Theorem txmetcn 15745

Description: Continuity of a binary operation on metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metcn.4	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
txmetcnp.4	⊢ 𝐿 = (MetOpen‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
txmetcn	⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐿) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑢,𝐽,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐾,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑋,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑌,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑍,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐶,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐷,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐸,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐿,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐿(𝑣, 𝑢)

Proof of Theorem txmetcn

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcn.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
2	1	mopntopon 15669	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		metcn.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
4	3	mopntopon 15669	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
5		txtopon 15488	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
6	2, 4, 5	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
7	6	3adant3 1048	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
8		txmetcnp.4	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (MetOpen‘𝐸)
9	8	mopntopon 15669	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍) → 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑍))
10	9	3ad2ant3 1051	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) → 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑍))
11		cncnp 15456	. . 3 ⊢ (((𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑍)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐿) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑋 × 𝑌)𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘𝑡))))
12	7, 10, 11	syl2anc 415	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐿) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑋 × 𝑌)𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘𝑡))))
13		fveq2 5698	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘𝑡) = (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝑥, 𝑦⟩))
14	13	eleq2d 2308	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘𝑡) ↔ 𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝑥, 𝑦⟩)))
15	14	ralxp 4925	. . . 4 ⊢ (∀𝑡 ∈ (𝑋 × 𝑌)𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘𝑡) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝑥, 𝑦⟩))
16		simplr 533	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍)
17	1, 3, 8	txmetcnp 15744	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))
18	17	adantlr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))
19	16, 18	mpbirand 445	. . . . 5 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
20	19	2ralbidva 2572	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
21	15, 20	bitrid 192	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) → (∀𝑡 ∈ (𝑋 × 𝑌)𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘𝑡) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
22	21	pm5.32da 456	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) → ((𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑋 × 𝑌)𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘𝑡)) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))
23	12, 22	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐿) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑌 ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝑥𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝑦𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝑥𝐹𝑦)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  ⟨cop 3712   class class class wbr 4131   × cxp 4774  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   < clt 8366  ℝ⁺crp 10071  ∞Metcxmet 14982  MetOpencmopn 14987  TopOnctopon 15236   Cn ccn 15411   CnP ccnp 15412   ×_t ctx 15478

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-map 6928  df-sup 7330  df-inf 7331  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-xneg 10191  df-xadd 10192  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-topgen 13673  df-psmet 14989  df-xmet 14990  df-bl 14992  df-mopn 14993  df-top 15224  df-topon 15237  df-bases 15269  df-cn 15414  df-cnp 15415  df-tx 15479

This theorem is used by:  addcncntoplem  15787