Theorem abssinper 15947

Description: The absolute value of sine has period pi. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
abssinper	|- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( abs ` ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) ) = ( abs ` ( sin ` A ) ) )

Proof of Theorem abssinper

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9649	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
2		halfcl 9531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. CC -> ( K / 2 ) e. CC )
3		2cn 9375	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
4		picn 15888	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi e. CC
5		mulass 8310	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K / 2 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ pi e. CC ) -> ( ( ( K / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
6	3, 4, 5	mp3an23 1370	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K / 2 ) e. CC -> ( ( ( K / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
7	2, 6	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. CC -> ( ( ( K / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
8		2ap0 9397	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 # 0
9		divcanap1 9011	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> ( ( K / 2 ) x. 2 ) = K )
10	3, 8, 9	mp3an23 1370	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. CC -> ( ( K / 2 ) x. 2 ) = K )
11	10	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. CC -> ( ( ( K / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( K x. pi ) )
12	7, 11	eqtr3d 2273	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. CC -> ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( K x. pi ) )
13	1, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( K x. pi ) )
14	13	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( K x. pi ) )
15	14	oveq2d 6101	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( A + ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( A + ( K x. pi ) ) )
16	15	fveq2d 5699	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) )
17	16	eqcomd 2244	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) = ( sin ` ( A + ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
18	17	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( K / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) = ( sin ` ( A + ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
19		sinper 15910	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( K / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` A ) )
20	19	adantlr 481	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( K / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` A ) )
21	18, 20	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( K / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) = ( sin ` A ) )
22	21	fveq2d 5699	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( K / 2 ) e. ZZ ) -> ( abs ` ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) ) = ( abs ` ( sin ` A ) ) )
23		peano2cn 8461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. CC -> ( K + 1 ) e. CC )
24		halfcl 9531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K + 1 ) e. CC -> ( ( K + 1 ) / 2 ) e. CC )
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. CC -> ( ( K + 1 ) / 2 ) e. CC )
26	3, 4	mulcli 8331	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. pi ) e. CC
27		mulcl 8306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) e. CC /\ ( 2 x. pi ) e. CC ) -> ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) e. CC )
28	25, 26, 27	sylancl 417	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. CC -> ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) e. CC )
29		subadd23 8538	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ pi e. CC /\ ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) e. CC ) -> ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( A + ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) ) )
30	4, 29	mp3an2 1366	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) e. CC ) -> ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( A + ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) ) )
31	28, 30	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( A + ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) ) )
32		divcanap1 9011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K + 1 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) = ( K + 1 ) )
33	3, 8, 32	mp3an23 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K + 1 ) e. CC -> ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) = ( K + 1 ) )
34	23, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. CC -> ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) = ( K + 1 ) )
35	34	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. CC -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( K + 1 ) x. pi ) )
36		ax-1cn 8272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. CC
37		adddir 8317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. CC /\ 1 e. CC /\ pi e. CC ) -> ( ( K + 1 ) x. pi ) = ( ( K x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) )
38	36, 4, 37	mp3an23 1370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. CC -> ( ( K + 1 ) x. pi ) = ( ( K x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) )
39	35, 38	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. CC -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( K x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) )
40	4	mullidi 8329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 x. pi ) = pi
41	40	oveq2i 6096	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) = ( ( K x. pi ) + pi )
42	39, 41	eqtr2di 2288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. CC -> ( ( K x. pi ) + pi ) = ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) x. pi ) )
43		mulass 8310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ pi e. CC ) -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
44	3, 4, 43	mp3an23 1370	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K + 1 ) / 2 ) e. CC -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
45	25, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. CC -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
46	42, 45	eqtr2d 2272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. CC -> ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( ( K x. pi ) + pi ) )
47	46	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. CC -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) = ( ( ( K x. pi ) + pi ) - pi ) )
48		mulcl 8306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. CC /\ pi e. CC ) -> ( K x. pi ) e. CC )
49	4, 48	mpan2 429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. CC -> ( K x. pi ) e. CC )
50		pncan 8532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K x. pi ) e. CC /\ pi e. CC ) -> ( ( ( K x. pi ) + pi ) - pi ) = ( K x. pi ) )
51	49, 4, 50	sylancl 417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. CC -> ( ( ( K x. pi ) + pi ) - pi ) = ( K x. pi ) )
52	47, 51	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. CC -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) = ( K x. pi ) )
53	52	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) = ( K x. pi ) )
54	53	oveq2d 6101	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ K e. CC ) -> ( A + ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) ) = ( A + ( K x. pi ) ) )
55	31, 54	eqtr2d 2272	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ K e. CC ) -> ( A + ( K x. pi ) ) = ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
56	1, 55	sylan2 286	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( A + ( K x. pi ) ) = ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
57	56	fveq2d 5699	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) = ( sin ` ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
58	57	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) = ( sin ` ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
59		subcl 8525	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ pi e. CC ) -> ( A - pi ) e. CC )
60	4, 59	mpan2 429	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( A - pi ) e. CC )
61		sinper 15910	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A - pi ) e. CC /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( A - pi ) ) )
62	60, 61	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( A - pi ) ) )
63	62	adantlr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( A - pi ) ) )
64		sinmpi 15916	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( sin ` ( A - pi ) ) = -u ( sin ` A ) )
65	64	ad2antrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A - pi ) ) = -u ( sin ` A ) )
66	63, 65	eqtrd 2271	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = -u ( sin ` A ) )
67	58, 66	eqtrd 2271	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) = -u ( sin ` A ) )
68	67	fveq2d 5699	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( abs ` ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) ) = ( abs ` -u ( sin ` A ) ) )
69		sincl 12473	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( sin ` A ) e. CC )
70	69	absnegd 11955	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( abs ` -u ( sin ` A ) ) = ( abs ` ( sin ` A ) ) )
71	70	ad2antrr 492	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( abs ` -u ( sin ` A ) ) = ( abs ` ( sin ` A ) ) )
72	68, 71	eqtrd 2271	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( abs ` ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) ) = ( abs ` ( sin ` A ) ) )
73		zeo 9751	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( ( K / 2 ) e. ZZ \/ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
74	73	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( ( K / 2 ) e. ZZ \/ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
75	22, 72, 74	mpjaodan 810	1 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( abs ` ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) ) = ( abs ` ( sin ` A ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8177   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   - cmin 8497   -ucneg 8498   # cap 8909   / cdiv 9002   2c2 9355   ZZcz 9644   abscabs 11763   sincsin 12411   picpi 12414

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299  ax-pre-suploc 8300  ax-addf 8301  ax-mulf 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-map 6924  df-pm 6925  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-xneg 10174  df-xadd 10175  df-ioo 10294  df-ioc 10295  df-ico 10296  df-icc 10297  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-fac 11164  df-bc 11186  df-ihash 11215  df-shft 11580  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-clim 12045  df-sumdc 12120  df-ef 12415  df-sin 12417  df-cos 12418  df-pi 12420  df-rest 13595  df-topgen 13614  df-psmet 14880  df-xmet 14881  df-met 14882  df-bl 14883  df-mopn 14884  df-top 15099  df-topon 15112  df-bases 15144  df-ntr 15197  df-cn 15289  df-cnp 15290  df-tx 15354  df-cncf 15672  df-limced 15757  df-dvap 15758

This theorem is used by:  sinkpi  15948