Theorem neapmkvlem 16523

Description: Lemma for neapmkv 16524. The result, with a few hypotheses broken out for convenience. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
neapmkvlem.f	|- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
neapmkvlem.a	|- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )
neapmkvlem.h	|- ( ( ph /\ A =/= 1 ) -> A # 1 )

Assertion

Ref	Expression
neapmkvlem	|- ( ph -> ( -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 -> E. x e. NN ( F ` x ) = 0 ) )

Distinct variable groups:   A, i, x   i, F, x   ph, i, x

Proof of Theorem neapmkvlem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neapmkvlem.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
2	1	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ A < 1 ) -> F : NN --> { 0 , 1 } )
3		neapmkvlem.a	. . . . 5 |- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )
4		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ A < 1 ) -> A < 1 )
5	2, 3, 4	trilpolemlt1 16497	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ A < 1 ) -> E. z e. NN ( F ` z ) = 0 )
6		fveqeq2 5638	. . . . 5 |- ( z = x -> ( ( F ` z ) = 0 <-> ( F ` x ) = 0 ) )
7	6	cbvrexv 2766	. . . 4 |- ( E. z e. NN ( F ` z ) = 0 <-> E. x e. NN ( F ` x ) = 0 )
8	5, 7	sylib 122	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ A < 1 ) -> E. x e. NN ( F ` x ) = 0 )
9		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ 1 < A ) -> 1 < A )
10	1	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ 1 < A ) -> F : NN --> { 0 , 1 } )
11	10, 3	trilpolemgt1 16495	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ 1 < A ) -> -. 1 < A )
12	9, 11	pm2.21dd 623	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ 1 < A ) -> E. x e. NN ( F ` x ) = 0 )
13		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 )
14	1, 3	redcwlpolemeq1 16510	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A = 1 <-> A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) )
15	14	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> ( A = 1 <-> A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) )
16	13, 15	mtbird 677	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> -. A = 1 )
17	16	neqned 2407	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> A =/= 1 )
18		neapmkvlem.h	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A =/= 1 ) -> A # 1 )
19	17, 18	syldan 282	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> A # 1 )
20	1, 3	trilpolemcl 16493	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
21		1red 8172	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> 1 e. RR )
22		reaplt 8746	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( A # 1 <-> ( A < 1 \/ 1 < A ) ) )
23	20, 21, 22	syl2an2r 597	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> ( A # 1 <-> ( A < 1 \/ 1 < A ) ) )
24	19, 23	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> ( A < 1 \/ 1 < A ) )
25	8, 12, 24	mpjaodan 803	. 2 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> E. x e. NN ( F ` x ) = 0 )
26	25	ex 115	1 |- ( ph -> ( -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 -> E. x e. NN ( F ` x ) = 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   A.wral 2508   E.wrex 2509   {cpr 3667   class class class wbr 4083   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   RRcr 8009   0cc0 8010   1c1 8011   x. cmul 8015   < clt 8192   # cap 8739   / cdiv 8830   NNcn 9121   2c2 9172   ^cexp 10772   sum_csu 11880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-2o 6569  df-oadd 6572  df-er 6688  df-map 6805  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-omni 7313  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-ico 10102  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-ihash 11010  df-cj 11369  df-re 11370  df-im 11371  df-rsqrt 11525  df-abs 11526  df-clim 11806  df-sumdc 11881

This theorem is referenced by:  neapmkv  16524