![]() |
Mathbox for Jim Kingdon |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > Mathboxes > neapmkvlem | GIF version |
Description: Lemma for neapmkv 14818. The result, with a few hypotheses broken out for convenience. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2024.) |
Ref | Expression |
---|---|
neapmkvlem.f | โข (๐ โ ๐น:โโถ{0, 1}) |
neapmkvlem.a | โข ๐ด = ฮฃ๐ โ โ ((1 / (2โ๐)) ยท (๐นโ๐)) |
neapmkvlem.h | โข ((๐ โง ๐ด โ 1) โ ๐ด # 1) |
Ref | Expression |
---|---|
neapmkvlem | โข (๐ โ (ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1 โ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 0)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | neapmkvlem.f | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐น:โโถ{0, 1}) | |
2 | 1 | ad2antrr 488 | . . . . 5 โข (((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โง ๐ด < 1) โ ๐น:โโถ{0, 1}) |
3 | neapmkvlem.a | . . . . 5 โข ๐ด = ฮฃ๐ โ โ ((1 / (2โ๐)) ยท (๐นโ๐)) | |
4 | simpr 110 | . . . . 5 โข (((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โง ๐ด < 1) โ ๐ด < 1) | |
5 | 2, 3, 4 | trilpolemlt1 14792 | . . . 4 โข (((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โง ๐ด < 1) โ โ๐ง โ โ (๐นโ๐ง) = 0) |
6 | fveqeq2 5525 | . . . . 5 โข (๐ง = ๐ฅ โ ((๐นโ๐ง) = 0 โ (๐นโ๐ฅ) = 0)) | |
7 | 6 | cbvrexv 2705 | . . . 4 โข (โ๐ง โ โ (๐นโ๐ง) = 0 โ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 0) |
8 | 5, 7 | sylib 122 | . . 3 โข (((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โง ๐ด < 1) โ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 0) |
9 | simpr 110 | . . . 4 โข (((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โง 1 < ๐ด) โ 1 < ๐ด) | |
10 | 1 | ad2antrr 488 | . . . . 5 โข (((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โง 1 < ๐ด) โ ๐น:โโถ{0, 1}) |
11 | 10, 3 | trilpolemgt1 14790 | . . . 4 โข (((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โง 1 < ๐ด) โ ยฌ 1 < ๐ด) |
12 | 9, 11 | pm2.21dd 620 | . . 3 โข (((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โง 1 < ๐ด) โ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 0) |
13 | simpr 110 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โ ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) | |
14 | 1, 3 | redcwlpolemeq1 14805 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ (๐ด = 1 โ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1)) |
15 | 14 | adantr 276 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โ (๐ด = 1 โ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1)) |
16 | 13, 15 | mtbird 673 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โ ยฌ ๐ด = 1) |
17 | 16 | neqned 2354 | . . . . 5 โข ((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โ ๐ด โ 1) |
18 | neapmkvlem.h | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ด โ 1) โ ๐ด # 1) | |
19 | 17, 18 | syldan 282 | . . . 4 โข ((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โ ๐ด # 1) |
20 | 1, 3 | trilpolemcl 14788 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
21 | 1red 7972 | . . . . 5 โข ((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โ 1 โ โ) | |
22 | reaplt 8545 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง 1 โ โ) โ (๐ด # 1 โ (๐ด < 1 โจ 1 < ๐ด))) | |
23 | 20, 21, 22 | syl2an2r 595 | . . . 4 โข ((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โ (๐ด # 1 โ (๐ด < 1 โจ 1 < ๐ด))) |
24 | 19, 23 | mpbid 147 | . . 3 โข ((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โ (๐ด < 1 โจ 1 < ๐ด)) |
25 | 8, 12, 24 | mpjaodan 798 | . 2 โข ((๐ โง ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1) โ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 0) |
26 | 25 | ex 115 | 1 โข (๐ โ (ยฌ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 1 โ โ๐ฅ โ โ (๐นโ๐ฅ) = 0)) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โง wa 104 โ wb 105 โจ wo 708 = wceq 1353 โ wcel 2148 โ wne 2347 โwral 2455 โwrex 2456 {cpr 3594 class class class wbr 4004 โถwf 5213 โcfv 5217 (class class class)co 5875 โcr 7810 0cc0 7811 1c1 7812 ยท cmul 7816 < clt 7992 # cap 8538 / cdiv 8629 โcn 8919 2c2 8970 โcexp 10519 ฮฃcsu 11361 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4119 ax-sep 4122 ax-nul 4130 ax-pow 4175 ax-pr 4210 ax-un 4434 ax-setind 4537 ax-iinf 4588 ax-cnex 7902 ax-resscn 7903 ax-1cn 7904 ax-1re 7905 ax-icn 7906 ax-addcl 7907 ax-addrcl 7908 ax-mulcl 7909 ax-mulrcl 7910 ax-addcom 7911 ax-mulcom 7912 ax-addass 7913 ax-mulass 7914 ax-distr 7915 ax-i2m1 7916 ax-0lt1 7917 ax-1rid 7918 ax-0id 7919 ax-rnegex 7920 ax-precex 7921 ax-cnre 7922 ax-pre-ltirr 7923 ax-pre-ltwlin 7924 ax-pre-lttrn 7925 ax-pre-apti 7926 ax-pre-ltadd 7927 ax-pre-mulgt0 7928 ax-pre-mulext 7929 ax-arch 7930 ax-caucvg 7931 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2740 df-sbc 2964 df-csb 3059 df-dif 3132 df-un 3134 df-in 3136 df-ss 3143 df-nul 3424 df-if 3536 df-pw 3578 df-sn 3599 df-pr 3600 df-op 3602 df-uni 3811 df-int 3846 df-iun 3889 df-br 4005 df-opab 4066 df-mpt 4067 df-tr 4103 df-id 4294 df-po 4297 df-iso 4298 df-iord 4367 df-on 4369 df-ilim 4370 df-suc 4372 df-iom 4591 df-xp 4633 df-rel 4634 df-cnv 4635 df-co 4636 df-dm 4637 df-rn 4638 df-res 4639 df-ima 4640 df-iota 5179 df-fun 5219 df-fn 5220 df-f 5221 df-f1 5222 df-fo 5223 df-f1o 5224 df-fv 5225 df-isom 5226 df-riota 5831 df-ov 5878 df-oprab 5879 df-mpo 5880 df-1st 6141 df-2nd 6142 df-recs 6306 df-irdg 6371 df-frec 6392 df-1o 6417 df-2o 6418 df-oadd 6421 df-er 6535 df-map 6650 df-en 6741 df-dom 6742 df-fin 6743 df-omni 7133 df-pnf 7994 df-mnf 7995 df-xr 7996 df-ltxr 7997 df-le 7998 df-sub 8130 df-neg 8131 df-reap 8532 df-ap 8539 df-div 8630 df-inn 8920 df-2 8978 df-3 8979 df-4 8980 df-n0 9177 df-z 9254 df-uz 9529 df-q 9620 df-rp 9654 df-ico 9894 df-fz 10009 df-fzo 10143 df-seqfrec 10446 df-exp 10520 df-ihash 10756 df-cj 10851 df-re 10852 df-im 10853 df-rsqrt 11007 df-abs 11008 df-clim 11287 df-sumdc 11362 |
This theorem is referenced by: neapmkv 14818 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |