Theorem hoverlt1 15443

Description: The hover function evaluated at a point less than one. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
hover.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
hoverlt1	⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → (𝐹‘𝐶) ≤ 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem hoverlt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hover.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))
2		preq1 3752	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → {𝑥, 0} = {𝐶, 0})
3	2	infeq1d 7254	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → inf({𝑥, 0}, ℝ, < ) = inf({𝐶, 0}, ℝ, < ))
4		oveq1 6035	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 − 1) = (𝐶 − 1))
5	3, 4	preq12d 3760	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → {inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)} = {inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)})
6	5	supeq1d 7229	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ) = sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ))
7		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → 𝐶 ∈ ℝ)
8		0red 8223	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → 0 ∈ ℝ)
9		mincl 11854	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
11		peano2rem 8488	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 − 1) ∈ ℝ)
12	7, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → (𝐶 − 1) ∈ ℝ)
13		maxcl 11833	. . . 4 ⊢ ((inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐶 − 1) ∈ ℝ) → sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
14	10, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
15	1, 6, 7, 14	fvmptd3 5749	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → (𝐹‘𝐶) = sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ))
16		min2inf 11856	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ≤ 0)
17	7, 8, 16	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ≤ 0)
18		1red 8237	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → 1 ∈ ℝ)
19		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → 𝐶 < 1)
20	7, 18, 19	ltled 8340	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → 𝐶 ≤ 1)
21	7, 18	suble0d 8758	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → ((𝐶 − 1) ≤ 0 ↔ 𝐶 ≤ 1))
22	20, 21	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → (𝐶 − 1) ≤ 0)
23		maxleastb 11837	. . . 4 ⊢ ((inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐶 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ) ≤ 0 ↔ (inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ≤ 0 ∧ (𝐶 − 1) ≤ 0)))
24	10, 12, 8, 23	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → (sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ) ≤ 0 ↔ (inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ≤ 0 ∧ (𝐶 − 1) ≤ 0)))
25	17, 22, 24	mpbir2and 953	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ) ≤ 0)
26	15, 25	eqbrtrd 4115	1 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → (𝐹‘𝐶) ≤ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  {cpr 3674   class class class wbr 4093   ↦ cmpt 4155  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  supcsup 7224  infcinf 7225  ℝcr 8074  0cc0 8075  1c1 8076   < clt 8256   ≤ cle 8257   − cmin 8392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-rp 9933  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622

This theorem is referenced by:  ivthdichlem  15445