Theorem p1evtxdeqfilem 16432

Description: Lemma for p1evtxdeqfi 16433 and p1evtxdp1fi 16434. (Contributed by AV, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
p1evtxdeq.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
p1evtxdeq.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
p1evtxdeq.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
p1evtxdeq.fv	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
p1evtxdeq.fi	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
p1evtxdeq.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
p1evtxdeq.d	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∉ dom 𝐼)
p1evtxdeq.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
p1evtxdeqfi.vfi	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
p1evtxdeqfi.u	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
p1evtxdeqfi.ifi	⊢ (𝜑 → dom 𝐼 ∈ Fin)
p1evtxdeqfi.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
p1evtxdeqfi.2o	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≈ 2o)
p1evtxdeq.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
p1evtxdeqfilem	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)))

Proof of Theorem p1evtxdeqfilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p1evtxdeq.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		eqid 2234	. 2 ⊢ (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)
3		p1evtxdeq.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		p1evtxdeqfi.vfi	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
5	4	elexd 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
6		p1evtxdeq.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
7		p1evtxdeq.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑌)
8		opexg 4349	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ⟨𝐾, 𝐸⟩ ∈ V)
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐸⟩ ∈ V)
10		snexg 4302	. . . 4 ⊢ (⟨𝐾, 𝐸⟩ ∈ V → {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V)
11	9, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V)
12		opvtxfv 16143	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
13	5, 11, 12	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
14		p1evtxdeq.fv	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
15		p1evtxdeqfi.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
16		p1evtxdeqfi.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
17		p1evtxdeqfi.2o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≈ 2o)
18	6, 4, 16, 17	upgr1een 16245	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩ ∈ UPGraph)
19		dmsnopg 5239	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑌 → dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} = {𝐾})
20	7, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} = {𝐾})
21	20	ineq2d 3426	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐾, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∩ {𝐾}))
22		opiedgfv 16146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
23	5, 11, 22	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
24	23	eqcomd 2240	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐾, 𝐸⟩} = (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩))
25	24	dmeqd 4963	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} = dom (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩))
26	25	ineq2d 3426	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐾, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∩ dom (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)))
27		p1evtxdeq.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∉ dom 𝐼)
28		df-nel 2510	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∉ dom 𝐼 ↔ ¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
29	27, 28	sylib 122	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
30		disjsn 3756	. . . 4 ⊢ ((dom 𝐼 ∩ {𝐾}) = ∅ ↔ ¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
31	29, 30	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ {𝐾}) = ∅)
32	21, 26, 31	3eqtr3d 2275	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)) = ∅)
33		p1evtxdeq.f	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
34		funsng 5407	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → Fun {⟨𝐾, 𝐸⟩})
35	6, 7, 34	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun {⟨𝐾, 𝐸⟩})
36	24	funeqd 5379	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Fun {⟨𝐾, 𝐸⟩} ↔ Fun (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)))
37	35, 36	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩))
38		p1evtxdeq.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
39		p1evtxdeq.fi	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
40	24	uneq2d 3377	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}) = (𝐼 ∪ (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)))
41	39, 40	eqtrd 2267	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)))
42		p1evtxdeqfi.ifi	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐼 ∈ Fin)
43		snfig 7069	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑋 → {𝐾} ∈ Fin)
44	6, 43	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐾} ∈ Fin)
45	20, 44	eqeltrd 2311	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ Fin)
46	25, 45	eqeltrrd 2312	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) ∈ Fin)
47	1, 2, 3, 13, 14, 4, 15, 18, 32, 33, 37, 38, 41, 42, 46	vtxdfifiun 16418	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ∉ wnel 2509  Vcvv 2815   ∪ cun 3212   ∩ cin 3213  ∅c0 3512  𝒫 cpw 3674  {csn 3694  ⟨cop 3697   class class class wbr 4114  dom cdm 4754  Fun wfun 5351  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  2_oc2o 6654   ≈ cen 6986  Fincfn 6988   + caddc 8146  Vtxcvtx 16133  iEdgciedg 16134  UPGraphcupgr 16212  VtxDegcvtxdg 16407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-dec 9728  df-uz 9872  df-xadd 10125  df-ihash 11164  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-edgf 16126  df-vtx 16135  df-iedg 16136  df-upgren 16214  df-vtxdg 16408

This theorem is referenced by:  p1evtxdeqfi  16433  p1evtxdp1fi  16434