Theorem hovergt0 15641

Description: The hover function evaluated at a point greater than zero. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
hover.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
hovergt0	⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 0 ≤ (𝐹‘𝐶))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem hovergt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 8291	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 0 ∈ ℝ)
2		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
3		peano2rem 8556	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 − 1) ∈ ℝ)
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐶 − 1) ∈ ℝ)
5		maxle1 11921	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐶 − 1) ∈ ℝ) → 0 ≤ sup({0, (𝐶 − 1)}, ℝ, < ))
6	1, 4, 5	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 0 ≤ sup({0, (𝐶 − 1)}, ℝ, < ))
7		mincom 11939	. . . . . 6 ⊢ inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) = inf({0, 𝐶}, ℝ, < )
8		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 0 < 𝐶)
9	1, 2, 8	ltled 8408	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 0 ≤ 𝐶)
10		0re 8290	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		mingeb 11952	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐶 ↔ inf({0, 𝐶}, ℝ, < ) = 0))
12	10, 2, 11	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (0 ≤ 𝐶 ↔ inf({0, 𝐶}, ℝ, < ) = 0))
13	9, 12	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → inf({0, 𝐶}, ℝ, < ) = 0)
14	7, 13	eqtrid 2279	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) = 0)
15	14	preq1d 3779	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → {inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)} = {0, (𝐶 − 1)})
16	15	supeq1d 7291	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ) = sup({0, (𝐶 − 1)}, ℝ, < ))
17	6, 16	breqtrrd 4142	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 0 ≤ sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ))
18		hover.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))
19		preq1 3773	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → {𝑥, 0} = {𝐶, 0})
20	19	infeq1d 7316	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → inf({𝑥, 0}, ℝ, < ) = inf({𝐶, 0}, ℝ, < ))
21		oveq1 6065	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 − 1) = (𝐶 − 1))
22	20, 21	preq12d 3781	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → {inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)} = {inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)})
23	22	supeq1d 7291	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ) = sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ))
24		mincl 11941	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
25	2, 1, 24	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
26		maxcl 11920	. . . 4 ⊢ ((inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐶 − 1) ∈ ℝ) → sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
27	25, 4, 26	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
28	18, 23, 2, 27	fvmptd3 5776	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐹‘𝐶) = sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ))
29	17, 28	breqtrrd 4142	1 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 0 ≤ (𝐹‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {cpr 3695   class class class wbr 4114   ↦ cmpt 4176  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  supcsup 7286  infcinf 7287  ℝcr 8142  0cc0 8143  1c1 8144   < clt 8324   ≤ cle 8325   − cmin 8460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-rp 10005  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709

This theorem is referenced by:  ivthdichlem  15642