Theorem hoverlt1 15236

Description: The hover function evaluated at a point less than one. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
hover.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
hoverlt1	⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → (𝐹‘𝐶) ≤ 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem hoverlt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hover.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))
2		preq1 3720	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → {𝑥, 0} = {𝐶, 0})
3	2	infeq1d 7140	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → inf({𝑥, 0}, ℝ, < ) = inf({𝐶, 0}, ℝ, < ))
4		oveq1 5974	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 − 1) = (𝐶 − 1))
5	3, 4	preq12d 3728	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → {inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)} = {inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)})
6	5	supeq1d 7115	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ) = sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ))
7		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → 𝐶 ∈ ℝ)
8		0red 8108	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → 0 ∈ ℝ)
9		mincl 11657	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
11		peano2rem 8374	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 − 1) ∈ ℝ)
12	7, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → (𝐶 − 1) ∈ ℝ)
13		maxcl 11636	. . . 4 ⊢ ((inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐶 − 1) ∈ ℝ) → sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
14	10, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
15	1, 6, 7, 14	fvmptd3 5696	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → (𝐹‘𝐶) = sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ))
16		min2inf 11659	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ≤ 0)
17	7, 8, 16	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ≤ 0)
18		1red 8122	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → 1 ∈ ℝ)
19		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → 𝐶 < 1)
20	7, 18, 19	ltled 8226	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → 𝐶 ≤ 1)
21	7, 18	suble0d 8644	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → ((𝐶 − 1) ≤ 0 ↔ 𝐶 ≤ 1))
22	20, 21	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → (𝐶 − 1) ≤ 0)
23		maxleastb 11640	. . . 4 ⊢ ((inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐶 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ) ≤ 0 ↔ (inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ≤ 0 ∧ (𝐶 − 1) ≤ 0)))
24	10, 12, 8, 23	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → (sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ) ≤ 0 ↔ (inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ≤ 0 ∧ (𝐶 − 1) ≤ 0)))
25	17, 22, 24	mpbir2and 947	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ) ≤ 0)
26	15, 25	eqbrtrd 4081	1 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → (𝐹‘𝐶) ≤ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  {cpr 3644   class class class wbr 4059   ↦ cmpt 4121  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967  supcsup 7110  infcinf 7111  ℝcr 7959  0cc0 7960  1c1 7961   < clt 8142   ≤ cle 8143   − cmin 8278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-sup 7112  df-inf 7113  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-rp 9811  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425

This theorem is referenced by:  ivthdichlem  15238