ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0opthd GIF version

Theorem nn0opthd 10482
Description: An ordered pair theorem for nonnegative integers. Theorem 17.3 of [Quine] p. 124. We can represent an ordered pair of nonnegative integers 𝐴 and 𝐵 by (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵). If two such ordered pairs are equal, their first elements are equal and their second elements are equal. Contrast this ordered pair representation with the standard one df-op 3536 that works for any set. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0opthd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
nn0opthd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
nn0opthd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
nn0opthd.4 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
nn0opthd (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))

Proof of Theorem nn0opthd
StepHypRef Expression
1 nn0opthd.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
2 nn0opthd.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
3 nn0opthd.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
4 nn0opthd.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
53, 4nn0addcld 9048 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℕ0)
61, 2, 5, 4nn0opthlem2d 10481 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) → (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵)))
76imp 123 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)) → (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))
87necomd 2394 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
98ex 114 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
101, 2nn0addcld 9048 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
113, 4, 10, 2nn0opthlem2d 10481 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐵) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
129, 11jaod 706 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) ∨ (𝐶 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐵)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
1310nn0red 9045 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
145nn0red 9045 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
15 reaplt 8364 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) ∨ (𝐶 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐵))))
1613, 14, 15syl2anc 408 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) ∨ (𝐶 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐵))))
1710, 10nn0mulcld 9049 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℕ0)
1817, 2nn0addcld 9048 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℕ0)
1918nn0zd 9185 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℤ)
205, 5nn0mulcld 9049 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) ∈ ℕ0)
2120, 4nn0addcld 9048 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ∈ ℕ0)
2221nn0zd 9185 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ∈ ℤ)
23 zapne 9139 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ∈ ℤ) → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) # (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
2419, 22, 23syl2anc 408 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) # (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
2512, 16, 243imtr4d 202 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) # (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
2625con3d 620 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) # (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → ¬ (𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷)))
2718nn0cnd 9046 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℂ)
2821nn0cnd 9046 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ∈ ℂ)
29 apti 8398 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ ¬ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) # (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
3027, 28, 29syl2anc 408 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ ¬ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) # (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
3110nn0cnd 9046 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
325nn0cnd 9046 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
33 apti 8398 . . . . . . . . 9 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷)))
3431, 32, 33syl2anc 408 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷)))
3526, 30, 343imtr4d 202 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)))
3635imp 123 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
37 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
3836, 36oveq12d 5792 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)))
3938oveq1d 5789 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐷) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
4037, 39eqtr4d 2175 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐷))
4131, 31mulcld 7800 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
422nn0cnd 9046 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
434nn0cnd 9046 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
4441, 42, 43addcand 7960 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐷) ↔ 𝐵 = 𝐷))
4544adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐷) ↔ 𝐵 = 𝐷))
4640, 45mpbid 146 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → 𝐵 = 𝐷)
4746oveq2d 5790 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (𝐶 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
4836, 47eqtr4d 2175 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐵))
491nn0cnd 9046 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
503nn0cnd 9046 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5149, 50, 42addcan2d 7961 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐶))
5251adantr 274 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐶))
5348, 52mpbid 146 . . . 4 ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → 𝐴 = 𝐶)
5453, 46jca 304 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))
5554ex 114 . 2 (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))
56 oveq12 5783 . . . 4 ((𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
5756, 56oveq12d 5792 . . 3 ((𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)))
58 simpr 109 . . 3 ((𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷) → 𝐵 = 𝐷)
5957, 58oveq12d 5792 . 2 ((𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
6055, 59impbid1 141 1 (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 697   = wceq 1331  wcel 1480  wne 2308   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  cc 7632  cr 7633   + caddc 7637   · cmul 7639   < clt 7814   # cap 8357  0cn0 8991  cz 9068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-mulrcl 7733  ax-addcom 7734  ax-mulcom 7735  ax-addass 7736  ax-mulass 7737  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-0lt1 7740  ax-1rid 7741  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-precex 7744  ax-cnre 7745  ax-pre-ltirr 7746  ax-pre-ltwlin 7747  ax-pre-lttrn 7748  ax-pre-apti 7749  ax-pre-ltadd 7750  ax-pre-mulgt0 7751  ax-pre-mulext 7752
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-xr 7818  df-ltxr 7819  df-le 7820  df-sub 7949  df-neg 7950  df-reap 8351  df-ap 8358  df-div 8447  df-inn 8735  df-2 8793  df-n0 8992  df-z 9069  df-uz 9341  df-seqfrec 10233  df-exp 10307
This theorem is referenced by:  nn0opth2d  10483
  Copyright terms: Public domain W3C validator