Theorem nn0opthd 10686

Description: An ordered pair theorem for nonnegative integers. Theorem 17.3 of [Quine] p. 124. We can represent an ordered pair of nonnegative integers 𝐴 and 𝐵 by (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵). If two such ordered pairs are equal, their first elements are equal and their second elements are equal. Contrast this ordered pair representation with the standard one df-op 3600 that works for any set. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0opthd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0opthd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
nn0opthd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
nn0opthd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0opthd	⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))

Proof of Theorem nn0opthd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0opthd.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0opthd.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0opthd.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
4		nn0opthd.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
5	3, 4	nn0addcld 9222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℕ0)
6	1, 2, 5, 4	nn0opthlem2d 10685	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) → (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵)))
7	6	imp 124	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)) → (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))
8	7	necomd 2433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
9	8	ex 115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
10	1, 2	nn0addcld 9222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
11	3, 4, 10, 2	nn0opthlem2d 10685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐵) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
12	9, 11	jaod 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) ∨ (𝐶 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐵)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
13	10	nn0red 9219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
14	5	nn0red 9219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
15		reaplt 8535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) ∨ (𝐶 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐵))))
16	13, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) ∨ (𝐶 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐵))))
17	10, 10	nn0mulcld 9223	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℕ0)
18	17, 2	nn0addcld 9222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℕ0)
19	18	nn0zd 9362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℤ)
20	5, 5	nn0mulcld 9223	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) ∈ ℕ0)
21	20, 4	nn0addcld 9222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ∈ ℕ0)
22	21	nn0zd 9362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ∈ ℤ)
23		zapne 9316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ∈ ℤ) → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) # (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
24	19, 22, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) # (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
25	12, 16, 24	3imtr4d 203	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) # (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
26	25	con3d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (¬ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) # (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → ¬ (𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷)))
27	18	nn0cnd 9220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℂ)
28	21	nn0cnd 9220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ∈ ℂ)
29		apti 8569	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ ¬ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) # (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
30	27, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ ¬ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) # (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
31	10	nn0cnd 9220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
32	5	nn0cnd 9220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
33		apti 8569	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷)))
34	31, 32, 33	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷)))
35	26, 30, 34	3imtr4d 203	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)))
36	35	imp 124	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
37		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
38	36, 36	oveq12d 5887	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)))
39	38	oveq1d 5884	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐷) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
40	37, 39	eqtr4d 2213	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐷))
41	31, 31	mulcld 7968	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
42	2	nn0cnd 9220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
43	4	nn0cnd 9220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
44	41, 42, 43	addcand 8131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐷) ↔ 𝐵 = 𝐷))
45	44	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐷) ↔ 𝐵 = 𝐷))
46	40, 45	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → 𝐵 = 𝐷)
47	46	oveq2d 5885	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (𝐶 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
48	36, 47	eqtr4d 2213	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐵))
49	1	nn0cnd 9220	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
50	3	nn0cnd 9220	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
51	49, 50, 42	addcan2d 8132	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐶))
52	51	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐶))
53	48, 52	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → 𝐴 = 𝐶)
54	53, 46	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
55	54	ex 115	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
56		oveq12 5878	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
57	56, 56	oveq12d 5887	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)))
58		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 𝐵 = 𝐷)
59	57, 58	oveq12d 5887	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
60	55, 59	impbid1 142	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  ℂcc 7800  ℝcr 7801   + caddc 7805   · cmul 7807   < clt 7982   # cap 8528  ℕ₀cn0 9165  ℤcz 9242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-seqfrec 10432  df-exp 10506

This theorem is referenced by:  nn0opth2d  10687