Theorem abssinper 15514

Description: The absolute value of sine has period pi. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
abssinper	|- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( abs ` ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) ) = ( abs ` ( sin ` A ) ) )

Proof of Theorem abssinper

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9447	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
2		halfcl 9333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. CC -> ( K / 2 ) e. CC )
3		2cn 9177	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
4		picn 15455	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi e. CC
5		mulass 8126	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K / 2 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ pi e. CC ) -> ( ( ( K / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
6	3, 4, 5	mp3an23 1363	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K / 2 ) e. CC -> ( ( ( K / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
7	2, 6	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. CC -> ( ( ( K / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
8		2ap0 9199	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 # 0
9		divcanap1 8824	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> ( ( K / 2 ) x. 2 ) = K )
10	3, 8, 9	mp3an23 1363	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. CC -> ( ( K / 2 ) x. 2 ) = K )
11	10	oveq1d 6015	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. CC -> ( ( ( K / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( K x. pi ) )
12	7, 11	eqtr3d 2264	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. CC -> ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( K x. pi ) )
13	1, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( K x. pi ) )
14	13	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( K x. pi ) )
15	14	oveq2d 6016	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( A + ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( A + ( K x. pi ) ) )
16	15	fveq2d 5630	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) )
17	16	eqcomd 2235	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) = ( sin ` ( A + ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
18	17	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( K / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) = ( sin ` ( A + ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
19		sinper 15477	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( K / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` A ) )
20	19	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( K / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( ( K / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` A ) )
21	18, 20	eqtrd 2262	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( K / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) = ( sin ` A ) )
22	21	fveq2d 5630	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( K / 2 ) e. ZZ ) -> ( abs ` ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) ) = ( abs ` ( sin ` A ) ) )
23		peano2cn 8277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. CC -> ( K + 1 ) e. CC )
24		halfcl 9333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K + 1 ) e. CC -> ( ( K + 1 ) / 2 ) e. CC )
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. CC -> ( ( K + 1 ) / 2 ) e. CC )
26	3, 4	mulcli 8147	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. pi ) e. CC
27		mulcl 8122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) e. CC /\ ( 2 x. pi ) e. CC ) -> ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) e. CC )
28	25, 26, 27	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. CC -> ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) e. CC )
29		subadd23 8354	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ pi e. CC /\ ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) e. CC ) -> ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( A + ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) ) )
30	4, 29	mp3an2 1359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) e. CC ) -> ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( A + ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) ) )
31	28, 30	sylan2 286	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( A + ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) ) )
32		divcanap1 8824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K + 1 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) = ( K + 1 ) )
33	3, 8, 32	mp3an23 1363	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K + 1 ) e. CC -> ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) = ( K + 1 ) )
34	23, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. CC -> ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) = ( K + 1 ) )
35	34	oveq1d 6015	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. CC -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( K + 1 ) x. pi ) )
36		ax-1cn 8088	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. CC
37		adddir 8133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. CC /\ 1 e. CC /\ pi e. CC ) -> ( ( K + 1 ) x. pi ) = ( ( K x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) )
38	36, 4, 37	mp3an23 1363	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. CC -> ( ( K + 1 ) x. pi ) = ( ( K x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) )
39	35, 38	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. CC -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( K x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) )
40	4	mullidi 8145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 x. pi ) = pi
41	40	oveq2i 6011	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) = ( ( K x. pi ) + pi )
42	39, 41	eqtr2di 2279	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. CC -> ( ( K x. pi ) + pi ) = ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) x. pi ) )
