Theorem sinval 11728

Description: Value of the sine function. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sinval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))

Proof of Theorem sinval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 7924	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
2	1	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
3		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	2, 3	mulcld 7996	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5		efcl 11690	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
7		negicn 8176	. . . . . . 7 ⊢ -i ∈ ℂ
8	7	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -i ∈ ℂ)
9	8, 3	mulcld 7996	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
10		efcl 11690	. . . . 5 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11	9, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
12	6, 11	subcld 8286	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
13		2mulicn 9159	. . . 4 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
14	13	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · i) ∈ ℂ)
15		2muliap0 9161	. . . 4 ⊢ (2 · i) # 0
16	15	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · i) # 0)
17	12, 14, 16	divclapd 8765	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) ∈ ℂ)
18		oveq2 5899	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (i · 𝑥) = (i · 𝐴))
19	18	fveq2d 5534	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · 𝐴)))
20		oveq2 5899	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (-i · 𝑥) = (-i · 𝐴))
21	20	fveq2d 5534	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (exp‘(-i · 𝑥)) = (exp‘(-i · 𝐴)))
22	19, 21	oveq12d 5909	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) = ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))))
23	22	oveq1d 5906	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
24		df-sin 11676	. . 3 ⊢ sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)))
25	23, 24	fvmptg 5608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) ∈ ℂ) → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
26	17, 25	mpdan 421	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  ‘cfv 5231  (class class class)co 5891  ℂcc 7827  0cc0 7829  ici 7831   · cmul 7834   − cmin 8146  -cneg 8147   # cap 8556   / cdiv 8647  2c2 8988  expce 11668  sincsin 11670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947  ax-arch 7948  ax-caucvg 7949

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-frec 6410  df-1o 6435  df-oadd 6439  df-er 6553  df-en 6759  df-dom 6760  df-fin 6761  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-q 9638  df-rp 9672  df-ico 9912  df-fz 10027  df-fzo 10161  df-seqfrec 10464  df-exp 10538  df-fac 10724  df-ihash 10774  df-cj 10869  df-re 10870  df-im 10871  df-rsqrt 11025  df-abs 11026  df-clim 11305  df-sumdc 11380  df-ef 11674  df-sin 11676

This theorem is referenced by:  tanval2ap  11739  resinval  11741  sinneg  11752  efival  11758  sinadd  11762  sinper  14627