Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  neapmkvlem GIF version

Theorem neapmkvlem 13608
 Description: Lemma for neapmkv 13609. The result, with a few hypotheses broken out for convenience. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
neapmkvlem.f (𝜑𝐹:ℕ⟶{0, 1})
neapmkvlem.a 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖))
neapmkvlem.h ((𝜑𝐴 ≠ 1) → 𝐴 # 1)
Assertion
Ref Expression
neapmkvlem (𝜑 → (¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝑖,𝐹,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥

Proof of Theorem neapmkvlem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neapmkvlem.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℕ⟶{0, 1})
21ad2antrr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 1) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
3 neapmkvlem.a . . . . 5 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹𝑖))
4 simpr 109 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 1) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 < 1)
52, 3, 4trilpolemlt1 13583 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 1) ∧ 𝐴 < 1) → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝐹𝑧) = 0)
6 fveqeq2 5476 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥 → ((𝐹𝑧) = 0 ↔ (𝐹𝑥) = 0))
76cbvrexv 2681 . . . 4 (∃𝑧 ∈ ℕ (𝐹𝑧) = 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 0)
85, 7sylib 121 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 1) ∧ 𝐴 < 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 0)
9 simpr 109 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 1) ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
101ad2antrr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 1) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
1110, 3trilpolemgt1 13581 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 1) ∧ 1 < 𝐴) → ¬ 1 < 𝐴)
129, 11pm2.21dd 610 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 1) ∧ 1 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 0)
13 simpr 109 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 1) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 1)
141, 3redcwlpolemeq1 13596 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 = 1 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 1))
1514adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 1) → (𝐴 = 1 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 1))
1613, 15mtbird 663 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 1) → ¬ 𝐴 = 1)
1716neqned 2334 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 1) → 𝐴 ≠ 1)
18 neapmkvlem.h . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 1) → 𝐴 # 1)
1917, 18syldan 280 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 1) → 𝐴 # 1)
201, 3trilpolemcl 13579 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21 1red 7887 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 1) → 1 ∈ ℝ)
22 reaplt 8457 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 # 1 ↔ (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴)))
2320, 21, 22syl2an2r 585 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 1) → (𝐴 # 1 ↔ (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴)))
2419, 23mpbid 146 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 1) → (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴))
258, 12, 24mpjaodan 788 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 0)
2625ex 114 1 (𝜑 → (¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹𝑥) = 0))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   ≠ wne 2327  ∀wral 2435  ∃wrex 2436  {cpr 3561   class class class wbr 3965  ⟶wf 5165  ‘cfv 5169  (class class class)co 5821  ℝcr 7725  0cc0 7726  1c1 7727   · cmul 7731   < clt 7906   # cap 8450   / cdiv 8539  ℕcn 8827  2c2 8878  ↑cexp 10411  Σcsu 11243 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844  ax-arch 7845  ax-caucvg 7846 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-isom 5178  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-irdg 6314  df-frec 6335  df-1o 6360  df-2o 6361  df-oadd 6364  df-er 6477  df-map 6592  df-en 6683  df-dom 6684  df-fin 6685  df-omni 7072  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-2 8886  df-3 8887  df-4 8888  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-q 9522  df-rp 9554  df-ico 9791  df-fz 9906  df-fzo 10035  df-seqfrec 10338  df-exp 10412  df-ihash 10643  df-cj 10735  df-re 10736  df-im 10737  df-rsqrt 10891  df-abs 10892  df-clim 11169  df-sumdc 11244 This theorem is referenced by:  neapmkv  13609
 Copyright terms: Public domain W3C validator