Theorem nn0opthd 10939

Description: An ordered pair theorem for nonnegative integers. Theorem 17.3 of [Quine] p. 124. We can represent an ordered pair of nonnegative integers 𝐴 and 𝐵 by (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵). If two such ordered pairs are equal, their first elements are equal and their second elements are equal. Contrast this ordered pair representation with the standard one df-op 3675 that works for any set. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0opthd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0opthd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
nn0opthd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
nn0opthd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0opthd	⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))

Proof of Theorem nn0opthd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0opthd.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0opthd.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0opthd.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
4		nn0opthd.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
5	3, 4	nn0addcld 9422	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℕ0)
6	1, 2, 5, 4	nn0opthlem2d 10938	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) → (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵)))
7	6	imp 124	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)) → (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))
8	7	necomd 2486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
9	8	ex 115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
10	1, 2	nn0addcld 9422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
11	3, 4, 10, 2	nn0opthlem2d 10938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐵) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
12	9, 11	jaod 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) ∨ (𝐶 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐵)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
13	10	nn0red 9419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
14	5	nn0red 9419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
15		reaplt 8731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) ∨ (𝐶 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐵))))
16	13, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) ∨ (𝐶 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐵))))
17	10, 10	nn0mulcld 9423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℕ0)
18	17, 2	nn0addcld 9422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℕ0)
19	18	nn0zd 9563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℤ)
20	5, 5	nn0mulcld 9423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) ∈ ℕ0)
21	20, 4	nn0addcld 9422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ∈ ℕ0)
22	21	nn0zd 9563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ∈ ℤ)
23		zapne 9517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ∈ ℤ) → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) # (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
24	19, 22, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) # (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
25	12, 16, 24	3imtr4d 203	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) # (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
26	25	con3d 634	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (¬ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) # (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → ¬ (𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷)))
27	18	nn0cnd 9420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℂ)
28	21	nn0cnd 9420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ∈ ℂ)
29		apti 8765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ ¬ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) # (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
30	27, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ ¬ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) # (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
31	10	nn0cnd 9420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
32	5	nn0cnd 9420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
33		apti 8765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷)))
34	31, 32, 33	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷)))
35	26, 30, 34	3imtr4d 203	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)))
36	35	imp 124	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
37		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
38	36, 36	oveq12d 6018	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)))
39	38	oveq1d 6015	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐷) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
40	37, 39	eqtr4d 2265	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐷))
41	31, 31	mulcld 8163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
42	2	nn0cnd 9420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
43	4	nn0cnd 9420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
44	41, 42, 43	addcand 8326	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐷) ↔ 𝐵 = 𝐷))
45	44	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐷) ↔ 𝐵 = 𝐷))
46	40, 45	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → 𝐵 = 𝐷)
47	46	oveq2d 6016	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (𝐶 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
48	36, 47	eqtr4d 2265	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐵))
49	1	nn0cnd 9420	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
50	3	nn0cnd 9420	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
51	49, 50, 42	addcan2d 8327	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐶))
52	51	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐶))
53	48, 52	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → 𝐴 = 𝐶)
54	53, 46	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
55	54	ex 115	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
56		oveq12 6009	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
57	56, 56	oveq12d 6018	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)))
58		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 𝐵 = 𝐷)
59	57, 58	oveq12d 6018	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
60	55, 59	impbid1 142	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000  ℂcc 7993  ℝcr 7994   + caddc 7998   · cmul 8000   < clt 8177   # cap 8724  ℕ₀cn0 9365  ℤcz 9442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-seqfrec 10665  df-exp 10756

This theorem is referenced by:  nn0opth2d  10940