Theorem p1evtxdeqfilem 16535

Description: Lemma for p1evtxdeqfi 16536 and p1evtxdp1fi 16537. (Contributed by AV, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
p1evtxdeq.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
p1evtxdeq.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
p1evtxdeq.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
p1evtxdeq.fv	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
p1evtxdeq.fi	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
p1evtxdeq.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
p1evtxdeq.d	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∉ dom 𝐼)
p1evtxdeq.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
p1evtxdeqfi.vfi	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
p1evtxdeqfi.u	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
p1evtxdeqfi.ifi	⊢ (𝜑 → dom 𝐼 ∈ Fin)
p1evtxdeqfi.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
p1evtxdeqfi.2o	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≈ 2o)
p1evtxdeq.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
p1evtxdeqfilem	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)))

Proof of Theorem p1evtxdeqfilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p1evtxdeq.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		eqid 2238	. 2 ⊢ (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)
3		p1evtxdeq.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		p1evtxdeqfi.vfi	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
5	4	elexd 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
6		p1evtxdeq.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
7		p1evtxdeq.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑌)
8		opexg 4366	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ⟨𝐾, 𝐸⟩ ∈ V)
9	6, 7, 8	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐸⟩ ∈ V)
10		snexg 4319	. . . 4 ⊢ (⟨𝐾, 𝐸⟩ ∈ V → {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V)
11	9, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V)
12		opvtxfv 16246	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
13	5, 11, 12	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
14		p1evtxdeq.fv	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
15		p1evtxdeqfi.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
16		p1evtxdeqfi.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
17		p1evtxdeqfi.2o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≈ 2o)
18	6, 4, 16, 17	upgr1een 16348	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩ ∈ UPGraph)
19		dmsnopg 5257	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑌 → dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} = {𝐾})
20	7, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} = {𝐾})
21	20	ineq2d 3432	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐾, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∩ {𝐾}))
22		opiedgfv 16249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
23	5, 11, 22	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
24	23	eqcomd 2244	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐾, 𝐸⟩} = (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩))
25	24	dmeqd 4981	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} = dom (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩))
26	25	ineq2d 3432	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐾, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∩ dom (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)))
27		p1evtxdeq.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∉ dom 𝐼)
28		df-nel 2516	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∉ dom 𝐼 ↔ ¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
29	27, 28	sylib 122	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
30		disjsn 3770	. . . 4 ⊢ ((dom 𝐼 ∩ {𝐾}) = ∅ ↔ ¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
31	29, 30	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ {𝐾}) = ∅)
32	21, 26, 31	3eqtr3d 2279	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)) = ∅)
33		p1evtxdeq.f	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
34		funsng 5425	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → Fun {⟨𝐾, 𝐸⟩})
35	6, 7, 34	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun {⟨𝐾, 𝐸⟩})
36	24	funeqd 5397	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Fun {⟨𝐾, 𝐸⟩} ↔ Fun (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)))
37	35, 36	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩))
38		p1evtxdeq.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
39		p1evtxdeq.fi	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
40	24	uneq2d 3383	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}) = (𝐼 ∪ (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)))
41	39, 40	eqtrd 2271	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)))
42		p1evtxdeqfi.ifi	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐼 ∈ Fin)
43		snfig 7097	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑋 → {𝐾} ∈ Fin)
44	6, 43	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐾} ∈ Fin)
45	20, 44	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ Fin)
46	25, 45	eqeltrrd 2316	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) ∈ Fin)
47	1, 2, 3, 13, 14, 4, 15, 18, 32, 33, 37, 38, 41, 42, 46	vtxdfifiun 16521	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∉ wnel 2515  Vcvv 2821   ∪ cun 3218   ∩ cin 3219  ∅c0 3520  𝒫 cpw 3688  {csn 3708  ⟨cop 3711   class class class wbr 4128  dom cdm 4772  Fun wfun 5369  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  2_oc2o 6675   ≈ cen 7014  Fincfn 7016   + caddc 8176  Vtxcvtx 16236  iEdgciedg 16237  UPGraphcupgr 16315  VtxDegcvtxdg 16510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-frec 6656  df-1o 6681  df-2o 6682  df-oadd 6685  df-er 6801  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-dec 9761  df-uz 9905  df-xadd 10158  df-ihash 11198  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-edgf 16229  df-vtx 16238  df-iedg 16239  df-upgren 16317  df-vtxdg 16511

This theorem is referenced by:  p1evtxdeqfi  16536  p1evtxdp1fi  16537