Theorem hoverb 14894

Description: A point at which the hover function is greater than a given value. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
hover.f	|- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )

Assertion

Ref	Expression
hoverb	|- ( Z e. RR -> Z < ( F ` ( Z + 2 ) ) )

Distinct variable group:   x, Z

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem hoverb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 |- ( Z e. RR -> Z e. RR )
2		peano2re 8164	. 2 |- ( Z e. RR -> ( Z + 1 ) e. RR )
3		hover.f	. . . 4 |- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )
4		preq1 3700	. . . . . . 7 |- ( x = ( Z + 2 ) -> { x , 0 } = { ( Z + 2 ) , 0 } )
5	4	infeq1d 7079	. . . . . 6 |- ( x = ( Z + 2 ) -> inf ( { x , 0 } , RR , < ) = inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) )
6		oveq1 5930	. . . . . 6 |- ( x = ( Z + 2 ) -> ( x - 1 ) = ( ( Z + 2 ) - 1 ) )
7	5, 6	preq12d 3708	. . . . 5 |- ( x = ( Z + 2 ) -> {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } = {inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z + 2 ) - 1 ) } )
8	7	supeq1d 7054	. . . 4 |- ( x = ( Z + 2 ) -> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) = sup ( {inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z + 2 ) - 1 ) } , RR , < ) )
9		2re 9062	. . . . . 6 |- 2 e. RR
10	9	a1i 9	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> 2 e. RR )
11	1, 10	readdcld 8058	. . . 4 |- ( Z e. RR -> ( Z + 2 ) e. RR )
12		0red 8029	. . . . . 6 |- ( Z e. RR -> 0 e. RR )
13		mincl 11398	. . . . . 6 |- ( ( ( Z + 2 ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) e. RR )
14	11, 12, 13	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) e. RR )
15		peano2rem 8295	. . . . . 6 |- ( ( Z + 2 ) e. RR -> ( ( Z + 2 ) - 1 ) e. RR )
16	11, 15	syl 14	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> ( ( Z + 2 ) - 1 ) e. RR )
17		maxcl 11377	. . . . 5 |- ( (inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) e. RR /\ ( ( Z + 2 ) - 1 ) e. RR ) -> sup ( {inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z + 2 ) - 1 ) } , RR , < ) e. RR )
18	14, 16, 17	syl2anc 411	. . . 4 |- ( Z e. RR -> sup ( {inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z + 2 ) - 1 ) } , RR , < ) e. RR )
19	3, 8, 11, 18	fvmptd3 5656	. . 3 |- ( Z e. RR -> ( F ` ( Z + 2 ) ) = sup ( {inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z + 2 ) - 1 ) } , RR , < ) )
20	19, 18	eqeltrd 2273	. 2 |- ( Z e. RR -> ( F ` ( Z + 2 ) ) e. RR )
21		ltp1 8873	. 2 |- ( Z e. RR -> Z < ( Z + 1 ) )
22		recn 8014	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> Z e. CC )
23		2cnd 9065	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> 2 e. CC )
24		1cnd 8044	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> 1 e. CC )
25	22, 23, 24	addsubassd 8359	. . . 4 |- ( Z e. RR -> ( ( Z + 2 ) - 1 ) = ( Z + ( 2 - 1 ) ) )
26		2m1e1 9110	. . . . 5 |- ( 2 - 1 ) = 1
27	26	oveq2i 5934	. . . 4 |- ( Z + ( 2 - 1 ) ) = ( Z + 1 )
28	25, 27	eqtrdi 2245	. . 3 |- ( Z e. RR -> ( ( Z + 2 ) - 1 ) = ( Z + 1 ) )
29		maxle2 11379	. . . . 5 |- ( (inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) e. RR /\ ( ( Z + 2 ) - 1 ) e. RR ) -> ( ( Z + 2 ) - 1 ) <_ sup ( {inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z + 2 ) - 1 ) } , RR , < ) )
30	14, 16, 29	syl2anc 411	. . . 4 |- ( Z e. RR -> ( ( Z + 2 ) - 1 ) <_ sup ( {inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z + 2 ) - 1 ) } , RR , < ) )
31	30, 19	breqtrrd 4062	. . 3 |- ( Z e. RR -> ( ( Z + 2 ) - 1 ) <_ ( F ` ( Z + 2 ) ) )
32	28, 31	eqbrtrrd 4058	. 2 |- ( Z e. RR -> ( Z + 1 ) <_ ( F ` ( Z + 2 ) ) )
33	1, 2, 20, 21, 32	ltletrd 8452	1 |- ( Z e. RR -> Z < ( F ` ( Z + 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   {cpr 3624   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   supcsup 7049  infcinf 7050   RRcr 7880   0cc0 7881   1c1 7882   + caddc 7884   < clt 8063   <_ cle 8064   - cmin 8199   2c2 9043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999  ax-arch 8000  ax-caucvg 8001

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-frec 6450  df-sup 7051  df-inf 7052  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-4 9053  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-rp 9731  df-seqfrec 10542  df-exp 10633  df-cj 11009  df-re 11010  df-im 11011  df-rsqrt 11165  df-abs 11166

This theorem is referenced by:  ivthdichlem  14897