ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0opthd GIF version

Theorem nn0opthd 9963
Description: An ordered pair theorem for nonnegative integers. Theorem 17.3 of [Quine] p. 124. We can represent an ordered pair of nonnegative integers 𝐴 and 𝐵 by (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵). If two such ordered pairs are equal, their first elements are equal and their second elements are equal. Contrast this ordered pair representation with the standard one df-op 3431 that works for any set. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0opthd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
nn0opthd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
nn0opthd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
nn0opthd.4 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
nn0opthd (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))

Proof of Theorem nn0opthd
StepHypRef Expression
1 nn0opthd.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
2 nn0opthd.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
3 nn0opthd.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
4 nn0opthd.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
53, 4nn0addcld 8620 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℕ0)
61, 2, 5, 4nn0opthlem2d 9962 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) → (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵)))
76imp 122 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)) → (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))
87necomd 2335 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
98ex 113 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
101, 2nn0addcld 8620 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
113, 4, 10, 2nn0opthlem2d 9962 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐵) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
129, 11jaod 670 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) ∨ (𝐶 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐵)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
1310nn0red 8617 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
145nn0red 8617 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
15 reaplt 7963 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) ∨ (𝐶 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐵))))
1613, 14, 15syl2anc 403 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) ∨ (𝐶 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐵))))
1710, 10nn0mulcld 8621 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℕ0)
1817, 2nn0addcld 8620 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℕ0)
1918nn0zd 8760 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℤ)
205, 5nn0mulcld 8621 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) ∈ ℕ0)
2120, 4nn0addcld 8620 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ∈ ℕ0)
2221nn0zd 8760 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ∈ ℤ)
23 zapne 8715 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ∈ ℤ) → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) # (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
2419, 22, 23syl2anc 403 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) # (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
2512, 16, 243imtr4d 201 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) # (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
2625con3d 594 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) # (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → ¬ (𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷)))
2718nn0cnd 8618 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℂ)
2821nn0cnd 8618 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ∈ ℂ)
29 apti 7997 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ ¬ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) # (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
3027, 28, 29syl2anc 403 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ ¬ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) # (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
3110nn0cnd 8618 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
325nn0cnd 8618 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
33 apti 7997 . . . . . . . . 9 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷)))
3431, 32, 33syl2anc 403 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷)))
3526, 30, 343imtr4d 201 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)))
3635imp 122 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
37 simpr 108 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
3836, 36oveq12d 5607 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)))
3938oveq1d 5604 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐷) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
4037, 39eqtr4d 2118 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐷))
4131, 31mulcld 7409 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
422nn0cnd 8618 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
434nn0cnd 8618 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
4441, 42, 43addcand 7567 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐷) ↔ 𝐵 = 𝐷))
4544adantr 270 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐷) ↔ 𝐵 = 𝐷))
4640, 45mpbid 145 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → 𝐵 = 𝐷)
4746oveq2d 5605 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (𝐶 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
4836, 47eqtr4d 2118 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐵))
491nn0cnd 8618 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
503nn0cnd 8618 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5149, 50, 42addcan2d 7568 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐶))
5251adantr 270 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐶))
5348, 52mpbid 145 . . . 4 ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → 𝐴 = 𝐶)
5453, 46jca 300 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))
5554ex 113 . 2 (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))
56 oveq12 5598 . . . 4 ((𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
5756, 56oveq12d 5607 . . 3 ((𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)))
58 simpr 108 . . 3 ((𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷) → 𝐵 = 𝐷)
5957, 58oveq12d 5607 . 2 ((𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
6055, 59impbid1 140 1 (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662   = wceq 1285  wcel 1434  wne 2249   class class class wbr 3811  (class class class)co 5589  cc 7249  cr 7250   + caddc 7254   · cmul 7256   < clt 7423   # cap 7956  0cn0 8563  cz 8644
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365  ax-cnex 7337  ax-resscn 7338  ax-1cn 7339  ax-1re 7340  ax-icn 7341  ax-addcl 7342  ax-addrcl 7343  ax-mulcl 7344  ax-mulrcl 7345  ax-addcom 7346  ax-mulcom 7347  ax-addass 7348  ax-mulass 7349  ax-distr 7350  ax-i2m1 7351  ax-0lt1 7352  ax-1rid 7353  ax-0id 7354  ax-rnegex 7355  ax-precex 7356  ax-cnre 7357  ax-pre-ltirr 7358  ax-pre-ltwlin 7359  ax-pre-lttrn 7360  ax-pre-apti 7361  ax-pre-ltadd 7362  ax-pre-mulgt0 7363  ax-pre-mulext 7364
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4083  df-po 4086  df-iso 4087  df-iord 4156  df-on 4158  df-ilim 4159  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-fv 4975  df-riota 5545  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-1st 5844  df-2nd 5845  df-recs 6000  df-frec 6086  df-pnf 7425  df-mnf 7426  df-xr 7427  df-ltxr 7428  df-le 7429  df-sub 7556  df-neg 7557  df-reap 7950  df-ap 7957  df-div 8036  df-inn 8315  df-2 8373  df-n0 8564  df-z 8645  df-uz 8913  df-iseq 9739  df-iexp 9790
This theorem is referenced by:  nn0opth2d  9964
  Copyright terms: Public domain W3C validator