Theorem trilpolemcl 16947

Description: Lemma for trilpo 16953. The sum exists. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trilpolemgt1.f	|- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
trilpolemgt1.a	|- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )

Assertion

Ref	Expression
trilpolemcl	|- ( ph -> A e. RR )

Distinct variable groups:   i, F   ph, i

Allowed substitution hint:   A( i)

Proof of Theorem trilpolemcl

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trilpolemgt1.a	. 2 |- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )
2		nnuz 9908	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3		1zzd 9621	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
4		eqid 2234	. . . 4 |- ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) )
5		oveq2 6066	. . . . . 6 |- ( n = i -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ i ) )
6	5	oveq2d 6074	. . . . 5 |- ( n = i -> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) = ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
7		fveq2 5675	. . . . 5 |- ( n = i -> ( F ` n ) = ( F ` i ) )
8	6, 7	oveq12d 6076	. . . 4 |- ( n = i -> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) )
9		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> i e. NN )
10		2rp 10009	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR+
11	10	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> 2 e. RR+ )
12		nnz 9613	. . . . . . . 8 |- ( i e. NN -> i e. ZZ )
13	12	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> i e. ZZ )
14	11, 13	rpexpcld 11084	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( 2 ^ i ) e. RR+ )
15	14	rprecred 10059	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
16		0re 8290	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
17		eleq1 2297	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` i ) = 0 -> ( ( F ` i ) e. RR <-> 0 e. RR ) )
18	16, 17	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( ( F ` i ) = 0 -> ( F ` i ) e. RR )
19	18	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( F ` i ) = 0 -> ( F ` i ) e. RR ) )
20		1re 8289	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
21		eleq1 2297	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` i ) = 1 -> ( ( F ` i ) e. RR <-> 1 e. RR ) )
22	20, 21	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( ( F ` i ) = 1 -> ( F ` i ) e. RR )
23	22	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( F ` i ) = 1 -> ( F ` i ) e. RR ) )
24		trilpolemgt1.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
25	24	ffvelcdmda 5817	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) e. { 0 , 1 } )
26		elpri 3717	. . . . . . 7 |- ( ( F ` i ) e. { 0 , 1 } -> ( ( F ` i ) = 0 \/ ( F ` i ) = 1 ) )
27	25, 26	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( F ` i ) = 0 \/ ( F ` i ) = 1 ) )
28	19, 23, 27	mpjaod 726	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) e. RR )
29	15, 28	remulcld 8320	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) e. RR )
30	4, 8, 9, 29	fvmptd3 5776	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ` i ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) )
31	24, 4	trilpolemclim 16946	. . 3 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
32	2, 3, 30, 29, 31	isumrecl 12140	. 2 |- ( ph -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) e. RR )
33	1, 32	eqeltrid 2321	1 |- ( ph -> A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2205   {cpr 3695   |-> cmpt 4176   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   x. cmul 8148   / cdiv 8963   NNcn 9254   2c2 9305   ZZcz 9594   RR+crp 10004   ^cexp 10924   sum_csu 12063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-ico 10246  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-ihash 11164  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-sumdc 12064

This theorem is referenced by:  trilpolemgt1  16949  trilpolemeq1  16950  trilpolemlt1  16951  trilpo  16953  redcwlpo  16966  nconstwlpolem  16977  neapmkvlem  16979  neapmkv  16980