Theorem txmetcn 15620

Description: Continuity of a binary operation on metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metcn.4	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
txmetcnp.4	⊢ 𝐿 = (MetOpen‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
txmetcn	⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐿) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑢,𝐽,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐾,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑋,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑌,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑍,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐶,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐷,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐸,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐿,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐿(𝑣, 𝑢)

Proof of Theorem txmetcn

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcn.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
2	1	mopntopon 15544	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		metcn.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
4	3	mopntopon 15544	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
5		txtopon 15363	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
6	2, 4, 5	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
7	6	3adant3 1048	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
8		txmetcnp.4	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (MetOpen‘𝐸)
9	8	mopntopon 15544	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍) → 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑍))
10	9	3ad2ant3 1051	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) → 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑍))
11		cncnp 15331	. . 3 ⊢ (((𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑍)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐿) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑋 × 𝑌)𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘𝑡))))
12	7, 10, 11	syl2anc 415	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐿) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑋 × 𝑌)𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘𝑡))))
13		fveq2 5695	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘𝑡) = (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝑥, 𝑦⟩))
14	13	eleq2d 2308	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘𝑡) ↔ 𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝑥, 𝑦⟩)))
15	14	ralxp 4923	. . . 4 ⊢ (∀𝑡 ∈ (𝑋 × 𝑌)𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘𝑡) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝑥, 𝑦⟩))
16		simplr 533	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍)
17	1, 3, 8	txmetcnp 15619	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))
18	17	adantlr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))
19	16, 18	mpbirand 445	. . . . 5 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
20	19	2ralbidva 2572	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
21	15, 20	bitrid 192	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) → (∀𝑡 ∈ (𝑋 × 𝑌)𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘𝑡) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
22	21	pm5.32da 456	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) → ((𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑋 × 𝑌)𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘𝑡)) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))
23	12, 22	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐿) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  ⟨cop 3712   class class class wbr 4130   × cxp 4772  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085   < clt 8360  ℝ⁺crp 10054  ∞Metcxmet 14873  MetOpencmopn 14878  TopOnctopon 15111   Cn ccn 15286   CnP ccnp 15287   ×_t ctx 15353

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-map 6924  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-xneg 10174  df-xadd 10175  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-topgen 13614  df-psmet 14880  df-xmet 14881  df-bl 14883  df-mopn 14884  df-top 15099  df-topon 15112  df-bases 15144  df-cn 15289  df-cnp 15290  df-tx 15354

This theorem is used by:  addcncntoplem  15662