Theorem trilpolemcl 17293

Description: Lemma for trilpo 17299. The sum exists. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trilpolemgt1.f	|- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
trilpolemgt1.a	|- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )

Assertion

Ref	Expression
trilpolemcl	|- ( ph -> A e. RR )

Distinct variable groups:   i, F   ph, i

Allowed substitution hint:   A( i)

Proof of Theorem trilpolemcl

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trilpolemgt1.a	. 2 |- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )
2		nnuz 9974	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3		1zzd 9682	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
4		eqid 2238	. . . 4 |- ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) )
5		oveq2 6096	. . . . . 6 |- ( n = i -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ i ) )
6	5	oveq2d 6104	. . . . 5 |- ( n = i -> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) = ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
7		fveq2 5698	. . . . 5 |- ( n = i -> ( F ` n ) = ( F ` i ) )
8	6, 7	oveq12d 6106	. . . 4 |- ( n = i -> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) )
9		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> i e. NN )
10		2rp 10076	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR+
11	10	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> 2 e. RR+ )
12		nnz 9674	. . . . . . . 8 |- ( i e. NN -> i e. ZZ )
13	12	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> i e. ZZ )
14	11, 13	rpexpcld 11156	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( 2 ^ i ) e. RR+ )
15	14	rprecred 10126	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
16		0re 8332	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
17		eleq1 2301	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` i ) = 0 -> ( ( F ` i ) e. RR <-> 0 e. RR ) )
18	16, 17	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( ( F ` i ) = 0 -> ( F ` i ) e. RR )
19	18	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( F ` i ) = 0 -> ( F ` i ) e. RR ) )
20		1re 8331	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
21		eleq1 2301	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` i ) = 1 -> ( ( F ` i ) e. RR <-> 1 e. RR ) )
22	20, 21	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( ( F ` i ) = 1 -> ( F ` i ) e. RR )
23	22	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( F ` i ) = 1 -> ( F ` i ) e. RR ) )
24		trilpolemgt1.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
25	24	ffvelcdmda 5846	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) e. { 0 , 1 } )
26		elpri 3732	. . . . . . 7 |- ( ( F ` i ) e. { 0 , 1 } -> ( ( F ` i ) = 0 \/ ( F ` i ) = 1 ) )
27	25, 26	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( F ` i ) = 0 \/ ( F ` i ) = 1 ) )
28	19, 23, 27	mpjaod 730	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) e. RR )
29	15, 28	remulcld 8362	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) e. RR )
30	4, 8, 9, 29	fvmptd3 5802	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ` i ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) )
31	24, 4	trilpolemclim 17292	. . 3 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
32	2, 3, 30, 29, 31	isumrecl 12221	. 2 |- ( ph -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) e. RR )
33	1, 32	eqeltrid 2325	1 |- ( ph -> A e. RR )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cpr 3710   |-> cmpt 4193   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   RRcr 8184   0cc0 8185   1c1 8186   x. cmul 8190   / cdiv 9010   NNcn 9313   2c2 9364   ZZcz 9655   RR+crp 10071   ^cexp 10996   sum_csu 12144

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-ico 10313  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-clim 12070  df-sumdc 12145

This theorem is used by:  trilpolemgt1  17295  trilpolemeq1  17296  trilpolemlt1  17297  trilpo  17299  redcwlpo  17312  nconstwlpolem  17322  neapmkvlem  17324  neapmkv  17325