Theorem neapmkvlem 16208

Description: Lemma for neapmkv 16209. The result, with a few hypotheses broken out for convenience. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
neapmkvlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
neapmkvlem.a	⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖))
neapmkvlem.h	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 # 1)

Assertion

Ref	Expression
neapmkvlem	⊢ (𝜑 → (¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 0))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝑖,𝐹,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥

Proof of Theorem neapmkvlem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neapmkvlem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
2	1	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
3		neapmkvlem.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖))
4		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 < 1)
5	2, 3, 4	trilpolemlt1 16182	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝐴 < 1) → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝐹‘𝑧) = 0)
6		fveqeq2 5608	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑧) = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = 0))
7	6	cbvrexv 2743	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℕ (𝐹‘𝑧) = 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 0)
8	5, 7	sylib 122	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝐴 < 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 0)
9		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
10	1	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
11	10, 3	trilpolemgt1 16180	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 1 < 𝐴) → ¬ 1 < 𝐴)
12	9, 11	pm2.21dd 621	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 1 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 0)
13		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1)
14	1, 3	redcwlpolemeq1 16195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 1 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1))
15	14	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → (𝐴 = 1 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1))
16	13, 15	mtbird 675	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → ¬ 𝐴 = 1)
17	16	neqned 2385	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → 𝐴 ≠ 1)
18		neapmkvlem.h	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 # 1)
19	17, 18	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → 𝐴 # 1)
20	1, 3	trilpolemcl 16178	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
21		1red 8122	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → 1 ∈ ℝ)
22		reaplt 8696	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 # 1 ↔ (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴)))
23	20, 21, 22	syl2an2r 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → (𝐴 # 1 ↔ (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴)))
24	19, 23	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴))
25	8, 12, 24	mpjaodan 800	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 0)
26	25	ex 115	1 ⊢ (𝜑 → (¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   ≠ wne 2378  ∀wral 2486  ∃wrex 2487  {cpr 3644   class class class wbr 4059  ⟶wf 5286  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967  ℝcr 7959  0cc0 7960  1c1 7961   · cmul 7965   < clt 8142   # cap 8689   / cdiv 8780  ℕcn 9071  2c2 9122  ↑cexp 10720  Σcsu 11779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-frec 6500  df-1o 6525  df-2o 6526  df-oadd 6529  df-er 6643  df-map 6760  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-omni 7263  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-ico 10051  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-ihash 10958  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-clim 11705  df-sumdc 11780

This theorem is referenced by:  neapmkv  16209