Theorem ppiqeq0 16241

Description: The prime-counting function π is zero iff its argument is less than 2. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppiqeq0	|- ( A e. QQ -> ( (π ` A ) = 0 <-> A < 2 ) )

Proof of Theorem ppiqeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9677	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
2		zq 10036	. . . . 5 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. QQ )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- 2 e. QQ
4		qdclt 10691	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ 2 e. QQ ) -> DECID A < 2 )
5	3, 4	mpan2 429	. . 3 |- ( A e. QQ -> DECID A < 2 )
6		2re 9377	. . . . . 6 |- 2 e. RR
7		qre 10035	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
8		lenlt 8402	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 2 <_ A <-> -. A < 2 ) )
9	6, 7, 8	sylancr 418	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> ( 2 <_ A <-> -. A < 2 ) )
10		ppiqnncl 16239	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ 2 <_ A ) -> (π ` A ) e. NN )
11	10	nnne0d 9352	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ 2 <_ A ) -> (π ` A ) =/= 0 )
12	11	ex 115	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> ( 2 <_ A -> (π ` A ) =/= 0 ) )
13	9, 12	sylbird 170	. . . 4 |- ( A e. QQ -> ( -. A < 2 -> (π ` A ) =/= 0 ) )
14		df-ne 2421	. . . 4 |- ( (π ` A ) =/= 0 <-> -. (π ` A ) = 0 )
15	13, 14	imbitrdi 161	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( -. A < 2 -> -. (π ` A ) = 0 ) )
16		condc 865	. . 3 |- (DECID A < 2 -> ( ( -. A < 2 -> -. (π ` A ) = 0 ) -> ( (π ` A ) = 0 -> A < 2 ) ) )
17	5, 15, 16	sylc 62	. 2 |- ( A e. QQ -> ( (π ` A ) = 0 -> A < 2 ) )
18		flqcl 10719	. . . . . . . 8 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
19		zq 10036	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` A ) e. ZZ -> ( |_ ` A ) e. QQ )
20	18, 19	syl 14	. . . . . . 7 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. QQ )
21	20	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ A < 2 ) -> ( |_ ` A ) e. QQ )
22		1z 9675	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
23		zq 10036	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. QQ )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- 1 e. QQ
25	24	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ A < 2 ) -> 1 e. QQ )
26		flqlt 10732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. QQ /\ 2 e. ZZ ) -> ( A < 2 <-> ( |_ ` A ) < 2 ) )
27	1, 26	mpan2 429	. . . . . . . . 9 |- ( A e. QQ -> ( A < 2 <-> ( |_ ` A ) < 2 ) )
28	27	biimpa 296	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ A < 2 ) -> ( |_ ` A ) < 2 )
29		df-2 9366	. . . . . . . 8 |- 2 = ( 1 + 1 )
30	28, 29	breqtrdi 4171	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ A < 2 ) -> ( |_ ` A ) < ( 1 + 1 ) )
31	18	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ A < 2 ) -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
32		zleltp1 9705	. . . . . . . 8 |- ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) <_ 1 <-> ( |_ ` A ) < ( 1 + 1 ) ) )
33	31, 22, 32	sylancl 417	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ A < 2 ) -> ( ( |_ ` A ) <_ 1 <-> ( |_ ` A ) < ( 1 + 1 ) ) )
34	30, 33	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ A < 2 ) -> ( |_ ` A ) <_ 1 )
35		ppiqwordi 16229	. . . . . 6 |- ( ( ( |_ ` A ) e. QQ /\ 1 e. QQ /\ ( |_ ` A ) <_ 1 ) -> (π ` ( |_ ` A ) ) <_ (π ` 1 ) )
36	21, 25, 34, 35	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ A < 2 ) -> (π ` ( |_ ` A ) ) <_ (π ` 1 ) )
37		ppiqfl 16227	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> (π ` ( |_ ` A ) ) = (π ` A ) )
38	37	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ A < 2 ) -> (π ` ( |_ ` A ) ) = (π ` A ) )
39		ppi1 16231	. . . . . 6 |- (π ` 1 ) = 0
40	39	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ A < 2 ) -> (π ` 1 ) = 0 )
41	36, 38, 40	3brtr3d 4161	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ A < 2 ) -> (π ` A ) <_ 0 )
42		ppiqcl 16212	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> (π ` A ) e. NN0 )
43	42	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ A < 2 ) -> (π ` A ) e. NN0 )
44		nn0le0eq0 9596	. . . . 5 |- ( (π ` A ) e. NN0 -> ( (π ` A ) <_ 0 <-> (π ` A ) = 0 ) )
45	43, 44	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ A < 2 ) -> ( (π ` A ) <_ 0 <-> (π ` A ) = 0 ) )
46	41, 45	mpbid 147	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ A < 2 ) -> (π ` A ) = 0 )
47	46	ex 115	. 2 |- ( A e. QQ -> ( A < 2 -> (π ` A ) = 0 ) )
48	17, 47	impbid 129	1 |- ( A e. QQ -> ( (π ` A ) = 0 <-> A < 2 ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   RRcr 8179   0cc0 8180   1c1 8181   + caddc 8183   < clt 8361   <_ cle 8362   2c2 9358   NN0cn0 9568   ZZcz 9649   QQcq 10029   |_cfl 10714  πcppi 16195

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-icc 10308  df-fz 10423  df-fl 10716  df-mod 10775  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-ihash 11231  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781  df-dvds 12574  df-prm 12905  df-ppi 16198

This theorem is used by:  ppiqltx  16242