Theorem trilpolemcl 15597

Description: Lemma for trilpo 15603. The sum exists. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trilpolemgt1.f	|- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
trilpolemgt1.a	|- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )

Assertion

Ref	Expression
trilpolemcl	|- ( ph -> A e. RR )

Distinct variable groups:   i, F   ph, i

Allowed substitution hint:   A( i)

Proof of Theorem trilpolemcl

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trilpolemgt1.a	. 2 |- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )
2		nnuz 9631	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3		1zzd 9347	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
4		eqid 2193	. . . 4 |- ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) )
5		oveq2 5927	. . . . . 6 |- ( n = i -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ i ) )
6	5	oveq2d 5935	. . . . 5 |- ( n = i -> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) = ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
7		fveq2 5555	. . . . 5 |- ( n = i -> ( F ` n ) = ( F ` i ) )
8	6, 7	oveq12d 5937	. . . 4 |- ( n = i -> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) )
9		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> i e. NN )
10		2rp 9727	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR+
11	10	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> 2 e. RR+ )
12		nnz 9339	. . . . . . . 8 |- ( i e. NN -> i e. ZZ )
13	12	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> i e. ZZ )
14	11, 13	rpexpcld 10771	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( 2 ^ i ) e. RR+ )
15	14	rprecred 9777	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
16		0re 8021	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
17		eleq1 2256	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` i ) = 0 -> ( ( F ` i ) e. RR <-> 0 e. RR ) )
18	16, 17	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( ( F ` i ) = 0 -> ( F ` i ) e. RR )
19	18	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( F ` i ) = 0 -> ( F ` i ) e. RR ) )
20		1re 8020	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
21		eleq1 2256	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` i ) = 1 -> ( ( F ` i ) e. RR <-> 1 e. RR ) )
22	20, 21	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( ( F ` i ) = 1 -> ( F ` i ) e. RR )
23	22	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( F ` i ) = 1 -> ( F ` i ) e. RR ) )
24		trilpolemgt1.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
25	24	ffvelcdmda 5694	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) e. { 0 , 1 } )
26		elpri 3642	. . . . . . 7 |- ( ( F ` i ) e. { 0 , 1 } -> ( ( F ` i ) = 0 \/ ( F ` i ) = 1 ) )
27	25, 26	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( F ` i ) = 0 \/ ( F ` i ) = 1 ) )
28	19, 23, 27	mpjaod 719	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) e. RR )
29	15, 28	remulcld 8052	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) e. RR )
30	4, 8, 9, 29	fvmptd3 5652	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ` i ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) )
31	24, 4	trilpolemclim 15596	. . 3 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
32	2, 3, 30, 29, 31	isumrecl 11575	. 2 |- ( ph -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) e. RR )
33	1, 32	eqeltrid 2280	1 |- ( ph -> A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2164   {cpr 3620   |-> cmpt 4091   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   RRcr 7873   0cc0 7874   1c1 7875   x. cmul 7879   / cdiv 8693   NNcn 8984   2c2 9035   ZZcz 9320   RR+crp 9722   ^cexp 10612   sum_csu 11499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-frec 6446  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-er 6589  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-ico 9963  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-ihash 10850  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425  df-sumdc 11500

This theorem is referenced by:  trilpolemgt1  15599  trilpolemeq1  15600  trilpolemlt1  15601  trilpo  15603  redcwlpo  15615  nconstwlpolem  15625  neapmkvlem  15627  neapmkv  15628