ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  leexp2r GIF version

Theorem leexp2r 10576
Description: Weak ordering relationship for exponentiation. (Contributed by Paul Chapman, 14-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
leexp2r (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))

Proof of Theorem leexp2r
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5885 . . . . . . . 8 (๐‘— = ๐‘€ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘€))
21breq1d 4015 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘€ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€) โ†” (๐ดโ†‘๐‘€) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)))
32imbi2d 230 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘€ โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))))
4 oveq2 5885 . . . . . . . 8 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
54breq1d 4015 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€) โ†” (๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)))
65imbi2d 230 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))))
7 oveq2 5885 . . . . . . . 8 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)))
87breq1d 4015 . . . . . . 7 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€) โ†” (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)))
98imbi2d 230 . . . . . 6 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))))
10 oveq2 5885 . . . . . . . 8 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘))
1110breq1d 4015 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘—) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€) โ†” (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)))
1211imbi2d 230 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))))
13 reexpcl 10539 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„)
1413adantr 276 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„)
1514leidd 8473 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))
1615a1i 9 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)))
17 simprll 537 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
18 1red 7974 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
19 simprlr 538 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
20 simpl 109 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
21 eluznn0 9601 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
2219, 20, 21syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
23 reexpcl 10539 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
2417, 22, 23syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
25 simprrl 539 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
26 expge0 10558 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜))
2717, 22, 25, 26syl3anc 1238 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜))
28 simprrr 540 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ ๐ด โ‰ค 1)
2917, 18, 24, 27, 28lemul2ad 8899 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด) โ‰ค ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท 1))
3017recnd 7988 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
31 expp1 10529 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
3230, 22, 31syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
3324recnd 7988 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
3433mulridd 7976 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท 1) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
3534eqcomd 2183 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท 1))
3629, 32, 353brtr4d 4037 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜))
37 peano2nn0 9218 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
3822, 37syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
39 reexpcl 10539 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
4017, 38, 39syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
4113ad2antrl 490 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„)
42 letr 8042 . . . . . . . . . 10 (((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆง (๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)))
4340, 24, 41, 42syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ (((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆง (๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)))
4436, 43mpand 429 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)))
4544ex 115 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))))
4645a2d 26 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)) โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))))
473, 6, 9, 12, 16, 46uzind4 9590 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)))
4847expd 258 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))))
4948com12 30 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))))
50493impia 1200 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€)))
5150imp 124 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘€))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4005  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  โ„‚cc 7811  โ„cr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   ยท cmul 7818   โ‰ค cle 7995  โ„•0cn0 9178  โ„คcz 9255  โ„คโ‰ฅcuz 9530  โ†‘cexp 10521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-seqfrec 10448  df-exp 10522
This theorem is referenced by:  exple1  10578  leexp2rd  10686
  Copyright terms: Public domain W3C validator