Theorem nn0opthd 11030

Description: An ordered pair theorem for nonnegative integers. Theorem 17.3 of [Quine] p. 124. We can represent an ordered pair of nonnegative integers 𝐴 and 𝐵 by (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵). If two such ordered pairs are equal, their first elements are equal and their second elements are equal. Contrast this ordered pair representation with the standard one df-op 3682 that works for any set. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0opthd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0opthd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
nn0opthd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
nn0opthd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0opthd	⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))

Proof of Theorem nn0opthd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0opthd.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0opthd.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0opthd.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
4		nn0opthd.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
5	3, 4	nn0addcld 9503	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℕ0)
6	1, 2, 5, 4	nn0opthlem2d 11029	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) → (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵)))
7	6	imp 124	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)) → (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))
8	7	necomd 2489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
9	8	ex 115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
10	1, 2	nn0addcld 9503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
11	3, 4, 10, 2	nn0opthlem2d 11029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐵) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
12	9, 11	jaod 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) ∨ (𝐶 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐵)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
13	10	nn0red 9500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
14	5	nn0red 9500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
15		reaplt 8810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) ∨ (𝐶 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐵))))
16	13, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) ∨ (𝐶 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐵))))
17	10, 10	nn0mulcld 9504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℕ0)
18	17, 2	nn0addcld 9503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℕ0)
19	18	nn0zd 9644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℤ)
20	5, 5	nn0mulcld 9504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) ∈ ℕ0)
21	20, 4	nn0addcld 9503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ∈ ℕ0)
22	21	nn0zd 9644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ∈ ℤ)
23		zapne 9598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℤ ∧ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ∈ ℤ) → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) # (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
24	19, 22, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) # (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
25	12, 16, 24	3imtr4d 203	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) # (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
26	25	con3d 636	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (¬ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) # (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → ¬ (𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷)))
27	18	nn0cnd 9501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℂ)
28	21	nn0cnd 9501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ∈ ℂ)
29		apti 8844	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ ¬ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) # (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
30	27, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ ¬ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) # (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)))
31	10	nn0cnd 9501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
32	5	nn0cnd 9501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
33		apti 8844	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷)))
34	31, 32, 33	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷)))
35	26, 30, 34	3imtr4d 203	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)))
36	35	imp 124	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
37		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
38	36, 36	oveq12d 6046	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)))
39	38	oveq1d 6043	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐷) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
40	37, 39	eqtr4d 2267	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐷))
41	31, 31	mulcld 8242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
42	2	nn0cnd 9501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
43	4	nn0cnd 9501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
44	41, 42, 43	addcand 8405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐷) ↔ 𝐵 = 𝐷))
45	44	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐷) ↔ 𝐵 = 𝐷))
46	40, 45	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → 𝐵 = 𝐷)
47	46	oveq2d 6044	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (𝐶 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
48	36, 47	eqtr4d 2267	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐵))
49	1	nn0cnd 9501	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
50	3	nn0cnd 9501	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
51	49, 50, 42	addcan2d 8406	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐶))
52	51	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐶))
53	48, 52	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → 𝐴 = 𝐶)
54	53, 46	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
55	54	ex 115	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
56		oveq12 6037	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
57	56, 56	oveq12d 6046	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)))
58		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 𝐵 = 𝐷)
59	57, 58	oveq12d 6046	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
60	55, 59	impbid1 142	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028  ℂcc 8073  ℝcr 8074   + caddc 8078   · cmul 8080   < clt 8256   # cap 8803  ℕ₀cn0 9444  ℤcz 9523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-seqfrec 10756  df-exp 10847

This theorem is referenced by:  nn0opth2d  11031