ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqcyc GIF version

Theorem modqcyc 10359
Description: The modulo operation is periodic. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqcyc (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) mod ๐ต) = (๐ด mod ๐ต))

Proof of Theorem modqcyc
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
2 zq 9626 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„š)
32ad2antlr 489 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„š)
4 simprl 529 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
5 qmulcl 9637 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โ†’ (๐‘ ยท ๐ต) โˆˆ โ„š)
63, 4, 5syl2anc 411 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐‘ ยท ๐ต) โˆˆ โ„š)
7 qaddcl 9635 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง (๐‘ ยท ๐ต) โˆˆ โ„š) โ†’ (๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„š)
81, 6, 7syl2anc 411 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„š)
9 simprr 531 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 < ๐ต)
10 modqval 10324 . . . 4 (((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) mod ๐ต) = ((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) / ๐ต)))))
118, 4, 9, 10syl3anc 1238 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) mod ๐ต) = ((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) / ๐ต)))))
12 qcn 9634 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
131, 12syl 14 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
14 qcn 9634 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ ยท ๐ต) โˆˆ โ„š โ†’ (๐‘ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
156, 14syl 14 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐‘ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
16 qcn 9634 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„š โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
174, 16syl 14 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
18 qre 9625 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ โ„š โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
194, 18syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2019, 9gt0ap0d 8586 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต # 0)
2113, 15, 17, 20divdirapd 8786 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) / ๐ต) = ((๐ด / ๐ต) + ((๐‘ ยท ๐ต) / ๐ต)))
22 simplr 528 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2322zcnd 9376 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2423, 17, 20divcanap4d 8753 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ต) / ๐ต) = ๐‘)
2524oveq2d 5891 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) + ((๐‘ ยท ๐ต) / ๐ต)) = ((๐ด / ๐ต) + ๐‘))
2621, 25eqtrd 2210 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) / ๐ต) = ((๐ด / ๐ต) + ๐‘))
2726fveq2d 5520 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) / ๐ต)) = (โŒŠโ€˜((๐ด / ๐ต) + ๐‘)))
289gt0ne0d 8469 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โ‰  0)
29 qdivcl 9643 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„š)
301, 4, 28, 29syl3anc 1238 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„š)
31 flqaddz 10297 . . . . . . . 8 (((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ด / ๐ต) + ๐‘)) = ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + ๐‘))
3230, 22, 31syl2anc 411 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ด / ๐ต) + ๐‘)) = ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + ๐‘))
3327, 32eqtrd 2210 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) / ๐ต)) = ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + ๐‘))
3433oveq2d 5891 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) / ๐ต))) = (๐ต ยท ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + ๐‘)))
3530flqcld 10277 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
3635zcnd 9376 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3717, 36, 23adddid 7982 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ต ยท ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) + ๐‘)) = ((๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) + (๐ต ยท ๐‘)))
3817, 23mulcomd 7979 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ต ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐ต))
3938oveq2d 5891 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) + (๐ต ยท ๐‘)) = ((๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) + (๐‘ ยท ๐ต)))
4034, 37, 393eqtrd 2214 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) / ๐ต))) = ((๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) + (๐‘ ยท ๐ต)))
4140oveq2d 5891 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) / ๐ต)))) = ((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) + (๐‘ ยท ๐ต))))
4217, 36mulcld 7978 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
4313, 42, 15pnpcan2d 8306 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) + (๐‘ ยท ๐ต))) = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
4411, 41, 433eqtrd 2214 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) mod ๐ต) = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
45 modqval 10324 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
461, 4, 9, 45syl3anc 1238 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
4744, 46eqtr4d 2213 1 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด + (๐‘ ยท ๐ต)) mod ๐ต) = (๐ด mod ๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   โ‰  wne 2347   class class class wbr 4004  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809  โ„cr 7810  0cc0 7811   + caddc 7814   ยท cmul 7816   < clt 7992   โˆ’ cmin 8128   / cdiv 8629  โ„คcz 9253  โ„šcq 9619  โŒŠcfl 10268   mod cmo 10322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-q 9620  df-rp 9654  df-fl 10270  df-mod 10323
This theorem is referenced by:  modqcyc2  10360  mulqaddmodid  10364  qnegmod  10369  modsumfzodifsn  10396  lgsdir2lem1  14432  lgsdir2lem5  14436  lgseisenlem1  14453
  Copyright terms: Public domain W3C validator