Theorem modqcyc 10818

Description: The modulo operation is periodic. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqcyc	⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))

Proof of Theorem modqcyc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 531	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℚ)
2		zq 10043	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
3	2	ad2antlr 493	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℚ)
4		simprl 535	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℚ)
5		qmulcl 10054	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝑁 · 𝐵) ∈ ℚ)
6	3, 4, 5	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝑁 · 𝐵) ∈ ℚ)
7		qaddcl 10052	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑁 · 𝐵) ∈ ℚ) → (𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) ∈ ℚ)
8	1, 6, 7	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) ∈ ℚ)
9		simprr 537	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < 𝐵)
10		modqval 10783	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵)))))
11	8, 4, 9, 10	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵)))))
12		qcn 10051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
13	1, 12	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
14		qcn 10051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 · 𝐵) ∈ ℚ → (𝑁 · 𝐵) ∈ ℂ)
15	6, 14	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝑁 · 𝐵) ∈ ℂ)
16		qcn 10051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
17	4, 16	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
18		qre 10042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
19	4, 18	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
20	19, 9	gt0ap0d 8966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 # 0)
21	13, 15, 17, 20	divdirapd 9168	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) + ((𝑁 · 𝐵) / 𝐵)))
22		simplr 533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℤ)
23	22	zcnd 9781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
24	23, 17, 20	divcanap4d 9135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝑁 · 𝐵) / 𝐵) = 𝑁)
25	24	oveq2d 6104	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) + ((𝑁 · 𝐵) / 𝐵)) = ((𝐴 / 𝐵) + 𝑁))
26	21, 25	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) + 𝑁))
27	26	fveq2d 5702	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵)) = (⌊‘((𝐴 / 𝐵) + 𝑁)))
28	9	gt0ne0d 8848	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ≠ 0)
29		qdivcl 10060	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
30	1, 4, 28, 29	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
31		flqaddz 10754	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝐴 / 𝐵) + 𝑁)) = ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 𝑁))
32	30, 22, 31	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (⌊‘((𝐴 / 𝐵) + 𝑁)) = ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 𝑁))
33	27, 32	eqtrd 2271	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵)) = ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 𝑁))
34	33	oveq2d 6104	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐵 · (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵))) = (𝐵 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 𝑁)))
35	30	flqcld 10732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
36	35	zcnd 9781	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
37	17, 36, 23	adddid 8357	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐵 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 𝑁)) = ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝐵 · 𝑁)))
38	17, 23	mulcomd 8354	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐵 · 𝑁) = (𝑁 · 𝐵))
39	38	oveq2d 6104	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝐵 · 𝑁)) = ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝑁 · 𝐵)))
40	34, 37, 39	3eqtrd 2275	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐵 · (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵))) = ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝑁 · 𝐵)))
41	40	oveq2d 6104	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵)))) = ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) − ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝑁 · 𝐵))))
42	17, 36	mulcld 8353	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ∈ ℂ)
43	13, 42, 15	pnpcan2d 8683	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) − ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝑁 · 𝐵))) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
44	11, 41, 43	3eqtrd 2275	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
45		modqval 10783	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
46	1, 4, 9, 45	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
47	44, 46	eqtr4d 2274	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8184  ℝcr 8185  0cc0 8186   + caddc 8189   · cmul 8191   < clt 8367   − cmin 8505   / cdiv 9011  ℤcz 9656  ℚcq 10036  ⌊cfl 10721   mod cmo 10781

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-n0 9576  df-z 9657  df-q 10037  df-rp 10073  df-fl 10723  df-mod 10782

This theorem is used by:  modqcyc2  10819  mulqaddmodid  10823  qnegmod  10828  modsumfzodifsn  10855  modxai  13225  wilthlem1  16244  lgsdir2lem1  16364  lgsdir2lem5  16368  lgseisenlem1  16406