Theorem addext 8725

Description: Strong extensionality for addition. Given excluded middle, apartness would be equivalent to negated equality and this would follow readily (for all operations) from oveq12 5983. For us, it is proved a different way. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
addext	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷) → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))

Proof of Theorem addext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simplr 528	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcld 8134	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
4		simprl 529	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
5		simprr 531	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
6	4, 5	addcld 8134	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
7	4, 2	addcld 8134	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℂ)
8		apcotr 8722	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷) → ((𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐵) ∨ (𝐶 + 𝐷) # (𝐶 + 𝐵))))
9	3, 6, 7, 8	syl3anc 1252	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷) → ((𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐵) ∨ (𝐶 + 𝐷) # (𝐶 + 𝐵))))
10		apadd1 8723	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 # 𝐶 ↔ (𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐵)))
11	1, 4, 2, 10	syl3anc 1252	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 # 𝐶 ↔ (𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐵)))
12		apadd2 8724	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 # 𝐷 ↔ (𝐶 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷)))
13	2, 5, 4, 12	syl3anc 1252	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 # 𝐷 ↔ (𝐶 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷)))
14		apsym 8721	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐶 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐶 + 𝐷) # (𝐶 + 𝐵)))
15	7, 6, 14	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐶 + 𝐷) # (𝐶 + 𝐵)))
16	13, 15	bitrd 188	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 # 𝐷 ↔ (𝐶 + 𝐷) # (𝐶 + 𝐵)))
17	11, 16	orbi12d 797	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐵) ∨ (𝐶 + 𝐷) # (𝐶 + 𝐵))))
18	9, 17	sylibrd 169	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) # (𝐶 + 𝐷) → (𝐴 # 𝐶 ∨ 𝐵 # 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 712   ∈ wcel 2180   class class class wbr 4062  (class class class)co 5974  ℂcc 7965   + caddc 7970   # cap 8696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-br 4063  df-opab 4125  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-ltxr 8154  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697

This theorem is referenced by:  mulext1  8727  abs00ap  11539  absext  11540