Theorem neapmkvlem 16671

Description: Lemma for neapmkv 16672. The result, with a few hypotheses broken out for convenience. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
neapmkvlem.f	|- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
neapmkvlem.a	|- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )
neapmkvlem.h	|- ( ( ph /\ A =/= 1 ) -> A # 1 )

Assertion

Ref	Expression
neapmkvlem	|- ( ph -> ( -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 -> E. x e. NN ( F ` x ) = 0 ) )

Distinct variable groups:   A, i, x   i, F, x   ph, i, x

Proof of Theorem neapmkvlem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neapmkvlem.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
2	1	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ A < 1 ) -> F : NN --> { 0 , 1 } )
3		neapmkvlem.a	. . . . 5 |- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )
4		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ A < 1 ) -> A < 1 )
5	2, 3, 4	trilpolemlt1 16645	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ A < 1 ) -> E. z e. NN ( F ` z ) = 0 )
6		fveqeq2 5648	. . . . 5 |- ( z = x -> ( ( F ` z ) = 0 <-> ( F ` x ) = 0 ) )
7	6	cbvrexv 2768	. . . 4 |- ( E. z e. NN ( F ` z ) = 0 <-> E. x e. NN ( F ` x ) = 0 )
8	5, 7	sylib 122	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ A < 1 ) -> E. x e. NN ( F ` x ) = 0 )
9		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ 1 < A ) -> 1 < A )
10	1	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ 1 < A ) -> F : NN --> { 0 , 1 } )
11	10, 3	trilpolemgt1 16643	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ 1 < A ) -> -. 1 < A )
12	9, 11	pm2.21dd 625	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ 1 < A ) -> E. x e. NN ( F ` x ) = 0 )
13		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 )
14	1, 3	redcwlpolemeq1 16658	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A = 1 <-> A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) )
15	14	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> ( A = 1 <-> A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) )
16	13, 15	mtbird 679	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> -. A = 1 )
17	16	neqned 2409	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> A =/= 1 )
18		neapmkvlem.h	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A =/= 1 ) -> A # 1 )
19	17, 18	syldan 282	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> A # 1 )
20	1, 3	trilpolemcl 16641	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
21		1red 8193	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> 1 e. RR )
22		reaplt 8767	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( A # 1 <-> ( A < 1 \/ 1 < A ) ) )
23	20, 21, 22	syl2an2r 599	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> ( A # 1 <-> ( A < 1 \/ 1 < A ) ) )
24	19, 23	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> ( A < 1 \/ 1 < A ) )
25	8, 12, 24	mpjaodan 805	. 2 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> E. x e. NN ( F ` x ) = 0 )
26	25	ex 115	1 |- ( ph -> ( -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 -> E. x e. NN ( F ` x ) = 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   = wceq 1397   e. wcel 2202   =/= wne 2402   A.wral 2510   E.wrex 2511   {cpr 3670   class class class wbr 4088   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   RRcr 8030   0cc0 8031   1c1 8032   x. cmul 8036   < clt 8213   # cap 8760   / cdiv 8851   NNcn 9142   2c2 9193   ^cexp 10799   sum_csu 11913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-frec 6556  df-1o 6581  df-2o 6582  df-oadd 6585  df-er 6701  df-map 6818  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-omni 7333  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-ico 10128  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-ihash 11037  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-clim 11839  df-sumdc 11914

This theorem is referenced by:  neapmkv  16672