Theorem hovergt0 15515

Description: The hover function evaluated at a point greater than zero. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
hover.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
hovergt0	⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 0 ≤ (𝐹‘𝐶))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem hovergt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 8275	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 0 ∈ ℝ)
2		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
3		peano2rem 8540	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 − 1) ∈ ℝ)
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐶 − 1) ∈ ℝ)
5		maxle1 11896	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐶 − 1) ∈ ℝ) → 0 ≤ sup({0, (𝐶 − 1)}, ℝ, < ))
6	1, 4, 5	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 0 ≤ sup({0, (𝐶 − 1)}, ℝ, < ))
7		mincom 11914	. . . . . 6 ⊢ inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) = inf({0, 𝐶}, ℝ, < )
8		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 0 < 𝐶)
9	1, 2, 8	ltled 8392	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 0 ≤ 𝐶)
10		0re 8274	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		mingeb 11927	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐶 ↔ inf({0, 𝐶}, ℝ, < ) = 0))
12	10, 2, 11	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (0 ≤ 𝐶 ↔ inf({0, 𝐶}, ℝ, < ) = 0))
13	9, 12	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → inf({0, 𝐶}, ℝ, < ) = 0)
14	7, 13	eqtrid 2277	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) = 0)
15	14	preq1d 3774	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → {inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)} = {0, (𝐶 − 1)})
16	15	supeq1d 7278	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ) = sup({0, (𝐶 − 1)}, ℝ, < ))
17	6, 16	breqtrrd 4137	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 0 ≤ sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ))
18		hover.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))
19		preq1 3768	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → {𝑥, 0} = {𝐶, 0})
20	19	infeq1d 7303	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → inf({𝑥, 0}, ℝ, < ) = inf({𝐶, 0}, ℝ, < ))
21		oveq1 6057	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 − 1) = (𝐶 − 1))
22	20, 21	preq12d 3776	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → {inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)} = {inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)})
23	22	supeq1d 7278	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ) = sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ))
24		mincl 11916	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
25	2, 1, 24	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
26		maxcl 11895	. . . 4 ⊢ ((inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐶 − 1) ∈ ℝ) → sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
27	25, 4, 26	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
28	18, 23, 2, 27	fvmptd3 5771	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐹‘𝐶) = sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ))
29	17, 28	breqtrrd 4137	1 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 0 ≤ (𝐹‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  {cpr 3690   class class class wbr 4109   ↦ cmpt 4171  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  supcsup 7273  infcinf 7274  ℝcr 8126  0cc0 8127  1c1 8128   < clt 8308   ≤ cle 8309   − cmin 8444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-sup 7275  df-inf 7276  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-rp 9987  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684

This theorem is referenced by:  ivthdichlem  15516