Theorem apadd1 8568

Description: Addition respects apartness. Analogue of addcan 8140 for apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
apadd1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) # (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem apadd1

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 7956	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ∃𝑢 ∈ ℝ ∃𝑣 ∈ ℝ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣)))
2	1	3ad2ant3 1020	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑢 ∈ ℝ ∃𝑣 ∈ ℝ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣)))
3		cnre 7956	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
4	3	3ad2ant2 1019	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
5	4	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
6		cnre 7956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
7	6	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
8	7	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
9	8	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
10		simplrl 535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		simplrr 536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ)
12		simprl 529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
13	12	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑧 ∈ ℝ)
14		simprr 531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑤 ∈ ℝ)
15	14	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑤 ∈ ℝ)
16		apreim 8563	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 # 𝑧 ∨ 𝑦 # 𝑤)))
17	10, 11, 13, 15, 16	syl22anc 1239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 # 𝑧 ∨ 𝑦 # 𝑤)))
18		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
19		simpllr 534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
20	18, 19	breq12d 4018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤))))
21		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) → 𝑢 ∈ ℝ)
22	21	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑢 ∈ ℝ)
23	22	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑢 ∈ ℝ)
24	10, 23	readdcld 7990	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝑥 + 𝑢) ∈ ℝ)
25		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) → 𝑣 ∈ ℝ)
26	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑣 ∈ ℝ)
27	26	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑣 ∈ ℝ)
28	11, 27	readdcld 7990	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝑦 + 𝑣) ∈ ℝ)
29	13, 23	readdcld 7990	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝑧 + 𝑢) ∈ ℝ)
30	15, 27	readdcld 7990	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝑤 + 𝑣) ∈ ℝ)
31		apreim 8563	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 + 𝑢) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 𝑣) ∈ ℝ) ∧ ((𝑧 + 𝑢) ∈ ℝ ∧ (𝑤 + 𝑣) ∈ ℝ)) → (((𝑥 + 𝑢) + (i · (𝑦 + 𝑣))) # ((𝑧 + 𝑢) + (i · (𝑤 + 𝑣))) ↔ ((𝑥 + 𝑢) # (𝑧 + 𝑢) ∨ (𝑦 + 𝑣) # (𝑤 + 𝑣))))
32	24, 28, 29, 30, 31	syl22anc 1239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (((𝑥 + 𝑢) + (i · (𝑦 + 𝑣))) # ((𝑧 + 𝑢) + (i · (𝑤 + 𝑣))) ↔ ((𝑥 + 𝑢) # (𝑧 + 𝑢) ∨ (𝑦 + 𝑣) # (𝑤 + 𝑣))))
33	10	recnd 7989	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℂ)
34		ax-icn 7909	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ i ∈ ℂ
35	34	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → i ∈ ℂ)
36	11	recnd 7989	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℂ)
37	35, 36	mulcld 7981	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
38	23	recnd 7989	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑢 ∈ ℂ)
39	27	recnd 7989	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑣 ∈ ℂ)
40	35, 39	mulcld 7981	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (i · 𝑣) ∈ ℂ)
41	33, 37, 38, 40	add4d 8129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (𝑢 + (i · 𝑣))) = ((𝑥 + 𝑢) + ((i · 𝑦) + (i · 𝑣))))
42		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣)))
43	42	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣)))
44	18, 43	oveq12d 5896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 + 𝐶) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) + (𝑢 + (i · 𝑣))))
45	35, 36, 39	adddid 7985	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (i · (𝑦 + 𝑣)) = ((i · 𝑦) + (i · 𝑣)))
46	45	oveq2d 5894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝑥 + 𝑢) + (i · (𝑦 + 𝑣))) = ((𝑥 + 𝑢) + ((i · 𝑦) + (i · 𝑣))))
47	41, 44, 46	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 + 𝐶) = ((𝑥 + 𝑢) + (i · (𝑦 + 𝑣))))
48	13	recnd 7989	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑧 ∈ ℂ)
49	15	recnd 7989	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑤 ∈ ℂ)
50	35, 49	mulcld 7981	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (i · 𝑤) ∈ ℂ)
51	48, 50, 38, 40	add4d 8129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝑧 + (i · 𝑤)) + (𝑢 + (i · 𝑣))) = ((𝑧 + 𝑢) + ((i · 𝑤) + (i · 𝑣))))
52	19, 43	oveq12d 5896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐵 + 𝐶) = ((𝑧 + (i · 𝑤)) + (𝑢 + (i · 𝑣))))
53	35, 49, 39	adddid 7985	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (i · (𝑤 + 𝑣)) = ((i · 𝑤) + (i · 𝑣)))
54	53	oveq2d 5894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝑧 + 𝑢) + (i · (𝑤 + 𝑣))) = ((𝑧 + 𝑢) + ((i · 𝑤) + (i · 𝑣))))
55	51, 52, 54	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐵 + 𝐶) = ((𝑧 + 𝑢) + (i · (𝑤 + 𝑣))))
56	47, 55	breq12d 4018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝐴 + 𝐶) # (𝐵 + 𝐶) ↔ ((𝑥 + 𝑢) + (i · (𝑦 + 𝑣))) # ((𝑧 + 𝑢) + (i · (𝑤 + 𝑣)))))
57		reapadd1 8556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → (𝑥 # 𝑧 ↔ (𝑥 + 𝑢) # (𝑧 + 𝑢)))
58	10, 13, 23, 57	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝑥 # 𝑧 ↔ (𝑥 + 𝑢) # (𝑧 + 𝑢)))
59		reapadd1 8556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑦 # 𝑤 ↔ (𝑦 + 𝑣) # (𝑤 + 𝑣)))
60	11, 15, 27, 59	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝑦 # 𝑤 ↔ (𝑦 + 𝑣) # (𝑤 + 𝑣)))
61	58, 60	orbi12d 793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝑥 # 𝑧 ∨ 𝑦 # 𝑤) ↔ ((𝑥 + 𝑢) # (𝑧 + 𝑢) ∨ (𝑦 + 𝑣) # (𝑤 + 𝑣))))
62	32, 56, 61	3bitr4d 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝐴 + 𝐶) # (𝐵 + 𝐶) ↔ (𝑥 # 𝑧 ∨ 𝑦 # 𝑤)))
63	17, 20, 62	3bitr4d 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) # (𝐵 + 𝐶)))
64	63	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) # (𝐵 + 𝐶))))
65	64	rexlimdvva 2602	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) # (𝐵 + 𝐶))))
66	9, 65	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) # (𝐵 + 𝐶)))
67	66	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) # (𝐵 + 𝐶))))
68	67	rexlimdvva 2602	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) # (𝐵 + 𝐶))))
69	5, 68	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣))) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) # (𝐵 + 𝐶)))
70	69	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) → (𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) # (𝐵 + 𝐶))))
71	70	rexlimdvva 2602	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∃𝑢 ∈ ℝ ∃𝑣 ∈ ℝ 𝐶 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) # (𝐵 + 𝐶))))
72	2, 71	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) # (𝐵 + 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878  ℂcc 7812  ℝcr 7813  ici 7816   + caddc 7817   · cmul 7819   # cap 8541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-ltxr 8000  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542

This theorem is referenced by:  apadd2  8569  addext  8570  apsub1  8602  subap0  8603