Theorem abssinper 15260

Description: The absolute value of sine has period pi. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
abssinper	|- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( abs ` ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) ) = ( abs ` ( sin ` A ) ) )

Proof of Theorem abssinper

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9376	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
2		halfcl 9262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. CC -> ( K / 2 ) e. CC )
3		2cn 9106	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
4		picn 15201	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi e. CC
5		mulass 8055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K / 2 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ pi e. CC ) -> ( ( ( K / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
6	3, 4, 5	mp3an23 1341	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K / 2 ) e. CC -> ( ( ( K / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
7	2, 6	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. CC -> ( ( ( K / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
8		2ap0 9128	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 # 0
9		divcanap1 8753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> ( ( K / 2 ) x. 2 ) = K )
10	3, 8, 9	mp3an23 1341	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. CC -> ( ( K / 2 ) x. 2 ) = K )
11	10	oveq1d 5958	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. CC -> ( ( ( K / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( K x. pi ) )
12	7, 11	eqtr3d 2239	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. CC -> ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( K x. pi ) )
13	1, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( K x. pi ) )
14	13	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( K x. pi ) )
15	14	oveq2d 5959	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( A + ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( A + ( K x. pi ) ) )
16	15	fveq2d 5579	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) )
17	16	eqcomd 2210	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) = ( sin ` ( A + ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
18	17	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( K / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) = ( sin ` ( A + ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
19		sinper 15223	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( K / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` A ) )
20	19	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( K / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` A ) )
21	18, 20	eqtrd 2237	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( K / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) = ( sin ` A ) )
22	21	fveq2d 5579	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( K / 2 ) e. ZZ ) -> ( abs ` ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) ) = ( abs ` ( sin ` A ) ) )
23		peano2cn 8206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. CC -> ( K + 1 ) e. CC )
24		halfcl 9262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K + 1 ) e. CC -> ( ( K + 1 ) / 2 ) e. CC )
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. CC -> ( ( K + 1 ) / 2 ) e. CC )
26	3, 4	mulcli 8076	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. pi ) e. CC
27		mulcl 8051	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) e. CC /\ ( 2 x. pi ) e. CC ) -> ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) e. CC )
28	25, 26, 27	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. CC -> ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) e. CC )
29		subadd23 8283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ pi e. CC /\ ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) e. CC ) -> ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( A + ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) ) )
30	4, 29	mp3an2 1337	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) e. CC ) -> ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( A + ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) ) )
31	28, 30	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( A + ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) ) )
32		divcanap1 8753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K + 1 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) = ( K + 1 ) )
33	3, 8, 32	mp3an23 1341	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K + 1 ) e. CC -> ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) = ( K + 1 ) )
34	23, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. CC -> ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) = ( K + 1 ) )
35	34	oveq1d 5958	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. CC -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( K + 1 ) x. pi ) )
36		ax-1cn 8017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. CC
37		adddir 8062	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. CC /\ 1 e. CC /\ pi e. CC ) -> ( ( K + 1 ) x. pi ) = ( ( K x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) )
38	36, 4, 37	mp3an23 1341	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. CC -> ( ( K + 1 ) x. pi ) = ( ( K x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) )
39	35, 38	eqtrd 2237	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. CC -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( K x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) )
40	4	mullidi 8074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 x. pi ) = pi
41	40	oveq2i 5954	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) = ( ( K x. pi ) + pi )
42	39, 41	eqtr2di 2254	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. CC -> ( ( K x. pi ) + pi ) = ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) x. pi ) )
