Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cnre 7953 |
. . 3
โข (๐ต โ โ โ
โ๐ง โ โ
โ๐ค โ โ
๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) |
2 | 1 | adantl 277 |
. 2
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ
โ๐ง โ โ
โ๐ค โ โ
๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) |
3 | | cnre 7953 |
. . . . . 6
โข (๐ด โ โ โ
โ๐ฅ โ โ
โ๐ฆ โ โ
๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) |
4 | 3 | ad3antrrr 492 |
. . . . 5
โข ((((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โ โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) |
5 | | simpr 110 |
. . . . . . . . 9
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) |
6 | | simpllr 534 |
. . . . . . . . 9
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) |
7 | 5, 6 | breq12d 4017 |
. . . . . . . 8
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ (๐ด # ๐ต โ (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) # (๐ง + (i ยท ๐ค)))) |
8 | | simplrl 535 |
. . . . . . . . 9
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ๐ฅ โ โ) |
9 | | simplrr 536 |
. . . . . . . . 9
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ๐ฆ โ โ) |
10 | | simprl 529 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โ ๐ง โ
โ) |
11 | 10 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . 9
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ๐ง โ โ) |
12 | | simprr 531 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โ ๐ค โ
โ) |
13 | 12 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . 9
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ๐ค โ โ) |
14 | | apreim 8560 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โ ((๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) # (๐ง + (i ยท ๐ค)) โ (๐ฅ # ๐ง โจ ๐ฆ # ๐ค))) |
15 | 8, 9, 11, 13, 14 | syl22anc 1239 |
. . . . . . . 8
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ((๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) # (๐ง + (i ยท ๐ค)) โ (๐ฅ # ๐ง โจ ๐ฆ # ๐ค))) |
16 | 8 | renegcld 8337 |
. . . . . . . . . 10
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ -๐ฅ โ โ) |
17 | 9 | renegcld 8337 |
. . . . . . . . . 10
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ -๐ฆ โ โ) |
18 | 11 | renegcld 8337 |
. . . . . . . . . 10
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ -๐ง โ โ) |
19 | 13 | renegcld 8337 |
. . . . . . . . . 10
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ -๐ค โ โ) |
20 | | apreim 8560 |
. . . . . . . . . 10
โข (((-๐ฅ โ โ โง -๐ฆ โ โ) โง (-๐ง โ โ โง -๐ค โ โ)) โ
((-๐ฅ + (i ยท -๐ฆ)) # (-๐ง + (i ยท -๐ค)) โ (-๐ฅ # -๐ง โจ -๐ฆ # -๐ค))) |
21 | 16, 17, 18, 19, 20 | syl22anc 1239 |
. . . . . . . . 9
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ((-๐ฅ + (i ยท -๐ฆ)) # (-๐ง + (i ยท -๐ค)) โ (-๐ฅ # -๐ง โจ -๐ฆ # -๐ค))) |
22 | 8 | recnd 7986 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ๐ฅ โ โ) |
23 | | ax-icn 7906 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข i โ
โ |
24 | 23 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ i โ โ) |
25 | 9 | recnd 7986 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ๐ฆ โ โ) |
26 | 24, 25 | mulcld 7978 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ (i ยท ๐ฆ) โ โ) |
27 | 22, 26 | negdid 8281 |
. . . . . . . . . . 11
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ -(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) = (-๐ฅ + -(i ยท ๐ฆ))) |
28 | 5 | negeqd 8152 |
. . . . . . . . . . 11
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ -๐ด = -(๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) |
29 | 24, 25 | mulneg2d 8369 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ (i ยท -๐ฆ) = -(i ยท ๐ฆ)) |
30 | 29 | oveq2d 5891 |
. . . . . . . . . . 11
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ (-๐ฅ + (i ยท -๐ฆ)) = (-๐ฅ + -(i ยท ๐ฆ))) |
31 | 27, 28, 30 | 3eqtr4d 2220 |
. . . . . . . . . 10
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ -๐ด = (-๐ฅ + (i ยท -๐ฆ))) |
32 | 11 | recnd 7986 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ๐ง โ โ) |
33 | 13 | recnd 7986 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ๐ค โ โ) |
34 | 24, 33 | mulcld 7978 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ (i ยท ๐ค) โ โ) |
35 | 32, 34 | negdid 8281 |
. . . . . . . . . . 11
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ -(๐ง + (i ยท ๐ค)) = (-๐ง + -(i ยท ๐ค))) |
36 | 6 | negeqd 8152 |
. . . . . . . . . . 11
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ -๐ต = -(๐ง + (i ยท ๐ค))) |
37 | 24, 33 | mulneg2d 8369 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ (i ยท -๐ค) = -(i ยท ๐ค)) |
38 | 37 | oveq2d 5891 |
. . . . . . . . . . 11
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ (-๐ง + (i ยท -๐ค)) = (-๐ง + -(i ยท ๐ค))) |
39 | 35, 36, 38 | 3eqtr4d 2220 |
. . . . . . . . . 10
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ -๐ต = (-๐ง + (i ยท -๐ค))) |
40 | 31, 39 | breq12d 4017 |
. . . . . . . . 9
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ (-๐ด # -๐ต โ (-๐ฅ + (i ยท -๐ฆ)) # (-๐ง + (i ยท -๐ค)))) |
41 | | reapneg 8554 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ง โ โ) โ (๐ฅ # ๐ง โ -๐ฅ # -๐ง)) |
42 | 8, 11, 41 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ (๐ฅ # ๐ง โ -๐ฅ # -๐ง)) |
43 | | reapneg 8554 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ฆ โ โ โง ๐ค โ โ) โ (๐ฆ # ๐ค โ -๐ฆ # -๐ค)) |
44 | 9, 13, 43 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ (๐ฆ # ๐ค โ -๐ฆ # -๐ค)) |
45 | 42, 44 | orbi12d 793 |
. . . . . . . . 9
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ((๐ฅ # ๐ง โจ ๐ฆ # ๐ค) โ (-๐ฅ # -๐ง โจ -๐ฆ # -๐ค))) |
46 | 21, 40, 45 | 3bitr4rd 221 |
. . . . . . . 8
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ((๐ฅ # ๐ง โจ ๐ฆ # ๐ค) โ -๐ด # -๐ต)) |
47 | 7, 15, 46 | 3bitrd 214 |
. . . . . . 7
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ (๐ด # ๐ต โ -๐ด # -๐ต)) |
48 | 47 | ex 115 |
. . . . . 6
โข
(((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ) โง (๐ง โ
โ โง ๐ค โ
โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โ (๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ (๐ด # ๐ต โ -๐ด # -๐ต))) |
49 | 48 | rexlimdvva 2602 |
. . . . 5
โข ((((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โ (โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ (๐ด # ๐ต โ -๐ด # -๐ต))) |
50 | 4, 49 | mpd 13 |
. . . 4
โข ((((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โ (๐ด # ๐ต โ -๐ด # -๐ต)) |
51 | 50 | ex 115 |
. . 3
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โ (๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค)) โ (๐ด # ๐ต โ -๐ด # -๐ต))) |
52 | 51 | rexlimdvva 2602 |
. 2
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ
(โ๐ง โ โ
โ๐ค โ โ
๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค)) โ (๐ด # ๐ต โ -๐ด # -๐ต))) |
53 | 2, 52 | mpd 13 |
1
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด # ๐ต โ -๐ด # -๐ต)) |