Theorem modqcyc 10315

Description: The modulo operation is periodic. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqcyc	⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))

Proof of Theorem modqcyc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 524	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℚ)
2		zq 9585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
3	2	ad2antlr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℚ)
4		simprl 526	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℚ)
5		qmulcl 9596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝑁 · 𝐵) ∈ ℚ)
6	3, 4, 5	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝑁 · 𝐵) ∈ ℚ)
7		qaddcl 9594	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑁 · 𝐵) ∈ ℚ) → (𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) ∈ ℚ)
8	1, 6, 7	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) ∈ ℚ)
9		simprr 527	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < 𝐵)
10		modqval 10280	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵)))))
11	8, 4, 9, 10	syl3anc 1233	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵)))))
12		qcn 9593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
13	1, 12	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
14		qcn 9593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 · 𝐵) ∈ ℚ → (𝑁 · 𝐵) ∈ ℂ)
15	6, 14	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝑁 · 𝐵) ∈ ℂ)
16		qcn 9593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
17	4, 16	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
18		qre 9584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
19	4, 18	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
20	19, 9	gt0ap0d 8548	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 # 0)
21	13, 15, 17, 20	divdirapd 8746	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) + ((𝑁 · 𝐵) / 𝐵)))
22		simplr 525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℤ)
23	22	zcnd 9335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
24	23, 17, 20	divcanap4d 8713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝑁 · 𝐵) / 𝐵) = 𝑁)
25	24	oveq2d 5869	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) + ((𝑁 · 𝐵) / 𝐵)) = ((𝐴 / 𝐵) + 𝑁))
26	21, 25	eqtrd 2203	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) + 𝑁))
27	26	fveq2d 5500	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵)) = (⌊‘((𝐴 / 𝐵) + 𝑁)))
28	9	gt0ne0d 8431	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ≠ 0)
29		qdivcl 9602	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
30	1, 4, 28, 29	syl3anc 1233	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
31		flqaddz 10253	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝐴 / 𝐵) + 𝑁)) = ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 𝑁))
32	30, 22, 31	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (⌊‘((𝐴 / 𝐵) + 𝑁)) = ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 𝑁))
33	27, 32	eqtrd 2203	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵)) = ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 𝑁))
34	33	oveq2d 5869	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐵 · (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵))) = (𝐵 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 𝑁)))
35	30	flqcld 10233	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
36	35	zcnd 9335	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
37	17, 36, 23	adddid 7944	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐵 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 𝑁)) = ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝐵 · 𝑁)))
38	17, 23	mulcomd 7941	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐵 · 𝑁) = (𝑁 · 𝐵))
39	38	oveq2d 5869	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝐵 · 𝑁)) = ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝑁 · 𝐵)))
40	34, 37, 39	3eqtrd 2207	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐵 · (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵))) = ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝑁 · 𝐵)))
41	40	oveq2d 5869	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵)))) = ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) − ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝑁 · 𝐵))))
42	17, 36	mulcld 7940	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ∈ ℂ)
43	13, 42, 15	pnpcan2d 8268	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) − ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝑁 · 𝐵))) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
44	11, 41, 43	3eqtrd 2207	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
45		modqval 10280	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
46	1, 4, 9, 45	syl3anc 1233	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
47	44, 46	eqtr4d 2206	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773  0cc0 7774   + caddc 7777   · cmul 7779   < clt 7954   − cmin 8090   / cdiv 8589  ℤcz 9212  ℚcq 9578  ⌊cfl 10224   mod cmo 10278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-q 9579  df-rp 9611  df-fl 10226  df-mod 10279

This theorem is referenced by:  modqcyc2  10316  mulqaddmodid  10320  qnegmod  10325  modsumfzodifsn  10352  lgsdir2lem1  13723  lgsdir2lem5  13727