Theorem sinval 12234

Description: Value of the sine function. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sinval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))

Proof of Theorem sinval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 8110	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
2	1	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
3		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	2, 3	mulcld 8183	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5		efcl 12196	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
7		negicn 8363	. . . . . . 7 ⊢ -i ∈ ℂ
8	7	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -i ∈ ℂ)
9	8, 3	mulcld 8183	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
10		efcl 12196	. . . . 5 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11	9, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
12	6, 11	subcld 8473	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
13		2mulicn 9349	. . . 4 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
14	13	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · i) ∈ ℂ)
15		2muliap0 9351	. . . 4 ⊢ (2 · i) # 0
16	15	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · i) # 0)
17	12, 14, 16	divclapd 8953	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) ∈ ℂ)
18		oveq2 6018	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (i · 𝑥) = (i · 𝐴))
19	18	fveq2d 5636	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · 𝐴)))
20		oveq2 6018	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (-i · 𝑥) = (-i · 𝐴))
21	20	fveq2d 5636	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (exp‘(-i · 𝑥)) = (exp‘(-i · 𝐴)))
22	19, 21	oveq12d 6028	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) = ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))))
23	22	oveq1d 6025	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
24		df-sin 12182	. . 3 ⊢ sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)))
25	23, 24	fvmptg 5715	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) ∈ ℂ) → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
26	17, 25	mpdan 421	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  ℂcc 8013  0cc0 8015  ici 8017   · cmul 8020   − cmin 8333  -cneg 8334   # cap 8744   / cdiv 8835  2c2 9177  expce 12174  sincsin 12176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-isom 5330  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-irdg 6527  df-frec 6548  df-1o 6573  df-oadd 6577  df-er 6693  df-en 6901  df-dom 6902  df-fin 6903  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-ico 10107  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-fac 10965  df-ihash 11015  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531  df-clim 11811  df-sumdc 11886  df-ef 12180  df-sin 12182

This theorem is referenced by:  tanval2ap  12245  resinval  12247  sinneg  12258  efival  12264  sinadd  12268  sinper  15504