Theorem neapmkvlem 16853

Description: Lemma for neapmkv 16854. The result, with a few hypotheses broken out for convenience. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
neapmkvlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
neapmkvlem.a	⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖))
neapmkvlem.h	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 # 1)

Assertion

Ref	Expression
neapmkvlem	⊢ (𝜑 → (¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 0))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝑖,𝐹,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥

Proof of Theorem neapmkvlem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neapmkvlem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
2	1	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
3		neapmkvlem.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖))
4		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 < 1)
5	2, 3, 4	trilpolemlt1 16825	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝐴 < 1) → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝐹‘𝑧) = 0)
6		fveqeq2 5679	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑧) = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = 0))
7	6	cbvrexv 2779	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℕ (𝐹‘𝑧) = 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 0)
8	5, 7	sylib 122	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝐴 < 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 0)
9		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
10	1	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
11	10, 3	trilpolemgt1 16823	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 1 < 𝐴) → ¬ 1 < 𝐴)
12	9, 11	pm2.21dd 625	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 1 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 0)
13		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1)
14	1, 3	redcwlpolemeq1 16839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 1 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1))
15	14	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → (𝐴 = 1 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1))
16	13, 15	mtbird 680	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → ¬ 𝐴 = 1)
17	16	neqned 2419	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → 𝐴 ≠ 1)
18		neapmkvlem.h	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 # 1)
19	17, 18	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → 𝐴 # 1)
20	1, 3	trilpolemcl 16821	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
21		1red 8289	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → 1 ∈ ℝ)
22		reaplt 8862	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 # 1 ↔ (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴)))
23	20, 21, 22	syl2an2r 599	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → (𝐴 # 1 ↔ (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴)))
24	19, 23	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴))
25	8, 12, 24	mpjaodan 806	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 0)
26	25	ex 115	1 ⊢ (𝜑 → (¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  ∀wral 2520  ∃wrex 2521  {cpr 3690   class class class wbr 4109  ⟶wf 5348  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  ℝcr 8126  0cc0 8127  1c1 8128   · cmul 8132   < clt 8308   # cap 8855   / cdiv 8946  ℕcn 9237  2c2 9288  ↑cexp 10900  Σcsu 12038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-frec 6622  df-1o 6647  df-2o 6648  df-oadd 6651  df-er 6767  df-map 6884  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-omni 7426  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-ico 10227  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-ihash 11139  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-clim 11964  df-sumdc 12039

This theorem is referenced by:  neapmkv  16854