Theorem hoverlt1 15363

Description: The hover function evaluated at a point less than one. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
hover.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
hoverlt1	⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → (𝐹‘𝐶) ≤ 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem hoverlt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hover.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))
2		preq1 3746	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → {𝑥, 0} = {𝐶, 0})
3	2	infeq1d 7202	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → inf({𝑥, 0}, ℝ, < ) = inf({𝐶, 0}, ℝ, < ))
4		oveq1 6020	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 − 1) = (𝐶 − 1))
5	3, 4	preq12d 3754	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → {inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)} = {inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)})
6	5	supeq1d 7177	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ) = sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ))
7		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → 𝐶 ∈ ℝ)
8		0red 8170	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → 0 ∈ ℝ)
9		mincl 11782	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
11		peano2rem 8436	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 − 1) ∈ ℝ)
12	7, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → (𝐶 − 1) ∈ ℝ)
13		maxcl 11761	. . . 4 ⊢ ((inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐶 − 1) ∈ ℝ) → sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
14	10, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
15	1, 6, 7, 14	fvmptd3 5736	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → (𝐹‘𝐶) = sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ))
16		min2inf 11784	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ≤ 0)
17	7, 8, 16	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ≤ 0)
18		1red 8184	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → 1 ∈ ℝ)
19		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → 𝐶 < 1)
20	7, 18, 19	ltled 8288	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → 𝐶 ≤ 1)
21	7, 18	suble0d 8706	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → ((𝐶 − 1) ≤ 0 ↔ 𝐶 ≤ 1))
22	20, 21	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → (𝐶 − 1) ≤ 0)
23		maxleastb 11765	. . . 4 ⊢ ((inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (𝐶 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ) ≤ 0 ↔ (inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ≤ 0 ∧ (𝐶 − 1) ≤ 0)))
24	10, 12, 8, 23	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → (sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ) ≤ 0 ↔ (inf({𝐶, 0}, ℝ, < ) ≤ 0 ∧ (𝐶 − 1) ≤ 0)))
25	17, 22, 24	mpbir2and 950	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → sup({inf({𝐶, 0}, ℝ, < ), (𝐶 − 1)}, ℝ, < ) ≤ 0)
26	15, 25	eqbrtrd 4108	1 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 1) → (𝐹‘𝐶) ≤ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {cpr 3668   class class class wbr 4086   ↦ cmpt 4148  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  supcsup 7172  infcinf 7173  ℝcr 8021  0cc0 8022  1c1 8023   < clt 8204   ≤ cle 8205   − cmin 8340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-sup 7174  df-inf 7175  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-rp 9879  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550

This theorem is referenced by:  ivthdichlem  15365