𝐶)
9	1, 2, 8	ltled 8191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 0 ≤ 𝐶)
10		0re 8072	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		mingeb 11553	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐶 ↔ inf({0, 𝐶}, ℝ, < ) = 0))
12	10, 2, 11	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (0 ≤ 𝐶 ↔ inf({0, 𝐶}, ℝ, < ) = 0))
13	9, 12	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → inf({0, 𝐶}, ℝ, < ) = 0)
14	7, 13	eqtrid 2250	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) = 0)
15	14	preq1d 3716	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → {inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)} = {0, (𝐶 − 1)})
16	15	supeq1d 7089	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ) = sup({0, (𝐶 − 1)}, ℝ, < ))
17	6, 16	breqtrrd 4072	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 0 ≤ sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ))
18		hover.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))
19		preq1 3710	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → {𝑥, 0} = {𝐶, 0})
20	19	infeq1d 7114	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → inf({𝑥, 0}, ℝ, < ) = inf({𝐶, 0}, ℝ, < ))
21		oveq1 5951	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 − 1) = (𝐶 − 1))
22	20, 21	preq12d 3718	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → {inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)} = {inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)})
23	22	supeq1d 7089	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ) = sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ))
24		mincl 11542	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
25	2, 1, 24	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
26		maxcl 11521	. . . 4 ⊢ ((inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐶 − 1) ∈ ℝ) → sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
27	25, 4, 26	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
28	18, 23, 2, 27	fvmptd3 5673	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐹‘𝐶) = sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ))
29	17, 28	breqtrrd 4072	1 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 0 ≤ (𝐹‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  {cpr 3634   class class class wbr 4044   ↦ cmpt 4105  ‘cfv 5271  (class class class)co 5944  supcsup 7084  infcinf 7085  ℝcr 7924  0cc0 7925  1c1 7926   < clt 8107   ≤ cle 8108   − cmin 8243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044  ax-caucvg 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-sup 7086  df-inf 7087  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-rp 9776  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310

This theorem is referenced by:  ivthdichlem  15123