Theorem neapmkvlem 14098

Description: Lemma for neapmkv 14099. The result, with a few hypotheses broken out for convenience. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
neapmkvlem.f	|- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
neapmkvlem.a	|- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )
neapmkvlem.h	|- ( ( ph /\ A =/= 1 ) -> A # 1 )

Assertion

Ref	Expression
neapmkvlem	|- ( ph -> ( -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 -> E. x e. NN ( F ` x ) = 0 ) )

Distinct variable groups:   A, i, x   i, F, x   ph, i, x

Proof of Theorem neapmkvlem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neapmkvlem.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
2	1	ad2antrr 485	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ A < 1 ) -> F : NN --> { 0 , 1 } )
3		neapmkvlem.a	. . . . 5 |- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )
4		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ A < 1 ) -> A < 1 )
5	2, 3, 4	trilpolemlt1 14073	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ A < 1 ) -> E. z e. NN ( F ` z ) = 0 )
6		fveqeq2 5505	. . . . 5 |- ( z = x -> ( ( F ` z ) = 0 <-> ( F ` x ) = 0 ) )
7	6	cbvrexv 2697	. . . 4 |- ( E. z e. NN ( F ` z ) = 0 <-> E. x e. NN ( F ` x ) = 0 )
8	5, 7	sylib 121	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ A < 1 ) -> E. x e. NN ( F ` x ) = 0 )
9		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ 1 < A ) -> 1 < A )
10	1	ad2antrr 485	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ 1 < A ) -> F : NN --> { 0 , 1 } )
11	10, 3	trilpolemgt1 14071	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ 1 < A ) -> -. 1 < A )
12	9, 11	pm2.21dd 615	. . 3 |- ( ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ 1 < A ) -> E. x e. NN ( F ` x ) = 0 )
13		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 )
14	1, 3	redcwlpolemeq1 14086	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A = 1 <-> A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) )
15	14	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> ( A = 1 <-> A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) )
16	13, 15	mtbird 668	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> -. A = 1 )
17	16	neqned 2347	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> A =/= 1 )
18		neapmkvlem.h	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A =/= 1 ) -> A # 1 )
19	17, 18	syldan 280	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> A # 1 )
20	1, 3	trilpolemcl 14069	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
21		1red 7935	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> 1 e. RR )
22		reaplt 8507	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( A # 1 <-> ( A < 1 \/ 1 < A ) ) )
23	20, 21, 22	syl2an2r 590	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> ( A # 1 <-> ( A < 1 \/ 1 < A ) ) )
24	19, 23	mpbid 146	. . 3 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> ( A < 1 \/ 1 < A ) )
25	8, 12, 24	mpjaodan 793	. 2 |- ( ( ph /\ -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> E. x e. NN ( F ` x ) = 0 )
26	25	ex 114	1 |- ( ph -> ( -. A. x e. NN ( F ` x ) = 1 -> E. x e. NN ( F ` x ) = 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   = wceq 1348   e. wcel 2141   =/= wne 2340   A.wral 2448   E.wrex 2449   {cpr 3584   class class class wbr 3989   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   x. cmul 7779   < clt 7954   # cap 8500   / cdiv 8589   NNcn 8878   2c2 8929   ^cexp 10475   sum_csu 11316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-er 6513  df-map 6628  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-omni 7111  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-ico 9851  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317

This theorem is referenced by:  neapmkv  14099