Theorem metcnp2 13680

Description: Two ways to say a mapping from metric 𝐶 to metric 𝐷 is continuous at point 𝑃. The distance arguments are swapped compared to metcnp 13679 (and Munkres' metcn 13681) for compatibility with df-lm 13357. Definition 1.3-3 of [Kreyszig] p. 20. (Contributed by NM, 4-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metcn.4	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
metcnp2	⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑤𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑤)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑤,𝑧,𝐹   𝑤,𝐽,𝑦,𝑧   𝑤,𝐾,𝑦,𝑧   𝑤,𝑋,𝑦,𝑧   𝑤,𝑌,𝑦,𝑧   𝑤,𝐶,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑦,𝑧   𝑤,𝑃,𝑦,𝑧

Proof of Theorem metcnp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcn.2	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
2		metcn.4	. . 3 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
3	1, 2	metcnp 13679	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦))))
4		simpl1 1000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
5	4	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
6		simpl3 1002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → 𝑃 ∈ 𝑋)
7	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝑋)
8		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ 𝑋)
9		xmetsym 13535	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐶𝑤) = (𝑤𝐶𝑃))
10	5, 7, 8, 9	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐶𝑤) = (𝑤𝐶𝑃))
11	10	breq1d 4010	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 ↔ (𝑤𝐶𝑃) < 𝑧))
12		simpl2 1001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
13	12	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
14		simpllr 534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
15	14, 7	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑌)
16	14, 8	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑤) ∈ 𝑌)
17		xmetsym 13535	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑌 ∧ (𝐹‘𝑤) ∈ 𝑌) → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) = ((𝐹‘𝑤)𝐷(𝐹‘𝑃)))
18	13, 15, 16, 17	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) = ((𝐹‘𝑤)𝐷(𝐹‘𝑃)))
19	18	breq1d 4010	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦 ↔ ((𝐹‘𝑤)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝑦))
20	11, 19	imbi12d 234	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ((𝑤𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑤)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝑦)))
21	20	ralbidva 2473	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑤𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑤)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝑦)))
22	21	anassrs 400	. . . . 5 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑤𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑤)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝑦)))
23	22	rexbidva 2474	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑤𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑤)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝑦)))
24	23	ralbidva 2473	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑤𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑤)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝑦)))
25	24	pm5.32da 452	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦)) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑤𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑤)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝑦))))
26	3, 25	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑤𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑤)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456   class class class wbr 4000  ⟶wf 5208  ‘cfv 5212  (class class class)co 5869   < clt 7982  ℝ⁺crp 9640  ∞Metcxmet 13147  MetOpencmopn 13152   CnP ccnp 13353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-map 6644  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-xadd 9760  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-topgen 12657  df-psmet 13154  df-xmet 13155  df-bl 13157  df-mopn 13158  df-top 13163  df-topon 13176  df-bases 13208  df-cnp 13356

This theorem is referenced by:  metcnpi2  13683  cnplimclemr  13805