Theorem trilpolemcl 15681

Description: Lemma for trilpo 15687. The sum exists. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trilpolemgt1.f	|- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
trilpolemgt1.a	|- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )

Assertion

Ref	Expression
trilpolemcl	|- ( ph -> A e. RR )

Distinct variable groups:   i, F   ph, i

Allowed substitution hint:   A( i)

Proof of Theorem trilpolemcl

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trilpolemgt1.a	. 2 |- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )
2		nnuz 9637	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3		1zzd 9353	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
4		eqid 2196	. . . 4 |- ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) )
5		oveq2 5930	. . . . . 6 |- ( n = i -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ i ) )
6	5	oveq2d 5938	. . . . 5 |- ( n = i -> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) = ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
7		fveq2 5558	. . . . 5 |- ( n = i -> ( F ` n ) = ( F ` i ) )
8	6, 7	oveq12d 5940	. . . 4 |- ( n = i -> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) )
9		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> i e. NN )
10		2rp 9733	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR+
11	10	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> 2 e. RR+ )
12		nnz 9345	. . . . . . . 8 |- ( i e. NN -> i e. ZZ )
13	12	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> i e. ZZ )
14	11, 13	rpexpcld 10789	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( 2 ^ i ) e. RR+ )
15	14	rprecred 9783	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
16		0re 8026	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
17		eleq1 2259	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` i ) = 0 -> ( ( F ` i ) e. RR <-> 0 e. RR ) )
18	16, 17	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( ( F ` i ) = 0 -> ( F ` i ) e. RR )
19	18	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( F ` i ) = 0 -> ( F ` i ) e. RR ) )
20		1re 8025	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
21		eleq1 2259	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` i ) = 1 -> ( ( F ` i ) e. RR <-> 1 e. RR ) )
22	20, 21	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( ( F ` i ) = 1 -> ( F ` i ) e. RR )
23	22	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( F ` i ) = 1 -> ( F ` i ) e. RR ) )
24		trilpolemgt1.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
25	24	ffvelcdmda 5697	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) e. { 0 , 1 } )
26		elpri 3645	. . . . . . 7 |- ( ( F ` i ) e. { 0 , 1 } -> ( ( F ` i ) = 0 \/ ( F ` i ) = 1 ) )
27	25, 26	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( F ` i ) = 0 \/ ( F ` i ) = 1 ) )
28	19, 23, 27	mpjaod 719	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) e. RR )
29	15, 28	remulcld 8057	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) e. RR )
30	4, 8, 9, 29	fvmptd3 5655	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ` i ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) )
31	24, 4	trilpolemclim 15680	. . 3 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
32	2, 3, 30, 29, 31	isumrecl 11594	. 2 |- ( ph -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) e. RR )
33	1, 32	eqeltrid 2283	1 |- ( ph -> A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2167   {cpr 3623   |-> cmpt 4094   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   x. cmul 7884   / cdiv 8699   NNcn 8990   2c2 9041   ZZcz 9326   RR+crp 9728   ^cexp 10630   sum_csu 11518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-ico 9969  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519

This theorem is referenced by:  trilpolemgt1  15683  trilpolemeq1  15684  trilpolemlt1  15685  trilpo  15687  redcwlpo  15699  nconstwlpolem  15709  neapmkvlem  15711  neapmkv  15712