43		mulass 8055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ pi e. CC ) -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
44	3, 4, 43	mp3an23 1341	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K + 1 ) / 2 ) e. CC -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
45	25, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. CC -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
46	42, 45	eqtr2d 2238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. CC -> ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( ( K x. pi ) + pi ) )
47	46	oveq1d 5958	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. CC -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) = ( ( ( K x. pi ) + pi ) - pi ) )
48		mulcl 8051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. CC /\ pi e. CC ) -> ( K x. pi ) e. CC )
49	4, 48	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. CC -> ( K x. pi ) e. CC )
50		pncan 8277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K x. pi ) e. CC /\ pi e. CC ) -> ( ( ( K x. pi ) + pi ) - pi ) = ( K x. pi ) )
51	49, 4, 50	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. CC -> ( ( ( K x. pi ) + pi ) - pi ) = ( K x. pi ) )
52	47, 51	eqtrd 2237	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. CC -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) = ( K x. pi ) )
53	52	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) = ( K x. pi ) )
54	53	oveq2d 5959	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ K e. CC ) -> ( A + ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) ) = ( A + ( K x. pi ) ) )
55	31, 54	eqtr2d 2238	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ K e. CC ) -> ( A + ( K x. pi ) ) = ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
56	1, 55	sylan2 286	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( A + ( K x. pi ) ) = ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
57	56	fveq2d 5579	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) = ( sin ` ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
58	57	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) = ( sin ` ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
59		subcl 8270	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ pi e. CC ) -> ( A - pi ) e. CC )
60	4, 59	mpan2 425	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( A - pi ) e. CC )
61		sinper 15223	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A - pi ) e. CC /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( A - pi ) ) )
62	60, 61	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( A - pi ) ) )
63	62	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( A - pi ) ) )
64		sinmpi 15229	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( sin ` ( A - pi ) ) = -u ( sin ` A ) )
65	64	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A - pi ) ) = -u ( sin ` A ) )
66	63, 65	eqtrd 2237	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = -u ( sin ` A ) )
67	58, 66	eqtrd 2237	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) = -u ( sin ` A ) )
68	67	fveq2d 5579	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( abs ` ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) ) = ( abs ` -u ( sin ` A ) ) )
69		sincl 11959	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( sin ` A ) e. CC )
70	69	absnegd 11442	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( abs ` -u ( sin ` A ) ) = ( abs ` ( sin ` A ) ) )
71	70	ad2antrr 488	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( abs ` -u ( sin ` A ) ) = ( abs ` ( sin ` A ) ) )
72	68, 71	eqtrd 2237	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( abs ` ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) ) = ( abs ` ( sin ` A ) ) )
73		zeo 9477	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( ( K / 2 ) e. ZZ \/ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
74	73	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( ( K / 2 ) e. ZZ \/ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
75	22, 72, 74	mpjaodan 799	1 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( abs ` ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) ) = ( abs ` ( sin ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1372   e. wcel 2175   class class class wbr 4043   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   CCcc 7922   0cc0 7924   1c1 7925   + caddc 7927   x. cmul 7929   - cmin 8242   -ucneg 8243   # cap 8653   / cdiv 8744   2c2 9086   ZZcz 9371   abscabs 11250   sincsin 11897   picpi 11900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044  ax-pre-suploc 8045  ax-addf 8046  ax-mulf 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-disj 4021  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-isom 5279  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-of 6157  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-irdg 6455  df-frec 6476  df-1o 6501  df-oadd 6505  df-er 6619  df-map 6736  df-pm 6737  df-en 6827  df-dom 6828  df-fin 6829  df-sup 7085  df-inf 7086  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-5 9097  df-6 9098  df-7 9099  df-8 9100  df-9 9101  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-xneg 9893  df-xadd 9894  df-ioo 10013  df-ioc 10014  df-ico 10015  df-icc 10016  df-fz 10130  df-fzo 10264  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-fac 10869  df-bc 10891  df-ihash 10919  df-shft 11068  df-cj 11095  df-re 11096  df-im 11097  df-rsqrt 11251  df-abs 11252  df-clim 11532  df-sumdc 11607  df-ef 11901  df-sin 11903  df-cos 11904  df-pi 11906  df-rest 13015  df-topgen 13034  df-psmet 14247  df-xmet 14248  df-met 14249  df-bl 14250  df-mopn 14251  df-top 14412  df-topon 14425  df-bases 14457  df-ntr 14510  df-cn 14602  df-cnp 14603  df-tx 14667  df-cncf 14985  df-limced 15070  df-dvap 15071

This theorem is referenced by:  sinkpi  15261