Theorem hoverlt1 15338

Description: The hover function evaluated at a point less than one. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
hover.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
hoverlt1	⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → (𝐹‘𝐶) ≤ 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem hoverlt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hover.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))
2		preq1 3743	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → {𝑥, 0} = {𝐶, 0})
3	2	infeq1d 7190	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → inf({𝑥, 0}, ℝ, < ) = inf({𝐶, 0}, ℝ, < ))
4		oveq1 6014	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 − 1) = (𝐶 − 1))
5	3, 4	preq12d 3751	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → {inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)} = {inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)})
6	5	supeq1d 7165	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ) = sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ))
7		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → 𝐶 ∈ ℝ)
8		0red 8158	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → 0 ∈ ℝ)
9		mincl 11757	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
11		peano2rem 8424	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 − 1) ∈ ℝ)
12	7, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → (𝐶 − 1) ∈ ℝ)
13		maxcl 11736	. . . 4 ⊢ ((inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐶 − 1) ∈ ℝ) → sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
14	10, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
15	1, 6, 7, 14	fvmptd3 5730	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → (𝐹‘𝐶) = sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ))
16		min2inf 11759	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ≤ 0)
17	7, 8, 16	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ≤ 0)
18		1red 8172	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → 1 ∈ ℝ)
19		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → 𝐶 < 1)
20	7, 18, 19	ltled 8276	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → 𝐶 ≤ 1)
21	7, 18	suble0d 8694	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → ((𝐶 − 1) ≤ 0 ↔ 𝐶 ≤ 1))
22	20, 21	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → (𝐶 − 1) ≤ 0)
23		maxleastb 11740	. . . 4 ⊢ ((inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐶 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ) ≤ 0 ↔ (inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ≤ 0 ∧ (𝐶 − 1) ≤ 0)))
24	10, 12, 8, 23	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → (sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ) ≤ 0 ↔ (inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ≤ 0 ∧ (𝐶 − 1) ≤ 0)))
25	17, 22, 24	mpbir2and 950	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ) ≤ 0)
26	15, 25	eqbrtrd 4105	1 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → (𝐹‘𝐶) ≤ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {cpr 3667   class class class wbr 4083   ↦ cmpt 4145  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  supcsup 7160  infcinf 7161  ℝcr 8009  0cc0 8010  1c1 8011   < clt 8192   ≤ cle 8193   − cmin 8328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-sup 7162  df-inf 7163  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-rp 9862  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-cj 11368  df-re 11369  df-im 11370  df-rsqrt 11524  df-abs 11525

This theorem is referenced by:  ivthdichlem  15340