Theorem neapmkvlem 16435

Description: Lemma for neapmkv 16436. The result, with a few hypotheses broken out for convenience. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
neapmkvlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
neapmkvlem.a	⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖))
neapmkvlem.h	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 # 1)

Assertion

Ref	Expression
neapmkvlem	⊢ (𝜑 → (¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 0))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝑖,𝐹,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥

Proof of Theorem neapmkvlem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neapmkvlem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
2	1	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
3		neapmkvlem.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖))
4		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 < 1)
5	2, 3, 4	trilpolemlt1 16409	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝐴 < 1) → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝐹‘𝑧) = 0)
6		fveqeq2 5636	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑧) = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = 0))
7	6	cbvrexv 2766	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℕ (𝐹‘𝑧) = 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 0)
8	5, 7	sylib 122	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 𝐴 < 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 0)
9		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
10	1	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
11	10, 3	trilpolemgt1 16407	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 1 < 𝐴) → ¬ 1 < 𝐴)
12	9, 11	pm2.21dd 623	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) ∧ 1 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 0)
13		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1)
14	1, 3	redcwlpolemeq1 16422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 1 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1))
15	14	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → (𝐴 = 1 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1))
16	13, 15	mtbird 677	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → ¬ 𝐴 = 1)
17	16	neqned 2407	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → 𝐴 ≠ 1)
18		neapmkvlem.h	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 1) → 𝐴 # 1)
19	17, 18	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → 𝐴 # 1)
20	1, 3	trilpolemcl 16405	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
21		1red 8161	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → 1 ∈ ℝ)
22		reaplt 8735	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 # 1 ↔ (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴)))
23	20, 21, 22	syl2an2r 597	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → (𝐴 # 1 ↔ (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴)))
24	19, 23	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴))
25	8, 12, 24	mpjaodan 803	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 0)
26	25	ex 115	1 ⊢ (𝜑 → (¬ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐹‘𝑥) = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  {cpr 3667   class class class wbr 4083  ⟶wf 5314  ‘cfv 5318  (class class class)co 6001  ℝcr 7998  0cc0 7999  1c1 8000   · cmul 8004   < clt 8181   # cap 8728   / cdiv 8819  ℕcn 9110  2c2 9161  ↑cexp 10760  Σcsu 11864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-frec 6537  df-1o 6562  df-2o 6563  df-oadd 6566  df-er 6680  df-map 6797  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-omni 7302  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-ico 10090  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-ihash 10998  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-clim 11790  df-sumdc 11865

This theorem is referenced by:  neapmkv  16436