ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0opthd GIF version

Theorem nn0opthd 10701
Description: An ordered pair theorem for nonnegative integers. Theorem 17.3 of [Quine] p. 124. We can represent an ordered pair of nonnegative integers ๐ด and ๐ต by (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต). If two such ordered pairs are equal, their first elements are equal and their second elements are equal. Contrast this ordered pair representation with the standard one df-op 3601 that works for any set. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0opthd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
nn0opthd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)
nn0opthd.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
nn0opthd.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
Assertion
Ref Expression
nn0opthd (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†” (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท)))

Proof of Theorem nn0opthd
StepHypRef Expression
1 nn0opthd.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
2 nn0opthd.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)
3 nn0opthd.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
4 nn0opthd.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
53, 4nn0addcld 9232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ + ๐ท) โˆˆ โ„•0)
61, 2, 5, 4nn0opthlem2d 10700 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) < (๐ถ + ๐ท) โ†’ (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ‰  (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต)))
76imp 124 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) < (๐ถ + ๐ท)) โ†’ (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ‰  (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต))
87necomd 2433 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐ด + ๐ต) < (๐ถ + ๐ท)) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) โ‰  (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท))
98ex 115 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) < (๐ถ + ๐ท) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) โ‰  (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท)))
101, 2nn0addcld 9232 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„•0)
113, 4, 10, 2nn0opthlem2d 10700 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ + ๐ท) < (๐ด + ๐ต) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) โ‰  (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท)))
129, 11jaod 717 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) < (๐ถ + ๐ท) โˆจ (๐ถ + ๐ท) < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) โ‰  (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท)))
1310nn0red 9229 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„)
145nn0red 9229 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ + ๐ท) โˆˆ โ„)
15 reaplt 8544 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ + ๐ท) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + ๐ต) # (๐ถ + ๐ท) โ†” ((๐ด + ๐ต) < (๐ถ + ๐ท) โˆจ (๐ถ + ๐ท) < (๐ด + ๐ต))))
1613, 14, 15syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) # (๐ถ + ๐ท) โ†” ((๐ด + ๐ต) < (๐ถ + ๐ท) โˆจ (๐ถ + ๐ท) < (๐ด + ๐ต))))
1710, 10nn0mulcld 9233 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„•0)
1817, 2nn0addcld 9232 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) โˆˆ โ„•0)
1918nn0zd 9372 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) โˆˆ โ„ค)
205, 5nn0mulcld 9233 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) โˆˆ โ„•0)
2120, 4nn0addcld 9232 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โˆˆ โ„•0)
2221nn0zd 9372 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โˆˆ โ„ค)
23 zapne 9326 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) # (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†” (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) โ‰  (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท)))
2419, 22, 23syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) # (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†” (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) โ‰  (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท)))
2512, 16, 243imtr4d 203 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) # (๐ถ + ๐ท) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) # (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท)))
2625con3d 631 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) # (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†’ ยฌ (๐ด + ๐ต) # (๐ถ + ๐ท)))
2718nn0cnd 9230 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2821nn0cnd 9230 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โˆˆ โ„‚)
29 apti 8578 . . . . . . . . 9 (((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†” ยฌ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) # (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท)))
3027, 28, 29syl2anc 411 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†” ยฌ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) # (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท)))
3110nn0cnd 9230 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
325nn0cnd 9230 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ + ๐ท) โˆˆ โ„‚)
33 apti 8578 . . . . . . . . 9 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ + ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท) โ†” ยฌ (๐ด + ๐ต) # (๐ถ + ๐ท)))
3431, 32, 33syl2anc 411 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท) โ†” ยฌ (๐ด + ๐ต) # (๐ถ + ๐ท)))
3526, 30, 343imtr4d 203 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†’ (๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท)))
3635imp 124 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท)) โ†’ (๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท))
37 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท)) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท))
3836, 36oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) = ((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)))
3938oveq1d 5889 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท)) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ท) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท))
4037, 39eqtr4d 2213 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท)) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ท))
4131, 31mulcld 7977 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
422nn0cnd 9230 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
434nn0cnd 9230 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
4441, 42, 43addcand 8140 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ท) โ†” ๐ต = ๐ท))
4544adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท)) โ†’ ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ท) โ†” ๐ต = ๐ท))
4640, 45mpbid 147 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท)) โ†’ ๐ต = ๐ท)
4746oveq2d 5890 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท)) โ†’ (๐ถ + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท))
4836, 47eqtr4d 2213 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท)) โ†’ (๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ต))
491nn0cnd 9230 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
503nn0cnd 9230 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5149, 50, 42addcan2d 8141 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ต) โ†” ๐ด = ๐ถ))
5251adantr 276 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ต) โ†” ๐ด = ๐ถ))
5348, 52mpbid 147 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท)) โ†’ ๐ด = ๐ถ)
5453, 46jca 306 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท)) โ†’ (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท))
5554ex 115 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†’ (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท)))
56 oveq12 5883 . . . 4 ((๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท))
5756, 56oveq12d 5892 . . 3 ((๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) = ((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)))
58 simpr 110 . . 3 ((๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ๐ต = ๐ท)
5957, 58oveq12d 5892 . 2 ((๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท))
6055, 59impbid1 142 1 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†” (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   โ‰  wne 2347   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  โ„‚cc 7808  โ„cr 7809   + caddc 7813   ยท cmul 7815   < clt 7991   # cap 8537  โ„•0cn0 9175  โ„คcz 9252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-seqfrec 10445  df-exp 10519
This theorem is referenced by:  nn0opth2d  10702
  Copyright terms: Public domain W3C validator