![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > prmdivdiv | GIF version |
Description: The (modular) inverse of the inverse of a number is itself. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
prmdiv.1 | โข ๐ = ((๐ดโ(๐ โ 2)) mod ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
prmdivdiv | โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ (1...(๐ โ 1))) โ ๐ด = ((๐ โ(๐ โ 2)) mod ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | fz1ssfz0 10130 | . . 3 โข (1...(๐ โ 1)) โ (0...(๐ โ 1)) | |
2 | simpr 110 | . . 3 โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ (1...(๐ โ 1))) โ ๐ด โ (1...(๐ โ 1))) | |
3 | 1, 2 | sselid 3165 | . 2 โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ (1...(๐ โ 1))) โ ๐ด โ (0...(๐ โ 1))) |
4 | simpl 109 | . . . . 5 โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ (1...(๐ โ 1))) โ ๐ โ โ) | |
5 | elfznn 10067 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ (1...(๐ โ 1)) โ ๐ด โ โ) | |
6 | 5 | adantl 277 | . . . . . 6 โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ (1...(๐ โ 1))) โ ๐ด โ โ) |
7 | 6 | nnzd 9387 | . . . . 5 โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ (1...(๐ โ 1))) โ ๐ด โ โค) |
8 | prmnn 12123 | . . . . . 6 โข (๐ โ โ โ ๐ โ โ) | |
9 | fzm1ndvds 11875 | . . . . . 6 โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ (1...(๐ โ 1))) โ ยฌ ๐ โฅ ๐ด) | |
10 | 8, 9 | sylan 283 | . . . . 5 โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ (1...(๐ โ 1))) โ ยฌ ๐ โฅ ๐ด) |
11 | prmdiv.1 | . . . . . 6 โข ๐ = ((๐ดโ(๐ โ 2)) mod ๐) | |
12 | 11 | prmdiv 12248 | . . . . 5 โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ โค โง ยฌ ๐ โฅ ๐ด) โ (๐ โ (1...(๐ โ 1)) โง ๐ โฅ ((๐ด ยท ๐ ) โ 1))) |
13 | 4, 7, 10, 12 | syl3anc 1248 | . . . 4 โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ (1...(๐ โ 1))) โ (๐ โ (1...(๐ โ 1)) โง ๐ โฅ ((๐ด ยท ๐ ) โ 1))) |
14 | 13 | simprd 114 | . . 3 โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ (1...(๐ โ 1))) โ ๐ โฅ ((๐ด ยท ๐ ) โ 1)) |
15 | 6 | nncnd 8946 | . . . . 5 โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ (1...(๐ โ 1))) โ ๐ด โ โ) |
16 | 13 | simpld 112 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ (1...(๐ โ 1))) โ ๐ โ (1...(๐ โ 1))) |
17 | elfznn 10067 | . . . . . . 7 โข (๐ โ (1...(๐ โ 1)) โ ๐ โ โ) | |
18 | 16, 17 | syl 14 | . . . . . 6 โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ (1...(๐ โ 1))) โ ๐ โ โ) |
19 | 18 | nncnd 8946 | . . . . 5 โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ (1...(๐ โ 1))) โ ๐ โ โ) |
20 | 15, 19 | mulcomd 7992 | . . . 4 โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ (1...(๐ โ 1))) โ (๐ด ยท ๐ ) = (๐ ยท ๐ด)) |
21 | 20 | oveq1d 5903 | . . 3 โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ (1...(๐ โ 1))) โ ((๐ด ยท ๐ ) โ 1) = ((๐ ยท ๐ด) โ 1)) |
22 | 14, 21 | breqtrd 4041 | . 2 โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ (1...(๐ โ 1))) โ ๐ โฅ ((๐ ยท ๐ด) โ 1)) |
23 | elfzelz 10038 | . . . 4 โข (๐ โ (1...(๐ โ 1)) โ ๐ โ โค) | |
24 | 16, 23 | syl 14 | . . 3 โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ (1...(๐ โ 1))) โ ๐ โ โค) |