43		mulass 8126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ pi e. CC ) -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
44	3, 4, 43	mp3an23 1363	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K + 1 ) / 2 ) e. CC -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
45	25, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. CC -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
46	42, 45	eqtr2d 2263	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. CC -> ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( ( K x. pi ) + pi ) )
47	46	oveq1d 6015	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. CC -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) = ( ( ( K x. pi ) + pi ) - pi ) )
48		mulcl 8122	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. CC /\ pi e. CC ) -> ( K x. pi ) e. CC )
49	4, 48	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. CC -> ( K x. pi ) e. CC )
50		pncan 8348	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K x. pi ) e. CC /\ pi e. CC ) -> ( ( ( K x. pi ) + pi ) - pi ) = ( K x. pi ) )
51	49, 4, 50	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. CC -> ( ( ( K x. pi ) + pi ) - pi ) = ( K x. pi ) )
52	47, 51	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. CC -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) = ( K x. pi ) )
53	52	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) = ( K x. pi ) )
54	53	oveq2d 6016	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ K e. CC ) -> ( A + ( ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) - pi ) ) = ( A + ( K x. pi ) ) )
55	31, 54	eqtr2d 2263	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ K e. CC ) -> ( A + ( K x. pi ) ) = ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
56	1, 55	sylan2 286	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( A + ( K x. pi ) ) = ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
57	56	fveq2d 5630	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) = ( sin ` ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
58	57	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) = ( sin ` ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
59		subcl 8341	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ pi e. CC ) -> ( A - pi ) e. CC )
60	4, 59	mpan2 425	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( A - pi ) e. CC )
61		sinper 15477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A - pi ) e. CC /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( A - pi ) ) )
62	60, 61	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( A - pi ) ) )
63	62	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( A - pi ) ) )
64		sinmpi 15483	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( sin ` ( A - pi ) ) = -u ( sin ` A ) )
65	64	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A - pi ) ) = -u ( sin ` A ) )
66	63, 65	eqtrd 2262	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( ( A - pi ) + ( ( ( K + 1 ) / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = -u ( sin ` A ) )
67	58, 66	eqtrd 2262	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) = -u ( sin ` A ) )
68	67	fveq2d 5630	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( abs ` ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) ) = ( abs ` -u ( sin ` A ) ) )
69		sincl 12212	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( sin ` A ) e. CC )
70	69	absnegd 11695	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( abs ` -u ( sin ` A ) ) = ( abs ` ( sin ` A ) ) )
71	70	ad2antrr 488	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( abs ` -u ( sin ` A ) ) = ( abs ` ( sin ` A ) ) )
72	68, 71	eqtrd 2262	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) /\ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( abs ` ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) ) = ( abs ` ( sin ` A ) ) )
73		zeo 9548	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( ( K / 2 ) e. ZZ \/ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
74	73	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( ( K / 2 ) e. ZZ \/ ( ( K + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
75	22, 72, 74	mpjaodan 803	1 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( abs ` ( sin ` ( A + ( K x. pi ) ) ) ) = ( abs ` ( sin ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4082   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   CCcc 7993   0cc0 7995   1c1 7996   + caddc 7998   x. cmul 8000   - cmin 8313   -ucneg 8314   # cap 8724   / cdiv 8815   2c2 9157   ZZcz 9442   abscabs 11503   sincsin 12150   picpi 12153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115  ax-pre-suploc 8116  ax-addf 8117  ax-mulf 8118

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-disj 4059  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-isom 5326  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-of 6216  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-frec 6535  df-1o 6560  df-oadd 6564  df-er 6678  df-map 6795  df-pm 6796  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-sup 7147  df-inf 7148  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171  df-9 9172  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-xneg 9964  df-xadd 9965  df-ioo 10084  df-ioc 10085  df-ico 10086  df-icc 10087  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-fac 10943  df-bc 10965  df-ihash 10993  df-shft 11321  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-clim 11785  df-sumdc 11860  df-ef 12154  df-sin 12156  df-cos 12157  df-pi 12159  df-rest 13269  df-topgen 13288  df-psmet 14501  df-xmet 14502  df-met 14503  df-bl 14504  df-mopn 14505  df-top 14666  df-topon 14679  df-bases 14711  df-ntr 14764  df-cn 14856  df-cnp 14857  df-tx 14921  df-cncf 15239  df-limced 15324  df-dvap 15325

This theorem is referenced by:  sinkpi  15515