ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  apneg GIF version

Theorem apneg 8568
Description: Negation respects apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
apneg ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” -๐ด # -๐ต))

Proof of Theorem apneg
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 7953 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)))
21adantl 277 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)))
3 cnre 7953 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
43ad3antrrr 492 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
5 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
6 simpllr 534 . . . . . . . . 9 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)))
75, 6breq12d 4017 . . . . . . . 8 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) # (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))))
8 simplrl 535 . . . . . . . . 9 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
9 simplrr 536 . . . . . . . . 9 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
10 simprl 529 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
1110ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
12 simprr 531 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„)
1312ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„)
14 apreim 8560 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) # (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†” (๐‘ฅ # ๐‘ง โˆจ ๐‘ฆ # ๐‘ค)))
158, 9, 11, 13, 14syl22anc 1239 . . . . . . . 8 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) # (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†” (๐‘ฅ # ๐‘ง โˆจ ๐‘ฆ # ๐‘ค)))
168renegcld 8337 . . . . . . . . . 10 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ -๐‘ฅ โˆˆ โ„)
179renegcld 8337 . . . . . . . . . 10 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ -๐‘ฆ โˆˆ โ„)
1811renegcld 8337 . . . . . . . . . 10 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ -๐‘ง โˆˆ โ„)
1913renegcld 8337 . . . . . . . . . 10 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ -๐‘ค โˆˆ โ„)
20 apreim 8560 . . . . . . . . . 10 (((-๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง (-๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ค โˆˆ โ„)) โ†’ ((-๐‘ฅ + (i ยท -๐‘ฆ)) # (-๐‘ง + (i ยท -๐‘ค)) โ†” (-๐‘ฅ # -๐‘ง โˆจ -๐‘ฆ # -๐‘ค)))
2116, 17, 18, 19, 20syl22anc 1239 . . . . . . . . 9 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((-๐‘ฅ + (i ยท -๐‘ฆ)) # (-๐‘ง + (i ยท -๐‘ค)) โ†” (-๐‘ฅ # -๐‘ง โˆจ -๐‘ฆ # -๐‘ค)))
228recnd 7986 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
23 ax-icn 7906 . . . . . . . . . . . . . 14 i โˆˆ โ„‚
2423a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
259recnd 7986 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
2624, 25mulcld 7978 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (i ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
2722, 26negdid 8281 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ -(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) = (-๐‘ฅ + -(i ยท ๐‘ฆ)))
285negeqd 8152 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ -๐ด = -(๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
2924, 25mulneg2d 8369 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (i ยท -๐‘ฆ) = -(i ยท ๐‘ฆ))
3029oveq2d 5891 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (-๐‘ฅ + (i ยท -๐‘ฆ)) = (-๐‘ฅ + -(i ยท ๐‘ฆ)))
3127, 28, 303eqtr4d 2220 . . . . . . . . . 10 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ -๐ด = (-๐‘ฅ + (i ยท -๐‘ฆ)))
3211recnd 7986 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
3313recnd 7986 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‚)
3424, 33mulcld 7978 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (i ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„‚)
3532, 34negdid 8281 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ -(๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) = (-๐‘ง + -(i ยท ๐‘ค)))
366negeqd 8152 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ -๐ต = -(๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)))
3724, 33mulneg2d 8369 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (i ยท -๐‘ค) = -(i ยท ๐‘ค))
3837oveq2d 5891 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (-๐‘ง + (i ยท -๐‘ค)) = (-๐‘ง + -(i ยท ๐‘ค)))
3935, 36, 383eqtr4d 2220 . . . . . . . . . 10 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ -๐ต = (-๐‘ง + (i ยท -๐‘ค)))
4031, 39breq12d 4017 . . . . . . . . 9 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (-๐ด # -๐ต โ†” (-๐‘ฅ + (i ยท -๐‘ฆ)) # (-๐‘ง + (i ยท -๐‘ค))))
41 reapneg 8554 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ # ๐‘ง โ†” -๐‘ฅ # -๐‘ง))
428, 11, 41syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ฅ # ๐‘ง โ†” -๐‘ฅ # -๐‘ง))
43 reapneg 8554 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ # ๐‘ค โ†” -๐‘ฆ # -๐‘ค))
449, 13, 43syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ฆ # ๐‘ค โ†” -๐‘ฆ # -๐‘ค))
4542, 44orbi12d 793 . . . . . . . . 9 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ฅ # ๐‘ง โˆจ ๐‘ฆ # ๐‘ค) โ†” (-๐‘ฅ # -๐‘ง โˆจ -๐‘ฆ # -๐‘ค)))
4621, 40, 453bitr4rd 221 . . . . . . . 8 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ฅ # ๐‘ง โˆจ ๐‘ฆ # ๐‘ค) โ†” -๐ด # -๐ต))
477, 15, 463bitrd 214 . . . . . . 7 ((((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โˆง ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” -๐ด # -๐ต))
4847ex 115 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” -๐ด # -๐ต)))
4948rexlimdvva 2602 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” -๐ด # -๐ต)))
504, 49mpd 13 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โˆง ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค))) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” -๐ด # -๐ต))
5150ex 115 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” -๐ด # -๐ต)))
5251rexlimdvva 2602 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ ๐ต = (๐‘ง + (i ยท ๐‘ค)) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” -๐ด # -๐ต)))
532, 52mpd 13 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” -๐ด # -๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809  โ„cr 7810  ici 7813   + caddc 7814   ยท cmul 7816  -cneg 8129   # cap 8538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539
This theorem is referenced by:  mulext1  8569  negap0  8587  div2subap  8794  cjap  10915  geosergap  11514
  Copyright terms: Public domain W3C validator