25 | fzm1ndvds 11875 | . . . 4 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ (1...(๐ โ 1))) โ ยฌ ๐ โฅ ๐ ) | |
26 | 8, 16, 25 | syl2an2r 595 | . . 3 โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ (1...(๐ โ 1))) โ ยฌ ๐ โฅ ๐ ) |
27 | eqid 2187 | . . . 4 โข ((๐ โ(๐ โ 2)) mod ๐) = ((๐ โ(๐ โ 2)) mod ๐) | |
28 | 27 | prmdiveq 12249 | . . 3 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โค โง ยฌ ๐ โฅ ๐ ) โ ((๐ด โ (0...(๐ โ 1)) โง ๐ โฅ ((๐ ยท ๐ด) โ 1)) โ ๐ด = ((๐ โ(๐ โ 2)) mod ๐))) |
29 | 4, 24, 26, 28 | syl3anc 1248 | . 2 โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ (1...(๐ โ 1))) โ ((๐ด โ (0...(๐ โ 1)) โง ๐ โฅ ((๐ ยท ๐ด) โ 1)) โ ๐ด = ((๐ โ(๐ โ 2)) mod ๐))) |
30 | 3, 22, 29 | mpbi2and 944 | 1 โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ (1...(๐ โ 1))) โ ๐ด = ((๐ โ(๐ โ 2)) mod ๐)) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โง wa 104 โ wb 105 = wceq 1363 โ wcel 2158 class class class wbr 4015 (class class class)co 5888 0cc0 7824 1c1 7825 ยท cmul 7829 โ cmin 8141 โcn 8932 2c2 8983 โคcz 9266 ...cfz 10021 mod cmo 10335 โcexp 10532 โฅ cdvds 11807 โcprime 12120 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2160 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-coll 4130 ax-sep 4133 ax-nul 4141 ax-pow 4186 ax-pr 4221 ax-un 4445 ax-setind 4548 ax-iinf 4599 ax-cnex 7915 ax-resscn 7916 ax-1cn 7917 ax-1re 7918 ax-icn 7919 ax-addcl 7920 ax-addrcl 7921 ax-mulcl 7922 ax-mulrcl 7923 ax-addcom 7924 ax-mulcom 7925 ax-addass 7926 ax-mulass 7927 ax-distr 7928 ax-i2m1 7929 ax-0lt1 7930 ax-1rid 7931 ax-0id 7932 ax-rnegex 7933 ax-precex 7934 ax-cnre 7935 ax-pre-ltirr 7936 ax-pre-ltwlin 7937 ax-pre-lttrn 7938 ax-pre-apti 7939 ax-pre-ltadd 7940 ax-pre-mulgt0 7941 ax-pre-mulext 7942 ax-arch 7943 ax-caucvg 7944 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 980 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ne 2358 df-nel 2453 df-ral 2470 df-rex 2471 df-reu 2472 df-rmo 2473 df-rab 2474 df-v 2751 df-sbc 2975 df-csb 3070 df-dif 3143 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-nul 3435 df-if 3547 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-int 3857 df-iun 3900 df-br 4016 df-opab 4077 df-mpt 4078 df-tr 4114 df-id 4305 df-po 4308 df-iso 4309 df-iord 4378 df-on 4380 df-ilim 4381 df-suc 4383 df-iom 4602 df-xp 4644 df-rel 4645 df-cnv 4646 df-co 4647 df-dm 4648 df-rn 4649 df-res 4650 df-ima 4651 df-iota 5190 df-fun 5230 df-fn 5231 df-f 5232 df-f1 5233 df-fo 5234 df-f1o 5235 df-fv 5236 df-isom 5237 df-riota 5844 df-ov 5891 df-oprab 5892 df-mpo 5893 df-1st 6154 df-2nd 6155 df-recs 6319 df-irdg 6384 df-frec 6405 df-1o 6430 df-2o 6431 df-oadd 6434 df-er 6548 df-en 6754 df-dom 6755 df-fin 6756 df-sup 6996 df-pnf 8007 df-mnf 8008 df-xr 8009 df-ltxr 8010 df-le 8011 df-sub 8143 df-neg 8144 df-reap 8545 df-ap 8552 df-div 8643 df-inn 8933 df-2 8991 df-3 8992 df-4 8993 df-n0 9190 df-z 9267 df-uz 9542 df-q 9633 df-rp 9667 df-fz 10022 df-fzo 10156 df-fl 10283 df-mod 10336 df-seqfrec 10459 df-exp 10533 df-ihash 10769 df-cj 10864 df-re 10865 df-im 10866 df-rsqrt 11020 df-abs 11021 df-clim 11300 df-proddc 11572 df-dvds 11808 df-gcd 11957 df-prm 12121 df-phi 12224 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |