Theorem neapmkvlem 16800

Description: Lemma for neapmkv 16801. The result, with a few hypotheses broken out for convenience. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
neapmkvlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
neapmkvlem.a	⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖))
neapmkvlem.h	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 # 1)

Assertion

Ref	Expression
neapmkvlem	⊢ (𝜑 → (¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 0))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝑖,𝐹,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥

Proof of Theorem neapmkvlem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neapmkvlem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
2	1	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
3		neapmkvlem.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖))
4		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 < 1)
5	2, 3, 4	trilpolemlt1 16773	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝐴 < 1) → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝐹‘𝑧) = 0)
6		fveqeq2 5657	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑧) = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = 0))
7	6	cbvrexv 2769	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℕ (𝐹‘𝑧) = 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 0)
8	5, 7	sylib 122	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝐴 < 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 0)
9		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
10	1	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
11	10, 3	trilpolemgt1 16771	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 1 < 𝐴) → ¬ 1 < 𝐴)
12	9, 11	pm2.21dd 625	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 1 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 0)
13		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1)
14	1, 3	redcwlpolemeq1 16787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 1 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1))
15	14	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → (𝐴 = 1 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1))
16	13, 15	mtbird 680	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → ¬ 𝐴 = 1)
17	16	neqned 2410	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → 𝐴 ≠ 1)
18		neapmkvlem.h	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 # 1)
19	17, 18	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → 𝐴 # 1)
20	1, 3	trilpolemcl 16769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
21		1red 8254	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → 1 ∈ ℝ)
22		reaplt 8827	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 # 1 ↔ (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴)))
23	20, 21, 22	syl2an2r 599	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → (𝐴 # 1 ↔ (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴)))
24	19, 23	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴))
25	8, 12, 24	mpjaodan 806	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 0)
26	25	ex 115	1 ⊢ (𝜑 → (¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403  ∀wral 2511  ∃wrex 2512  {cpr 3674   class class class wbr 4093  ⟶wf 5329  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℝcr 8091  0cc0 8092  1c1 8093   · cmul 8097   < clt 8273   # cap 8820   / cdiv 8911  ℕcn 9202  2c2 9253  ↑cexp 10863  Σcsu 11993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-oadd 6629  df-er 6745  df-map 6862  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-omni 7394  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-ico 10190  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-ihash 11101  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-clim 11919  df-sumdc 11994

This theorem is referenced by:  neapmkv  16801