Theorem p1evtxdeqfilem 16122

Description: Lemma for p1evtxdeqfi 16123 and p1evtxdp1fi 16124. (Contributed by AV, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
p1evtxdeq.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
p1evtxdeq.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
p1evtxdeq.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
p1evtxdeq.fv	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
p1evtxdeq.fi	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
p1evtxdeq.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
p1evtxdeq.d	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∉ dom 𝐼)
p1evtxdeq.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
p1evtxdeqfi.vfi	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
p1evtxdeqfi.u	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
p1evtxdeqfi.ifi	⊢ (𝜑 → dom 𝐼 ∈ Fin)
p1evtxdeqfi.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
p1evtxdeqfi.2o	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≈ 2o)
p1evtxdeq.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
p1evtxdeqfilem	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)))

Proof of Theorem p1evtxdeqfilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p1evtxdeq.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		eqid 2229	. 2 ⊢ (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)
3		p1evtxdeq.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		p1evtxdeqfi.vfi	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
5	4	elexd 2814	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
6		p1evtxdeq.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
7		p1evtxdeq.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑌)
8		opexg 4318	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ⟨𝐾, 𝐸⟩ ∈ V)
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐸⟩ ∈ V)
10		snexg 4272	. . . 4 ⊢ (⟨𝐾, 𝐸⟩ ∈ V → {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V)
11	9, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V)
12		opvtxfv 15866	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
13	5, 11, 12	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
14		p1evtxdeq.fv	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
15		p1evtxdeqfi.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
16		p1evtxdeqfi.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
17		p1evtxdeqfi.2o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≈ 2o)
18	6, 4, 16, 17	upgr1een 15968	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩ ∈ UPGraph)
19		dmsnopg 5206	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑌 → dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} = {𝐾})
20	7, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} = {𝐾})
21	20	ineq2d 3406	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐾, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∩ {𝐾}))
22		opiedgfv 15869	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
23	5, 11, 22	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
24	23	eqcomd 2235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐾, 𝐸⟩} = (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩))
25	24	dmeqd 4931	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} = dom (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩))
26	25	ineq2d 3406	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐾, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∩ dom (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)))
27		p1evtxdeq.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∉ dom 𝐼)
28		df-nel 2496	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∉ dom 𝐼 ↔ ¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
29	27, 28	sylib 122	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
30		disjsn 3729	. . . 4 ⊢ ((dom 𝐼 ∩ {𝐾}) = ∅ ↔ ¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
31	29, 30	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ {𝐾}) = ∅)
32	21, 26, 31	3eqtr3d 2270	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)) = ∅)
33		p1evtxdeq.f	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
34		funsng 5373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → Fun {⟨𝐾, 𝐸⟩})
35	6, 7, 34	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun {⟨𝐾, 𝐸⟩})
36	24	funeqd 5346	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Fun {⟨𝐾, 𝐸⟩} ↔ Fun (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)))
37	35, 36	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩))
38		p1evtxdeq.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
39		p1evtxdeq.fi	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
40	24	uneq2d 3359	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}) = (𝐼 ∪ (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)))
41	39, 40	eqtrd 2262	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)))
42		p1evtxdeqfi.ifi	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐼 ∈ Fin)
43		snfig 6984	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑋 → {𝐾} ∈ Fin)
44	6, 43	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐾} ∈ Fin)
45	20, 44	eqeltrd 2306	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ Fin)
46	25, 45	eqeltrrd 2307	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) ∈ Fin)
47	1, 2, 3, 13, 14, 4, 15, 18, 32, 33, 37, 38, 41, 42, 46	vtxdfifiun 16108	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∉ wnel 2495  Vcvv 2800   ∪ cun 3196   ∩ cin 3197  ∅c0 3492  𝒫 cpw 3650  {csn 3667  ⟨cop 3670   class class class wbr 4086  dom cdm 4723  Fun wfun 5318  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  2_oc2o 6571   ≈ cen 6902  Fincfn 6904   + caddc 8028  Vtxcvtx 15856  iEdgciedg 15857  UPGraphcupgr 15935  VtxDegcvtxdg 16097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-2o 6578  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-z 9473  df-dec 9605  df-uz 9749  df-xadd 10001  df-ihash 11031  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-edgf 15849  df-vtx 15858  df-iedg 15859  df-upgren 15937  df-vtxdg 16098

This theorem is referenced by:  p1evtxdeqfi  16123  p1evtxdp1fi  16124