Theorem mulg0 13831

Description: Group multiple (exponentiation) operation at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulg0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg0.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mulg0.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulg0	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem mulg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9584	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		mulg0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		mulg0.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
6		mulg0.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7		eqid 2232	. . . 4 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	mulgval 13828	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))))
9		eqid 2232	. . . 4 ⊢ 0 = 0
10	9	iftruei 3627	. . 3 ⊢ if(0 = 0, 0 , if(0 < 0, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘0), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-0)))) = 0
11	8, 10	eqtrdi 2281	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = 0 )
12	1, 11	mpan 424	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ifcif 3619  {csn 3688   class class class wbr 4108   × cxp 4746  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  0cc0 8123  1c1 8124   < clt 8304  -cneg 8441  ℕcn 9233  ℤcz 9573  seqcseq 10805  Basecbs 13201  +_gcplusg 13279  0_gc0g 13458  inv_gcminusg 13703  ._gcmg 13825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-addass 8225  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-inn 9234  df-2 9292  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-seqfrec 10806  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-plusg 13292  df-0g 13460  df-minusg 13706  df-mulg 13826

This theorem is referenced by:  mulgnn0gsum  13834  mulgnn0p1  13839  mulgnn0subcl  13841  mulgneg  13846  mulgaddcom  13852  mulginvcom  13853  mulgnn0z  13855  mulgnn0dir  13858  mulgneg2  13862  mulgnn0ass  13864  mhmmulg  13869  submmulg  13872  srgmulgass  14122  srgpcomp  14123  mulgass2  14191  lmodvsmmulgdi  14458  cnfldmulg  14711  cnfldexp  14712