ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnabscl Unicode version

Theorem nnabscl 10712
Description: The absolute value of a nonzero integer is a positive integer. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-May-2011.)
Assertion
Ref Expression
nnabscl  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( abs `  N
)  e.  NN )

Proof of Theorem nnabscl
StepHypRef Expression
1 zabscl 10698 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( abs `  N )  e.  ZZ )
21adantr 272 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( abs `  N
)  e.  ZZ )
3 0z 8917 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
4 zapne 8977 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( N #  0  <->  N  =/=  0 ) )
53, 4mpan2 419 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N #  0  <->  N  =/=  0
) )
6 zcn 8911 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
7 absgt0ap 10711 . . . . 5  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N #  0  <->  0  <  ( abs `  N ) ) )
86, 7syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N #  0  <->  0  <  ( abs `  N ) ) )
95, 8bitr3d 189 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  N ) ) )
109biimpa 292 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
0  <  ( abs `  N ) )
11 elnnz 8916 . 2  |-  ( ( abs `  N )  e.  NN  <->  ( ( abs `  N )  e.  ZZ  /\  0  < 
( abs `  N
) ) )
122, 10, 11sylanbrc 411 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( abs `  N
)  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1448    =/= wne 2267   class class class wbr 3875   ` cfv 5059   CCcc 7498   0cc0 7500    < clt 7672   # cap 8209   NNcn 8578   ZZcz 8906   abscabs 10609
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614  ax-caucvg 7615
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-rp 9292  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-cj 10455  df-re 10456  df-im 10457  df-rsqrt 10610  df-abs 10611
This theorem is referenced by:  dvdsleabs  11338  gcdmultiplez  11502  dvdssq  11512  lcmval  11537  lcmcllem  11541  lcmgcd  11552  lcmdvds  11553
  Copyright terms: Public domain W3C validator