Theorem abssinper 15870

Description: The absolute value of sine has period pi. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
abssinper	|- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( abs ` ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) ) = ( abs ` ( sin ` A ) ) )

Proof of Theorem abssinper

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9628	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
2		halfcl 9510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. CC -> ( K / 2 ) e. CC )
3		2cn 9354	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
4		picn 15811	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi e. CC
5		mulass 8300	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K / 2 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ pi e. CC ) -> ( ( ( K / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
6	3, 4, 5	mp3an23 1370	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K / 2 ) e. CC -> ( ( ( K / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
7	2, 6	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. CC -> ( ( ( K / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
8		2ap0 9376	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 # 0
9		divcanap1 9001	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> ( ( K / 2 ) x. 2 ) = K )
10	3, 8, 9	mp3an23 1370	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. CC -> ( ( K / 2 ) x. 2 ) = K )
11	10	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. CC -> ( ( ( K / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( K x. pi ) )
12	7, 11	eqtr3d 2273	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. CC -> ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( K x. pi ) )
13	1, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( K x. pi ) )
14	13	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( K x. pi ) )
15	14	oveq2d 6091	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( A + ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( A + ( K x. pi ) ) )
16	15	fveq2d 5694	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) )
17	16	eqcomd 2244	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) = ( sin ` ( A + ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
18	17	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( K / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) = ( sin ` ( A + ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
19		sinper 15833	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( K / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` A ) )
20	19	adantlr 481	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( K / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` A ) )
21	18, 20	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( K / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) = ( sin ` A ) )
22	21	fveq2d 5694	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( K / 2 ) e. ZZ ) -> ( abs ` ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) ) = ( abs ` ( sin ` A ) ) )
23		peano2cn 8451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. CC -> ( K + 1 ) e. CC )
24		halfcl 9510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K + 1 ) e. CC -> ( ( K + 1 ) / 2 ) e. CC )
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. CC -> ( ( K + 1 ) / 2 ) e. CC )
26	3, 4	mulcli 8321	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. pi ) e. CC
27		mulcl 8296	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) e. CC /\ ( 2 x. pi ) e. CC ) -> ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) e. CC )
28	25, 26, 27	sylancl 417	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. CC -> ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) e. CC )
29		subadd23 8528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ pi e. CC /\ ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) e. CC ) -> ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( A + ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) ) )
30	4, 29	mp3an2 1366	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) e. CC ) -> ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( A + ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) ) )
31	28, 30	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( A + ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) ) )
32		divcanap1 9001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K + 1 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) = ( K + 1 ) )
33	3, 8, 32	mp3an23 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K + 1 ) e. CC -> ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) = ( K + 1 ) )
34	23, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. CC -> ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) = ( K + 1 ) )
35	34	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. CC -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( K + 1 ) x. pi ) )
36		ax-1cn 8262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. CC
37		adddir 8307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. CC /\ 1 e. CC /\ pi e. CC ) -> ( ( K + 1 ) x. pi ) = ( ( K x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) )
38	36, 4, 37	mp3an23 1370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. CC -> ( ( K + 1 ) x. pi ) = ( ( K x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) )
39	35, 38	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. CC -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( K x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) )
40	4	mullidi 8319	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 x. pi ) = pi
41	40	oveq2i 6086	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) = ( ( K x. pi ) + pi )
42	39, 41	eqtr2di 2288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. CC -> ( ( K x. pi ) + pi ) = ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) x. pi ) )
43		mulass 8300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ pi e. CC ) -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
44	3, 4, 43	mp3an23 1370	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K + 1 ) / 2 ) e. CC -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
45	25, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. CC -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
46	42, 45	eqtr2d 2272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. CC -> ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( ( K x. pi ) + pi ) )
47	46	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. CC -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) = ( ( ( K x. pi ) + pi ) - pi ) )
48		mulcl 8296	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. CC /\ pi e. CC ) -> ( K x. pi ) e. CC )
49	4, 48	mpan2 429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. CC -> ( K x. pi ) e. CC )
50		pncan 8522	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K x. pi ) e. CC /\ pi e. CC ) -> ( ( ( K x. pi ) + pi ) - pi ) = ( K x. pi ) )
51	49, 4, 50	sylancl 417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. CC -> ( ( ( K x. pi ) + pi ) - pi ) = ( K x. pi ) )
52	47, 51	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. CC -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) = ( K x. pi ) )
53	52	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) = ( K x. pi ) )
54	53	oveq2d 6091	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ K e. CC ) -> ( A + ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) ) = ( A + ( K x. pi ) ) )
55	31, 54	eqtr2d 2272	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ K e. CC ) -> ( A + ( K x. pi ) ) = ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
56	1, 55	sylan2 286	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( A + ( K x. pi ) ) = ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
57	56	fveq2d 5694	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) = ( sin ` ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
58	57	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) = ( sin ` ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
59		subcl 8515	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ pi e. CC ) -> ( A - pi ) e. CC )
60	4, 59	mpan2 429	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( A - pi ) e. CC )
61		sinper 15833	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A - pi ) e. CC /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( A - pi ) ) )
62	60, 61	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( A - pi ) ) )
63	62	adantlr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( A - pi ) ) )
64		sinmpi 15839	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( sin ` ( A - pi ) ) = -u ( sin ` A ) )
65	64	ad2antrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A - pi ) ) = -u ( sin ` A ) )
66	63, 65	eqtrd 2271	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = -u ( sin ` A ) )
67	58, 66	eqtrd 2271	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) = -u ( sin ` A ) )
68	67	fveq2d 5694	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( abs ` ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) ) = ( abs ` -u ( sin ` A ) ) )
69		sincl 12451	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( sin ` A ) e. CC )
70	69	absnegd 11933	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( abs ` -u ( sin ` A ) ) = ( abs ` ( sin ` A ) ) )
71	70	ad2antrr 492	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( abs ` -u ( sin ` A ) ) = ( abs ` ( sin ` A ) ) )
72	68, 71	eqtrd 2271	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( abs ` ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) ) = ( abs ` ( sin ` A ) ) )
73		zeo 9730	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( ( K / 2 ) e. ZZ \/ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
74	73	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( ( K / 2 ) e. ZZ \/ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
75	22, 72, 74	mpjaodan 810	1 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( abs ` ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) ) = ( abs ` ( sin ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   x. cmul 8174   - cmin 8487   -ucneg 8488   # cap 8899   / cdiv 8992   2c2 9334   ZZcz 9623   abscabs 11741   sincsin 12389   picpi 12392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289  ax-pre-suploc 8290  ax-addf 8291  ax-mulf 8292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-disj 4102  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-of 6292  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-map 6914  df-pm 6915  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-xneg 10153  df-xadd 10154  df-ioo 10273  df-ioc 10274  df-ico 10275  df-icc 10276  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-fac 11142  df-bc 11164  df-ihash 11193  df-shft 11558  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098  df-ef 12393  df-sin 12395  df-cos 12396  df-pi 12398  df-rest 13572  df-topgen 13591  df-psmet 14852  df-xmet 14853  df-met 14854  df-bl 14855  df-mopn 14856  df-top 15022  df-topon 15035  df-bases 15067  df-ntr 15120  df-cn 15212  df-cnp 15213  df-tx 15277  df-cncf 15595  df-limced 15680  df-dvap 15681

This theorem is referenced by:  sinkpi  15871