Theorem p1evtxdeqfilem 16293

Description: Lemma for p1evtxdeqfi 16294 and p1evtxdp1fi 16295. (Contributed by AV, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
p1evtxdeq.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
p1evtxdeq.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
p1evtxdeq.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
p1evtxdeq.fv	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
p1evtxdeq.fi	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
p1evtxdeq.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
p1evtxdeq.d	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∉ dom 𝐼)
p1evtxdeq.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
p1evtxdeqfi.vfi	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
p1evtxdeqfi.u	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
p1evtxdeqfi.ifi	⊢ (𝜑 → dom 𝐼 ∈ Fin)
p1evtxdeqfi.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
p1evtxdeqfi.2o	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≈ 2o)
p1evtxdeq.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
p1evtxdeqfilem	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)))

Proof of Theorem p1evtxdeqfilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p1evtxdeq.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		eqid 2232	. 2 ⊢ (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)
3		p1evtxdeq.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		p1evtxdeqfi.vfi	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
5	4	elexd 2826	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
6		p1evtxdeq.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
7		p1evtxdeq.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑌)
8		opexg 4343	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ⟨𝐾, 𝐸⟩ ∈ V)
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐸⟩ ∈ V)
10		snexg 4296	. . . 4 ⊢ (⟨𝐾, 𝐸⟩ ∈ V → {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V)
11	9, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V)
12		opvtxfv 16004	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
13	5, 11, 12	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
14		p1evtxdeq.fv	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
15		p1evtxdeqfi.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
16		p1evtxdeqfi.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
17		p1evtxdeqfi.2o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≈ 2o)
18	6, 4, 16, 17	upgr1een 16106	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩ ∈ UPGraph)
19		dmsnopg 5233	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑌 → dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} = {𝐾})
20	7, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} = {𝐾})
21	20	ineq2d 3421	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐾, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∩ {𝐾}))
22		opiedgfv 16007	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
23	5, 11, 22	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
24	23	eqcomd 2238	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐾, 𝐸⟩} = (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩))
25	24	dmeqd 4957	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} = dom (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩))
26	25	ineq2d 3421	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐾, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∩ dom (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)))
27		p1evtxdeq.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∉ dom 𝐼)
28		df-nel 2508	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∉ dom 𝐼 ↔ ¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
29	27, 28	sylib 122	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
30		disjsn 3750	. . . 4 ⊢ ((dom 𝐼 ∩ {𝐾}) = ∅ ↔ ¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
31	29, 30	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ {𝐾}) = ∅)
32	21, 26, 31	3eqtr3d 2273	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)) = ∅)
33		p1evtxdeq.f	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
34		funsng 5401	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → Fun {⟨𝐾, 𝐸⟩})
35	6, 7, 34	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun {⟨𝐾, 𝐸⟩})
36	24	funeqd 5373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Fun {⟨𝐾, 𝐸⟩} ↔ Fun (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)))
37	35, 36	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩))
38		p1evtxdeq.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
39		p1evtxdeq.fi	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
40	24	uneq2d 3372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}) = (𝐼 ∪ (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)))
41	39, 40	eqtrd 2265	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)))
42		p1evtxdeqfi.ifi	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐼 ∈ Fin)
43		snfig 7055	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑋 → {𝐾} ∈ Fin)
44	6, 43	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐾} ∈ Fin)
45	20, 44	eqeltrd 2309	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ Fin)
46	25, 45	eqeltrrd 2310	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) ∈ Fin)
47	1, 2, 3, 13, 14, 4, 15, 18, 32, 33, 37, 38, 41, 42, 46	vtxdfifiun 16279	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ∉ wnel 2507  Vcvv 2812   ∪ cun 3208   ∩ cin 3209  ∅c0 3507  𝒫 cpw 3668  {csn 3688  ⟨cop 3691   class class class wbr 4108  dom cdm 4748  Fun wfun 5345  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  2_oc2o 6640   ≈ cen 6972  Fincfn 6974   + caddc 8126  Vtxcvtx 15994  iEdgciedg 15995  UPGraphcupgr 16073  VtxDegcvtxdg 16268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-frec 6621  df-1o 6646  df-2o 6647  df-oadd 6650  df-er 6766  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-z 9574  df-dec 9706  df-uz 9850  df-xadd 10102  df-ihash 11134  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-edgf 15987  df-vtx 15996  df-iedg 15997  df-upgren 16075  df-vtxdg 16269

This theorem is referenced by:  p1evtxdeqfi  16294  p1evtxdp1fi  16295