Mathbox for Jim Kingdon |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
||
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > Mathboxes > neapmkvlem | GIF version |
Description: Lemma for neapmkv 14298. The result, with a few hypotheses broken out for convenience. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2024.) |
Ref | Expression |
---|---|
neapmkvlem.f | โข (๐ โ ๐น:โโถ{0, 1}) |
neapmkvlem.a | โข ๐ด = ฮฃ๐ โ โ ((1 / (2โ๐)) ยท (๐นโ๐)) |
neapmkvlem.h | โข ((๐ โง ๐ด โ 1) โ ๐ด # 1) |
Ref | Expression |
---|---|
neapmkvlem | โข (๐ โ (ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1 โ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 0)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | neapmkvlem.f | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐น:โโถ{0, 1}) | |
2 | 1 | ad2antrr 488 | . . . . 5 โข (((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โง ๐ด < 1) โ ๐น:โโถ{0, 1}) |
3 | neapmkvlem.a | . . . . 5 โข ๐ด = ฮฃ๐ โ โ ((1 / (2โ๐)) ยท (๐นโ๐)) | |
4 | simpr 110 | . . . . 5 โข (((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โง ๐ด < 1) โ ๐ด < 1) | |
5 | 2, 3, 4 | trilpolemlt1 14272 | . . . 4 โข (((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โง ๐ด < 1) โ โ๐ง โ โ (๐นโ๐ง) = 0) |
6 | fveqeq2 5516 | . . . . 5 โข (๐ง = ๐ฅ โ ((๐นโ๐ง) = 0 โ (๐นโ๐ฅ) = 0)) | |
7 | 6 | cbvrexv 2702 | . . . 4 โข (โ๐ง โ โ (๐นโ๐ง) = 0 โ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 0) |
8 | 5, 7 | sylib 122 | . . 3 โข (((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โง ๐ด < 1) โ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 0) |
9 | simpr 110 | . . . 4 โข (((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โง 1 < ๐ด) โ 1 < ๐ด) | |
10 | 1 | ad2antrr 488 | . . . . 5 โข (((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โง 1 < ๐ด) โ ๐น:โโถ{0, 1}) |
11 | 10, 3 | trilpolemgt1 14270 | . . . 4 โข (((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โง 1 < ๐ด) โ ยฌ 1 < ๐ด) |
12 | 9, 11 | pm2.21dd 620 | . . 3 โข (((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โง 1 < ๐ด) โ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 0) |
13 | simpr 110 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โ ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) | |
14 | 1, 3 | redcwlpolemeq1 14285 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ (๐ด = 1 โ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1)) |
15 | 14 | adantr 276 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โ (๐ด = 1 โ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1)) |
16 | 13, 15 | mtbird 673 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โ ยฌ ๐ด = 1) |
17 | 16 | neqned 2352 | . . . . 5 โข ((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โ ๐ด โ 1) |
18 | neapmkvlem.h | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ด โ 1) โ ๐ด # 1) | |
19 | 17, 18 | syldan 282 | . . . 4 โข ((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โ ๐ด # 1) |
20 | 1, 3 | trilpolemcl 14268 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
21 | 1red 7947 | . . . . 5 โข ((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โ 1 โ โ) | |
