Theorem neapmkvlem 15968

Description: Lemma for neapmkv 15969. The result, with a few hypotheses broken out for convenience. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
neapmkvlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
neapmkvlem.a	⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖))
neapmkvlem.h	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 # 1)

Assertion

Ref	Expression
neapmkvlem	⊢ (𝜑 → (¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 0))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝑖,𝐹,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥

Proof of Theorem neapmkvlem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neapmkvlem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
2	1	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
3		neapmkvlem.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖))
4		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 < 1)
5	2, 3, 4	trilpolemlt1 15942	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝐴 < 1) → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝐹‘𝑧) = 0)
6		fveqeq2 5584	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑧) = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = 0))
7	6	cbvrexv 2738	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℕ (𝐹‘𝑧) = 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 0)
8	5, 7	sylib 122	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝐴 < 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 0)
9		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
10	1	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
11	10, 3	trilpolemgt1 15940	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 1 < 𝐴) → ¬ 1 < 𝐴)
12	9, 11	pm2.21dd 621	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 1 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 0)
13		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1)
14	1, 3	redcwlpolemeq1 15955	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 1 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1))
15	14	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → (𝐴 = 1 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1))
16	13, 15	mtbird 674	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → ¬ 𝐴 = 1)
17	16	neqned 2382	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → 𝐴 ≠ 1)
18		neapmkvlem.h	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 # 1)
19	17, 18	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → 𝐴 # 1)
20	1, 3	trilpolemcl 15938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
21		1red 8086	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → 1 ∈ ℝ)
22		reaplt 8660	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 # 1 ↔ (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴)))
23	20, 21, 22	syl2an2r 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → (𝐴 # 1 ↔ (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴)))
24	19, 23	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴))
25	8, 12, 24	mpjaodan 799	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 0)
26	25	ex 115	1 ⊢ (𝜑 → (¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   ≠ wne 2375  ∀wral 2483  ∃wrex 2484  {cpr 3633   class class class wbr 4043  ⟶wf 5266  ‘cfv 5270  (class class class)co 5943  ℝcr 7923  0cc0 7924  1c1 7925   · cmul 7929   < clt 8106   # cap 8653   / cdiv 8744  ℕcn 9035  2c2 9086  ↑cexp 10681  Σcsu 11635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-isom 5279  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-irdg 6455  df-frec 6476  df-1o 6501  df-2o 6502  df-oadd 6505  df-er 6619  df-map 6736  df-en 6827  df-dom 6828  df-fin 6829  df-omni 7236  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-ico 10015  df-fz 10130  df-fzo 10264  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-ihash 10919  df-cj 11124  df-re 11125  df-im 11126  df-rsqrt 11280  df-abs 11281  df-clim 11561  df-sumdc 11636

This theorem is referenced by:  neapmkv  15969