Theorem hoverb 15330

Description: A point at which the hover function is greater than a given value. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
hover.f	|- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )

Assertion

Ref	Expression
hoverb	|- ( Z e. RR -> Z < ( F ` ( Z + 2 ) ) )

Distinct variable group:   x, Z

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem hoverb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 |- ( Z e. RR -> Z e. RR )
2		peano2re 8290	. 2 |- ( Z e. RR -> ( Z + 1 ) e. RR )
3		hover.f	. . . 4 |- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )
4		preq1 3743	. . . . . . 7 |- ( x = ( Z + 2 ) -> { x , 0 } = { ( Z + 2 ) , 0 } )
5	4	infeq1d 7187	. . . . . 6 |- ( x = ( Z + 2 ) -> inf ( { x , 0 } , RR , < ) = inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) )
6		oveq1 6014	. . . . . 6 |- ( x = ( Z + 2 ) -> ( x - 1 ) = ( ( Z + 2 ) - 1 ) )
7	5, 6	preq12d 3751	. . . . 5 |- ( x = ( Z + 2 ) -> {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } = {inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z + 2 ) - 1 ) } )
8	7	supeq1d 7162	. . . 4 |- ( x = ( Z + 2 ) -> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) = sup ( {inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z + 2 ) - 1 ) } , RR , < ) )
9		2re 9188	. . . . . 6 |- 2 e. RR
10	9	a1i 9	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> 2 e. RR )
11	1, 10	readdcld 8184	. . . 4 |- ( Z e. RR -> ( Z + 2 ) e. RR )
12		0red 8155	. . . . . 6 |- ( Z e. RR -> 0 e. RR )
13		mincl 11750	. . . . . 6 |- ( ( ( Z + 2 ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) e. RR )
14	11, 12, 13	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) e. RR )
15		peano2rem 8421	. . . . . 6 |- ( ( Z + 2 ) e. RR -> ( ( Z + 2 ) - 1 ) e. RR )
16	11, 15	syl 14	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> ( ( Z + 2 ) - 1 ) e. RR )
17		maxcl 11729	. . . . 5 |- ( (inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) e. RR /\ ( ( Z + 2 ) - 1 ) e. RR ) -> sup ( {inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z + 2 ) - 1 ) } , RR , < ) e. RR )
18	14, 16, 17	syl2anc 411	. . . 4 |- ( Z e. RR -> sup ( {inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z + 2 ) - 1 ) } , RR , < ) e. RR )
19	3, 8, 11, 18	fvmptd3 5730	. . 3 |- ( Z e. RR -> ( F ` ( Z + 2 ) ) = sup ( {inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z + 2 ) - 1 ) } , RR , < ) )
20	19, 18	eqeltrd 2306	. 2 |- ( Z e. RR -> ( F ` ( Z + 2 ) ) e. RR )
21		ltp1 8999	. 2 |- ( Z e. RR -> Z < ( Z + 1 ) )
22		recn 8140	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> Z e. CC )
23		2cnd 9191	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> 2 e. CC )
24		1cnd 8170	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> 1 e. CC )
25	22, 23, 24	addsubassd 8485	. . . 4 |- ( Z e. RR -> ( ( Z + 2 ) - 1 ) = ( Z + ( 2 - 1 ) ) )
26		2m1e1 9236	. . . . 5 |- ( 2 - 1 ) = 1
27	26	oveq2i 6018	. . . 4 |- ( Z + ( 2 - 1 ) ) = ( Z + 1 )
28	25, 27	eqtrdi 2278	. . 3 |- ( Z e. RR -> ( ( Z + 2 ) - 1 ) = ( Z + 1 ) )
29		maxle2 11731	. . . . 5 |- ( (inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) e. RR /\ ( ( Z + 2 ) - 1 ) e. RR ) -> ( ( Z + 2 ) - 1 ) <_ sup ( {inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z + 2 ) - 1 ) } , RR , < ) )
30	14, 16, 29	syl2anc 411	. . . 4 |- ( Z e. RR -> ( ( Z + 2 ) - 1 ) <_ sup ( {inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z + 2 ) - 1 ) } , RR , < ) )
31	30, 19	breqtrrd 4111	. . 3 |- ( Z e. RR -> ( ( Z + 2 ) - 1 ) <_ ( F ` ( Z + 2 ) ) )
32	28, 31	eqbrtrrd 4107	. 2 |- ( Z e. RR -> ( Z + 1 ) <_ ( F ` ( Z + 2 ) ) )
33	1, 2, 20, 21, 32	ltletrd 8578	1 |- ( Z e. RR -> Z < ( F ` ( Z + 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   {cpr 3667   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   supcsup 7157  infcinf 7158   RRcr 8006   0cc0 8007   1c1 8008   + caddc 8010   < clt 8189   <_ cle 8190   - cmin 8325   2c2 9169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126  ax-caucvg 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-sup 7159  df-inf 7160  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-rp 9858  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-cj 11361  df-re 11362  df-im 11363  df-rsqrt 11517  df-abs 11518

This theorem is referenced by:  ivthdichlem  15333