Theorem hoverb 14968

Description: A point at which the hover function is greater than a given value. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
hover.f	|- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )

Assertion

Ref	Expression
hoverb	|- ( Z e. RR -> Z < ( F ` ( Z + 2 ) ) )

Distinct variable group:   x, Z

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem hoverb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 |- ( Z e. RR -> Z e. RR )
2		peano2re 8179	. 2 |- ( Z e. RR -> ( Z + 1 ) e. RR )
3		hover.f	. . . 4 |- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )
4		preq1 3700	. . . . . . 7 |- ( x = ( Z + 2 ) -> { x , 0 } = { ( Z + 2 ) , 0 } )
5	4	infeq1d 7087	. . . . . 6 |- ( x = ( Z + 2 ) -> inf ( { x , 0 } , RR , < ) = inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) )
6		oveq1 5932	. . . . . 6 |- ( x = ( Z + 2 ) -> ( x - 1 ) = ( ( Z + 2 ) - 1 ) )
7	5, 6	preq12d 3708	. . . . 5 |- ( x = ( Z + 2 ) -> {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } = {inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z + 2 ) - 1 ) } )
8	7	supeq1d 7062	. . . 4 |- ( x = ( Z + 2 ) -> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) = sup ( {inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z + 2 ) - 1 ) } , RR , < ) )
9		2re 9077	. . . . . 6 |- 2 e. RR
10	9	a1i 9	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> 2 e. RR )
11	1, 10	readdcld 8073	. . . 4 |- ( Z e. RR -> ( Z + 2 ) e. RR )
12		0red 8044	. . . . . 6 |- ( Z e. RR -> 0 e. RR )
13		mincl 11413	. . . . . 6 |- ( ( ( Z + 2 ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) e. RR )
14	11, 12, 13	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) e. RR )
15		peano2rem 8310	. . . . . 6 |- ( ( Z + 2 ) e. RR -> ( ( Z + 2 ) - 1 ) e. RR )
16	11, 15	syl 14	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> ( ( Z + 2 ) - 1 ) e. RR )
17		maxcl 11392	. . . . 5 |- ( (inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) e. RR /\ ( ( Z + 2 ) - 1 ) e. RR ) -> sup ( {inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z + 2 ) - 1 ) } , RR , < ) e. RR )
18	14, 16, 17	syl2anc 411	. . . 4 |- ( Z e. RR -> sup ( {inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z + 2 ) - 1 ) } , RR , < ) e. RR )
19	3, 8, 11, 18	fvmptd3 5658	. . 3 |- ( Z e. RR -> ( F ` ( Z + 2 ) ) = sup ( {inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z + 2 ) - 1 ) } , RR , < ) )
20	19, 18	eqeltrd 2273	. 2 |- ( Z e. RR -> ( F ` ( Z + 2 ) ) e. RR )
21		ltp1 8888	. 2 |- ( Z e. RR -> Z < ( Z + 1 ) )
22		recn 8029	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> Z e. CC )
23		2cnd 9080	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> 2 e. CC )
24		1cnd 8059	. . . . 5 |- ( Z e. RR -> 1 e. CC )
25	22, 23, 24	addsubassd 8374	. . . 4 |- ( Z e. RR -> ( ( Z + 2 ) - 1 ) = ( Z + ( 2 - 1 ) ) )
26		2m1e1 9125	. . . . 5 |- ( 2 - 1 ) = 1
27	26	oveq2i 5936	. . . 4 |- ( Z + ( 2 - 1 ) ) = ( Z + 1 )
28	25, 27	eqtrdi 2245	. . 3 |- ( Z e. RR -> ( ( Z + 2 ) - 1 ) = ( Z + 1 ) )
29		maxle2 11394	. . . . 5 |- ( (inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) e. RR /\ ( ( Z + 2 ) - 1 ) e. RR ) -> ( ( Z + 2 ) - 1 ) <_ sup ( {inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z + 2 ) - 1 ) } , RR , < ) )
30	14, 16, 29	syl2anc 411	. . . 4 |- ( Z e. RR -> ( ( Z + 2 ) - 1 ) <_ sup ( {inf ( { ( Z + 2 ) , 0 } , RR , < ) , ( ( Z + 2 ) - 1 ) } , RR , < ) )
31	30, 19	breqtrrd 4062	. . 3 |- ( Z e. RR -> ( ( Z + 2 ) - 1 ) <_ ( F ` ( Z + 2 ) ) )
32	28, 31	eqbrtrrd 4058	. 2 |- ( Z e. RR -> ( Z + 1 ) <_ ( F ` ( Z + 2 ) ) )
33	1, 2, 20, 21, 32	ltletrd 8467	1 |- ( Z e. RR -> Z < ( F ` ( Z + 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   {cpr 3624   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   supcsup 7057  infcinf 7058   RRcr 7895   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   < clt 8078   <_ cle 8079   - cmin 8214   2c2 9058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-rp 9746  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181

This theorem is referenced by:  ivthdichlem  14971