Theorem hoverb 15642

Description: A point at which the hover function is greater than a given value. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
hover.f	|- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )

Assertion

Ref	Expression
hoverb	|- ( Z e. RR -> Z < ( F ` ( Z + 2 ) ) )

Distinct variable group:   x, Z

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem hoverb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 |- ( Z e. RR -> Z e. RR )
2		peano2re 8426	. 2 |- ( Z e. RR -> ( Z + 1 ) e. RR )
3		hover.f	. . . 4 |- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )
4		preq1 3773	. . . . . . 7 |- ( x = ( Z + 2 ) -> { x , 0 } = { ( Z + 2 ) , 0 } )
5	4	infeq1d 7316	. . . . . 6 |- ( x = ( Z + 2 ) -> inf ( { x , 0 } , RR , < ) = inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) )
6		oveq1 6065	. . . . . 6 |- ( x = ( Z + 2 ) -> ( x - 1 ) = ( ( Z + 2 ) - 1 ) )
7	5, 6	preq12d 3781	. . . . 5 |- ( x = ( Z + 2 ) -> {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } = {inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z + 2 ) - 1 ) } )
8	7	supeq1d 7291	. . . 4 |- ( x = ( Z + 2 ) -> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) = sup ( {inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z + 2 ) - 1 ) } , RR , < ) )
9		2re 9327	. . . . . 6 |- 2 e. RR
10	9	a1i 9	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> 2 e. RR )
11	1, 10	readdcld 8319	. . . 4 |- ( Z e. RR -> ( Z + 2 ) e. RR )
12		0red 8291	. . . . . 6 |- ( Z e. RR -> 0 e. RR )
13		mincl 11944	. . . . . 6 |- ( ( ( Z + 2 ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) e. RR )
14	11, 12, 13	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) e. RR )
15		peano2rem 8557	. . . . . 6 |- ( ( Z + 2 ) e. RR -> ( ( Z + 2 ) - 1 ) e. RR )
16	11, 15	syl 14	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> ( ( Z + 2 ) - 1 ) e. RR )
17		maxcl 11923	. . . . 5 |- ( (inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) e. RR /\ ( ( Z + 2 ) - 1 ) e. RR ) -> sup ( {inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z + 2 ) - 1 ) } , RR , < ) e. RR )
18	14, 16, 17	syl2anc 411	. . . 4 |- ( Z e. RR -> sup ( {inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z + 2 ) - 1 ) } , RR , < ) e. RR )
19	3, 8, 11, 18	fvmptd3 5776	. . 3 |- ( Z e. RR -> ( F ` ( Z + 2 ) ) = sup ( {inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z + 2 ) - 1 ) } , RR , < ) )
20	19, 18	eqeltrd 2311	. 2 |- ( Z e. RR -> ( F ` ( Z + 2 ) ) e. RR )
21		ltp1 9138	. 2 |- ( Z e. RR -> Z < ( Z + 1 ) )
22		recn 8276	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> Z e. CC )
23		2cnd 9330	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> 2 e. CC )
24		1cnd 8306	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> 1 e. CC )
25	22, 23, 24	addsubassd 8621	. . . 4 |- ( Z e. RR -> ( ( Z + 2 ) - 1 ) = ( Z + ( 2 - 1 ) ) )
26		2m1e1 9375	. . . . 5 |- ( 2 - 1 ) = 1
27	26	oveq2i 6069	. . . 4 |- ( Z + ( 2 - 1 ) ) = ( Z + 1 )
28	25, 27	eqtrdi 2283	. . 3 |- ( Z e. RR -> ( ( Z + 2 ) - 1 ) = ( Z + 1 ) )
29		maxle2 11925	. . . . 5 |- ( (inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) e. RR /\ ( ( Z + 2 ) - 1 ) e. RR ) -> ( ( Z + 2 ) - 1 ) <_ sup ( {inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z + 2 ) - 1 ) } , RR , < ) )
30	14, 16, 29	syl2anc 411	. . . 4 |- ( Z e. RR -> ( ( Z + 2 ) - 1 ) <_ sup ( {inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z + 2 ) - 1 ) } , RR , < ) )
31	30, 19	breqtrrd 4142	. . 3 |- ( Z e. RR -> ( ( Z + 2 ) - 1 ) <_ ( F ` ( Z + 2 ) ) )
32	28, 31	eqbrtrrd 4138	. 2 |- ( Z e. RR -> ( Z + 1 ) <_ ( F ` ( Z + 2 ) ) )
33	1, 2, 20, 21, 32	ltletrd 8715	1 |- ( Z e. RR -> Z < ( F ` ( Z + 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   {cpr 3695   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   supcsup 7286  infcinf 7287   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8461   2c2 9308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-ap 8874  df-div 8967  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-n0 9517  df-z 9598  df-uz 9875  df-rp 10008  df-seqfrec 10837  df-exp 10928  df-cj 11555  df-re 11556  df-im 11557  df-rsqrt 11711  df-abs 11712

This theorem is referenced by:  ivthdichlem  15645