Theorem modqcyc 10430

Description: The modulo operation is periodic. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqcyc	⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))

Proof of Theorem modqcyc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℚ)
2		zq 9691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
3	2	ad2antlr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℚ)
4		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℚ)
5		qmulcl 9702	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝑁 · 𝐵) ∈ ℚ)
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝑁 · 𝐵) ∈ ℚ)
7		qaddcl 9700	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑁 · 𝐵) ∈ ℚ) → (𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) ∈ ℚ)
8	1, 6, 7	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) ∈ ℚ)
9		simprr 531	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < 𝐵)
10		modqval 10395	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵)))))
11	8, 4, 9, 10	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵)))))
12		qcn 9699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
13	1, 12	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
14		qcn 9699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 · 𝐵) ∈ ℚ → (𝑁 · 𝐵) ∈ ℂ)
15	6, 14	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝑁 · 𝐵) ∈ ℂ)
16		qcn 9699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
17	4, 16	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
18		qre 9690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
19	4, 18	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
20	19, 9	gt0ap0d 8648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 # 0)
21	13, 15, 17, 20	divdirapd 8848	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) + ((𝑁 · 𝐵) / 𝐵)))
22		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℤ)
23	22	zcnd 9440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
24	23, 17, 20	divcanap4d 8815	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝑁 · 𝐵) / 𝐵) = 𝑁)
25	24	oveq2d 5934	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) + ((𝑁 · 𝐵) / 𝐵)) = ((𝐴 / 𝐵) + 𝑁))
26	21, 25	eqtrd 2226	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵) = ((𝐴 / 𝐵) + 𝑁))
27	26	fveq2d 5558	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵)) = (⌊‘((𝐴 / 𝐵) + 𝑁)))
28	9	gt0ne0d 8531	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ≠ 0)
29		qdivcl 9708	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
30	1, 4, 28, 29	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
31		flqaddz 10366	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝐴 / 𝐵) + 𝑁)) = ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 𝑁))
32	30, 22, 31	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (⌊‘((𝐴 / 𝐵) + 𝑁)) = ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 𝑁))
33	27, 32	eqtrd 2226	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵)) = ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 𝑁))
34	33	oveq2d 5934	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐵 · (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵))) = (𝐵 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 𝑁)))
35	30	flqcld 10346	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
36	35	zcnd 9440	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
37	17, 36, 23	adddid 8044	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐵 · ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) + 𝑁)) = ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝐵 · 𝑁)))
38	17, 23	mulcomd 8041	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐵 · 𝑁) = (𝑁 · 𝐵))
39	38	oveq2d 5934	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝐵 · 𝑁)) = ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝑁 · 𝐵)))
40	34, 37, 39	3eqtrd 2230	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐵 · (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵))) = ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝑁 · 𝐵)))
41	40	oveq2d 5934	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) − (𝐵 · (⌊‘((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) / 𝐵)))) = ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) − ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝑁 · 𝐵))))
42	17, 36	mulcld 8040	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ∈ ℂ)
43	13, 42, 15	pnpcan2d 8368	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) − ((𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) + (𝑁 · 𝐵))) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
44	11, 41, 43	3eqtrd 2230	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
45		modqval 10395	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
46	1, 4, 9, 45	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
47	44, 46	eqtr4d 2229	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  ℝcr 7871  0cc0 7872   + caddc 7875   · cmul 7877   < clt 8054   − cmin 8190   / cdiv 8691  ℤcz 9317  ℚcq 9684  ⌊cfl 10337   mod cmo 10393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-q 9685  df-rp 9720  df-fl 10339  df-mod 10394

This theorem is referenced by:  modqcyc2  10431  mulqaddmodid  10435  qnegmod  10440  modsumfzodifsn  10467  wilthlem1  15112  lgsdir2lem1  15144  lgsdir2lem5  15148  lgseisenlem1  15186