Theorem trilpolemcl 14344

Description: Lemma for trilpo 14350. The sum exists. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trilpolemgt1.f	|- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
trilpolemgt1.a	|- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )

Assertion

Ref	Expression
trilpolemcl	|- ( ph -> A e. RR )

Distinct variable groups:   i, F   ph, i

Allowed substitution hint:   A( i)

Proof of Theorem trilpolemcl

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trilpolemgt1.a	. 2 |- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )
2		nnuz 9534	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3		1zzd 9251	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
4		eqid 2175	. . . 4 |- ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) )
5		oveq2 5873	. . . . . 6 |- ( n = i -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ i ) )
6	5	oveq2d 5881	. . . . 5 |- ( n = i -> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) = ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
7		fveq2 5507	. . . . 5 |- ( n = i -> ( F ` n ) = ( F ` i ) )
8	6, 7	oveq12d 5883	. . . 4 |- ( n = i -> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) )
9		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> i e. NN )
10		2rp 9627	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR+
11	10	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> 2 e. RR+ )
12		nnz 9243	. . . . . . . 8 |- ( i e. NN -> i e. ZZ )
13	12	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> i e. ZZ )
14	11, 13	rpexpcld 10645	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( 2 ^ i ) e. RR+ )
15	14	rprecred 9677	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
16		0re 7932	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
17		eleq1 2238	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` i ) = 0 -> ( ( F ` i ) e. RR <-> 0 e. RR ) )
18	16, 17	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( ( F ` i ) = 0 -> ( F ` i ) e. RR )
19	18	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( F ` i ) = 0 -> ( F ` i ) e. RR ) )
20		1re 7931	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
21		eleq1 2238	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` i ) = 1 -> ( ( F ` i ) e. RR <-> 1 e. RR ) )
22	20, 21	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( ( F ` i ) = 1 -> ( F ` i ) e. RR )
23	22	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( F ` i ) = 1 -> ( F ` i ) e. RR ) )
24		trilpolemgt1.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
25	24	ffvelcdmda 5643	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) e. { 0 , 1 } )
26		elpri 3612	. . . . . . 7 |- ( ( F ` i ) e. { 0 , 1 } -> ( ( F ` i ) = 0 \/ ( F ` i ) = 1 ) )
27	25, 26	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( F ` i ) = 0 \/ ( F ` i ) = 1 ) )
28	19, 23, 27	mpjaod 718	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) e. RR )
29	15, 28	remulcld 7962	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) e. RR )
30	4, 8, 9, 29	fvmptd3 5601	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ` i ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) )
31	24, 4	trilpolemclim 14343	. . 3 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
32	2, 3, 30, 29, 31	isumrecl 11403	. 2 |- ( ph -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) e. RR )
33	1, 32	eqeltrid 2262	1 |- ( ph -> A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2146   {cpr 3590   |-> cmpt 4059   -->wf 5204   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   RRcr 7785   0cc0 7786   1c1 7787   x. cmul 7791   / cdiv 8601   NNcn 8890   2c2 8941   ZZcz 9224   RR+crp 9622   ^cexp 10487   sum_csu 11327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-frec 6382  df-1o 6407  df-oadd 6411  df-er 6525  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-ico 9863  df-fz 9978  df-fzo 10111  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-ihash 10722  df-cj 10817  df-re 10818  df-im 10819  df-rsqrt 10973  df-abs 10974  df-clim 11253  df-sumdc 11328

This theorem is referenced by:  trilpolemgt1  14346  trilpolemeq1  14347  trilpolemlt1  14348  trilpo  14350  redcwlpo  14362  nconstwlpolem  14371  neapmkvlem  14373  neapmkv  14374