Theorem apadd1 8579

Description: Addition respects apartness. Analogue of addcan 8151 for apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
apadd1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) # (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem apadd1

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 7967	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑢 ∈ ℝ ∃𝑣 ∈ ℝ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣)))
2	1	3ad2ant3 1021	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑢 ∈ ℝ ∃𝑣 ∈ ℝ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣)))
3		cnre 7967	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
4	3	3ad2ant2 1020	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
5	4	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
6		cnre 7967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
7	6	3ad2ant1 1019	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
8	7	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
9	8	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
10		simplrl 535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		simplrr 536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ)
12		simprl 529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
13	12	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑧 ∈ ℝ)
14		simprr 531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑤 ∈ ℝ)
15	14	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑤 ∈ ℝ)
16		apreim 8574	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 # 𝑧 ∨ 𝑦 # 𝑤)))
17	10, 11, 13, 15, 16	syl22anc 1249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 # 𝑧 ∨ 𝑦 # 𝑤)))
18		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
19		simpllr 534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
20	18, 19	breq12d 4028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤))))
21		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) → 𝑢 ∈ ℝ)
22	21	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑢 ∈ ℝ)
23	22	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑢 ∈ ℝ)
24	10, 23	readdcld 8001	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝑥 + 𝑢) ∈ ℝ)
25		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) → 𝑣 ∈ ℝ)
26	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑣 ∈ ℝ)
27	26	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑣 ∈ ℝ)
28	11, 27	readdcld 8001	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝑦 + 𝑣) ∈ ℝ)
29	13, 23	readdcld 8001	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝑧 + 𝑢) ∈ ℝ)
30	15, 27	readdcld 8001	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝑤 + 𝑣) ∈ ℝ)
31		apreim 8574	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 + 𝑢) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 𝑣) ∈ ℝ) ∧ ((𝑧 + 𝑢) ∈ ℝ ∧ (𝑤 + 𝑣) ∈ ℝ)) → (((𝑥 + 𝑢) + (i · (𝑦 + 𝑣))) # ((𝑧 + 𝑢) + (i · (𝑤 + 𝑣))) ↔ ((𝑥 + 𝑢) # (𝑧 + 𝑢) ∨ (𝑦 + 𝑣) # (𝑤 + 𝑣))))
32	24, 28, 29, 30, 31	syl22anc 1249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (((𝑥 + 𝑢) + (i · (𝑦 + 𝑣))) # ((𝑧 + 𝑢) + (i · (𝑤 + 𝑣))) ↔ ((𝑥 + 𝑢) # (𝑧 + 𝑢) ∨ (𝑦 + 𝑣) # (𝑤 + 𝑣))))
33	10	recnd 8000	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℂ)
34		ax-icn 7920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ i ∈ ℂ
35	34	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → i ∈ ℂ)
36	11	recnd 8000	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℂ)
37	35, 36	mulcld 7992	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
38	23	recnd 8000	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑢 ∈ ℂ)
39	27	recnd 8000	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑣 ∈ ℂ)
40	35, 39	mulcld 7992	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (i · 𝑣) ∈ ℂ)
41	33, 37, 38, 40	add4d 8140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (𝑢 + (i · 𝑣))) = ((𝑥 + 𝑢) + ((i · 𝑦) + (i · 𝑣))))
42		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣)))
43	42	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣)))
44	18, 43	oveq12d 5906	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 + 𝐶) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (𝑢 + (i · 𝑣))))
45	35, 36, 39	adddid 7996	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (i · (𝑦 + 𝑣)) = ((i · 𝑦) + (i · 𝑣)))
46	45	oveq2d 5904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝑥 + 𝑢) + (i · (𝑦 + 𝑣))) = ((𝑥 + 𝑢) + ((i · 𝑦) + (i · 𝑣))))
47	41, 44, 46	3eqtr4d 2230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 + 𝐶) = ((𝑥 + 𝑢) + (i · (𝑦 + 𝑣))))
48	13	recnd 8000	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑧 ∈ ℂ)
49	15	recnd 8000	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑤 ∈ ℂ)
50	35, 49	mulcld 7992	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (i · 𝑤) ∈ ℂ)
51	48, 50, 38, 40	add4d 8140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝑧 + (i · 𝑤)) + (𝑢 + (i · 𝑣))) = ((𝑧 + 𝑢) + ((i · 𝑤) + (i · 𝑣))))
52	19, 43	oveq12d 5906	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐵 + 𝐶) = ((𝑧 + (i · 𝑤)) + (𝑢 + (i · 𝑣))))
53	35, 49, 39	adddid 7996	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (i · (𝑤 + 𝑣)) = ((i · 𝑤) + (i · 𝑣)))
54	53	oveq2d 5904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝑧 + 𝑢) + (i · (𝑤 + 𝑣))) = ((𝑧 + 𝑢) + ((i · 𝑤) + (i · 𝑣))))
55	51, 52, 54	3eqtr4d 2230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐵 + 𝐶) = ((𝑧 + 𝑢) + (i · (𝑤 + 𝑣))))
56	47, 55	breq12d 4028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝐴 + 𝐶) # (𝐵 + 𝐶) ↔ ((𝑥 + 𝑢) + (i · (𝑦 + 𝑣))) # ((𝑧 + 𝑢) + (i · (𝑤 + 𝑣)))))
57		reapadd1 8567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → (𝑥 # 𝑧 ↔ (𝑥 + 𝑢) # (𝑧 + 𝑢)))
58	10, 13, 23, 57	syl3anc 1248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝑥 # 𝑧 ↔ (𝑥 + 𝑢) # (𝑧 + 𝑢)))
59		reapadd1 8567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑦 # 𝑤 ↔ (𝑦 + 𝑣) # (𝑤 + 𝑣)))
60	11, 15, 27, 59	syl3anc 1248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝑦 # 𝑤 ↔ (𝑦 + 𝑣) # (𝑤 + 𝑣)))
61	58, 60	orbi12d 794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝑥 # 𝑧 ∨ 𝑦 # 𝑤) ↔ ((𝑥 + 𝑢) # (𝑧 + 𝑢) ∨ (𝑦 + 𝑣) # (𝑤 + 𝑣))))
62	32, 56, 61	3bitr4d 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝐴 + 𝐶) # (𝐵 + 𝐶) ↔ (𝑥 # 𝑧 ∨ 𝑦 # 𝑤)))
63	17, 20, 62	3bitr4d 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) # (𝐵 + 𝐶)))
64	63	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) # (𝐵 + 𝐶))))
65	64	rexlimdvva 2612	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) # (𝐵 + 𝐶))))
66	9, 65	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) # (𝐵 + 𝐶)))
67	66	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) # (𝐵 + 𝐶))))
68	67	rexlimdvva 2612	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) # (𝐵 + 𝐶))))
69	5, 68	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) # (𝐵 + 𝐶)))
70	69	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) → (𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) # (𝐵 + 𝐶))))
71	70	rexlimdvva 2612	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∃𝑢 ∈ ℝ ∃𝑣 ∈ ℝ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) # (𝐵 + 𝐶))))
72	2, 71	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) # (𝐵 + 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∧ w3a 979   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  ∃wrex 2466   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  ℂcc 7823  ℝcr 7824  ici 7827   + caddc 7828   · cmul 7830   # cap 8552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-ltxr 8011  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553

This theorem is referenced by:  apadd2  8580  addext  8581  apsub1  8613  subap0  8614