Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  neapmkvlem GIF version

Theorem neapmkvlem 14297
Description: Lemma for neapmkv 14298. The result, with a few hypotheses broken out for convenience. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
neapmkvlem.f (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„•โŸถ{0, 1})
neapmkvlem.a ๐ด = ฮฃ๐‘– โˆˆ โ„• ((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐นโ€˜๐‘–))
neapmkvlem.h ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ๐ด # 1)
Assertion
Ref Expression
neapmkvlem (๐œ‘ โ†’ (ยฌ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘ฅ) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘ฅ) = 0))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘–,๐‘ฅ   ๐‘–,๐น,๐‘ฅ   ๐œ‘,๐‘–,๐‘ฅ

Proof of Theorem neapmkvlem
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neapmkvlem.f . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„•โŸถ{0, 1})
21ad2antrr 488 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ยฌ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘ฅ) = 1) โˆง ๐ด < 1) โ†’ ๐น:โ„•โŸถ{0, 1})
3 neapmkvlem.a . . . . 5 ๐ด = ฮฃ๐‘– โˆˆ โ„• ((1 / (2โ†‘๐‘–)) ยท (๐นโ€˜๐‘–))
4 simpr 110 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ยฌ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘ฅ) = 1) โˆง ๐ด < 1) โ†’ ๐ด < 1)
52, 3, 4trilpolemlt1 14272 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ยฌ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘ฅ) = 1) โˆง ๐ด < 1) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘ง) = 0)
6 fveqeq2 5516 . . . . 5 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ง) = 0 โ†” (๐นโ€˜๐‘ฅ) = 0))
76cbvrexv 2702 . . . 4 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘ง) = 0 โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘ฅ) = 0)
85, 7sylib 122 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ยฌ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘ฅ) = 1) โˆง ๐ด < 1) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘ฅ) = 0)
9 simpr 110 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ยฌ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘ฅ) = 1) โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 1 < ๐ด)
101ad2antrr 488 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ยฌ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘ฅ) = 1) โˆง 1 < ๐ด) โ†’ ๐น:โ„•โŸถ{0, 1})
1110, 3trilpolemgt1 14270 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ยฌ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘ฅ) = 1) โˆง 1 < ๐ด) โ†’ ยฌ 1 < ๐ด)
129, 11pm2.21dd 620 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ยฌ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘ฅ) = 1) โˆง 1 < ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘ฅ) = 0)
13 simpr 110 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘ฅ) = 1) โ†’ ยฌ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘ฅ) = 1)
141, 3redcwlpolemeq1 14285 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด = 1 โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘ฅ) = 1))
1514adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘ฅ) = 1) โ†’ (๐ด = 1 โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘ฅ) = 1))
1613, 15mtbird 673 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘ฅ) = 1) โ†’ ยฌ ๐ด = 1)
1716neqned 2352 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘ฅ) = 1) โ†’ ๐ด โ‰  1)
18 neapmkvlem.h . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ ๐ด # 1)
1917, 18syldan 282 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘ฅ) = 1) โ†’ ๐ด # 1)
201, 3trilpolemcl 14268 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
21 1red 7947 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘ฅ) = 1) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
22 reaplt 8519 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด # 1 โ†” (๐ด < 1 โˆจ 1 < ๐ด)))
2320, 21, 22syl2an2r 595 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘ฅ) = 1) โ†’ (๐ด # 1 โ†” (๐ด < 1 โˆจ 1 < ๐ด)))
2419, 23mpbid 147 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ยฌ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘ฅ) = 1) โ†’ (๐ด < 1 โˆจ 1 < ๐ด))
258, 12, 24mpjaodan 798 . 2 ((๐œ‘ โˆง ยฌ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘ฅ) = 1) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘ฅ) = 0)
2625ex 115 1 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘ฅ) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐นโ€˜๐‘ฅ) = 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2146   โ‰  wne 2345  โˆ€wral 2453  โˆƒwrex 2454  {cpr 3590   class class class wbr 3998  โŸถwf 5204  โ€˜cfv 5208  (class class class)co 5865  โ„cr 7785  0cc0 7786  1c1 7787   ยท cmul 7791   < clt 7966   # cap 8512   / cdiv 8601  โ„•cn 8890  2c2 8941  โ†‘cexp 10487  ฮฃcsu 11328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-frec 6382  df-1o 6407  df-2o 6408  df-oadd 6411  df-er 6525  df-map 6640  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-omni 7123  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-ico 9863  df-fz 9978  df-fzo 10111  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-ihash 10722  df-cj 10818  df-re 10819  df-im 10820  df-rsqrt 10974  df-abs 10975  df-clim 11254  df-sumdc 11329
This theorem is referenced by:  neapmkv  14298
  Copyright terms: Public domain W3C validator