22 | reaplt 8519 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง 1 โ โ) โ (๐ด # 1 โ (๐ด < 1 โจ 1 < ๐ด))) | |
23 | 20, 21, 22 | syl2an2r 595 | . . . 4 โข ((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โ (๐ด # 1 โ (๐ด < 1 โจ 1 < ๐ด))) |
24 | 19, 23 | mpbid 147 | . . 3 โข ((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โ (๐ด < 1 โจ 1 < ๐ด)) |
25 | 8, 12, 24 | mpjaodan 798 | . 2 โข ((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 0) |
26 | 25 | ex 115 | 1 โข (๐ โ (ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1 โ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 0)) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โง wa 104 โ wb 105 โจ wo 708 = wceq 1353 โ wcel 2146 โ wne 2345 โwral 2453 โwrex 2454 {cpr 3590 class class class wbr 3998 โถwf 5204 โcfv 5208 (class class class)co 5865 โcr 7785 0cc0 7786 1c1 7787 ยท cmul 7791 < clt 7966 # cap 8512 / cdiv 8601 โcn 8890 2c2 8941 โcexp 10487 ฮฃcsu 11328 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1445 ax-7 1446 ax-gen 1447 ax-ie1 1491 ax-ie2 1492 ax-8 1502 ax-10 1503 ax-11 1504 ax-i12 1505 ax-bndl 1507 ax-4 1508 ax-17 1524 ax-i9 1528 ax-ial 1532 ax-i5r 1533 ax-13 2148 ax-14 2149 ax-ext 2157 ax-coll 4113 ax-sep 4116 ax-nul 4124 ax-pow 4169 ax-pr 4203 ax-un 4427 ax-setind 4530 ax-iinf 4581 ax-cnex 7877 ax-resscn 7878 ax-1cn 7879 ax-1re 7880 ax-icn 7881 ax-addcl 7882 ax-addrcl 7883 ax-mulcl 7884 ax-mulrcl 7885 ax-addcom 7886 ax-mulcom 7887 ax-addass 7888 ax-mulass 7889 ax-distr 7890 ax-i2m1 7891 ax-0lt1 7892 ax-1rid 7893 ax-0id 7894 ax-rnegex 7895 ax-precex 7896 ax-cnre 7897 ax-pre-ltirr 7898 ax-pre-ltwlin 7899 ax-pre-lttrn 7900 ax-pre-apti 7901 ax-pre-ltadd 7902 ax-pre-mulgt0 7903 ax-pre-mulext 7904 ax-arch 7905 ax-caucvg 7906 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1459 df-sb 1761 df-eu 2027 df-mo 2028 df-clab 2162 df-cleq 2168 df-clel 2171 df-nfc 2306 df-ne 2346 df-nel 2441 df-ral 2458 df-rex 2459 df-reu 2460 df-rmo 2461 df-rab 2462 df-v 2737 df-sbc 2961 df-csb 3056 df-dif 3129 df-un 3131 df-in 3133 df-ss 3140 df-nul 3421 df-if 3533 df-pw 3574 df-sn 3595 df-pr 3596 df-op 3598 df-uni 3806 df-int 3841 df-iun 3884 df-br 3999 df-opab 4060 df-mpt 4061 df-tr 4097 df-id 4287 df-po 4290 df-iso 4291 df-iord 4360 df-on 4362 df-ilim 4363 df-suc 4365 df-iom 4584 df-xp 4626 df-rel 4627 df-cnv 4628 df-co 4629 df-dm 4630 df-rn 4631 df-res 4632 df-ima 4633 df-iota 5170 df-fun 5210 df-fn 5211 df-f 5212 df-f1 5213 df-fo 5214 df-f1o 5215 df-fv 5216 df-isom 5217 df-riota 5821 df-ov 5868 df-oprab 5869 df-mpo 5870 df-1st 6131 df-2nd 6132 df-recs 6296 df-irdg 6361 df-frec 6382 df-1o 6407 df-2o 6408 df-oadd 6411 df-er 6525 df-map 6640 df-en 6731 df-dom 6732 df-fin 6733 df-omni 7123 df-pnf 7968 df-mnf 7969 df-xr 7970 df-ltxr 7971 df-le 7972 df-sub 8104 df-neg 8105 df-reap 8506 df-ap 8513 df-div 8602 df-inn 8891 df-2 8949 df-3 8950 df-4 8951 df-n0 9148 df-z 9225 df-uz 9500 df-q 9591 df-rp 9623 df-ico 9863 df-fz 9978 df-fzo 10111 df-seqfrec 10414 df-exp 10488 df-ihash 10722 df-cj 10818 df-re 10819 df-im 10820 df-rsqrt 10974 df-abs 10975 df-clim 11254 df-sumdc 11329 |
This theorem is referenced by: neapmkv 14298 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |