Theorem neapmkvlem 17022

Description: Lemma for neapmkv 17023. The result, with a few hypotheses broken out for convenience. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
neapmkvlem.f	|- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
neapmkvlem.a	|- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )
neapmkvlem.h	|- ( ( ph /\ A =/= 1 ) -> A # 1 )

Assertion

Ref	Expression
neapmkvlem	|- ( ph -> ( -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 -> E. x e. NN ( F ` x ) = 0 ) )

Distinct variable groups:   A, i, x   i, F, x   ph, i, x

Proof of Theorem neapmkvlem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neapmkvlem.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
2	1	ad2antrr 492	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ A < 1 ) -> F : NN --> { 0 , 1 } )
3		neapmkvlem.a	. . . . 5 |- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )
4		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ A < 1 ) -> A < 1 )
5	2, 3, 4	trilpolemlt1 16995	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ A < 1 ) -> E. z e. NN ( F ` z ) = 0 )
6		fveqeq2 5699	. . . . 5 |- ( z = x -> ( ( F ` z ) = 0 <-> ( F ` x ) = 0 ) )
7	6	cbvrexv 2787	. . . 4 |- ( E. z e. NN ( F ` z ) = 0 <-> E. x e. NN ( F ` x ) = 0 )
8	5, 7	sylib 122	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ A < 1 ) -> E. x e. NN ( F ` x ) = 0 )
9		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ 1 < A ) -> 1 < A )
10	1	ad2antrr 492	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ 1 < A ) -> F : NN --> { 0 , 1 } )
11	10, 3	trilpolemgt1 16993	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ 1 < A ) -> -. 1 < A )
12	9, 11	pm2.21dd 629	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ 1 < A ) -> E. x e. NN ( F ` x ) = 0 )
13		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 )
14	1, 3	redcwlpolemeq1 17009	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A = 1 <-> A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) )
15	14	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> ( A = 1 <-> A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) )
16	13, 15	mtbird 684	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> -. A = 1 )
17	16	neqned 2427	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> A =/= 1 )
18		neapmkvlem.h	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A =/= 1 ) -> A # 1 )
19	17, 18	syldan 282	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> A # 1 )
20	1, 3	trilpolemcl 16991	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
21		1red 8331	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> 1 e. RR )
22		reaplt 8906	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( A # 1 <-> ( A < 1 \/ 1 < A ) ) )
23	20, 21, 22	syl2an2r 603	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> ( A # 1 <-> ( A < 1 \/ 1 < A ) ) )
24	19, 23	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> ( A < 1 \/ 1 < A ) )
25	8, 12, 24	mpjaodan 810	. 2 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> E. x e. NN ( F ` x ) = 0 )
26	25	ex 115	1 |- ( ph -> ( -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 -> E. x e. NN ( F ` x ) = 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   E.wrex 2529   {cpr 3706   class class class wbr 4125   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   RRcr 8168   0cc0 8169   1c1 8170   x. cmul 8174   < clt 8350   # cap 8899   / cdiv 8992   NNcn 9283   2c2 9334   ^cexp 10953   sum_csu 12097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-2o 6678  df-oadd 6681  df-er 6797  df-map 6914  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-omni 7465  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-ico 10275  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-ihash 11193  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098

This theorem is referenced by:  neapmkv  17023