Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cnre 7952 |
. . 3
โข (๐ถ โ โ โ
โ๐ข โ โ
โ๐ฃ โ โ
๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) |
2 | 1 | 3ad2ant3 1020 |
. 2
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ
โ๐ข โ โ
โ๐ฃ โ โ
๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) |
3 | | cnre 7952 |
. . . . . . 7
โข (๐ต โ โ โ
โ๐ง โ โ
โ๐ค โ โ
๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) |
4 | 3 | 3ad2ant2 1019 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ
โ๐ง โ โ
โ๐ค โ โ
๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) |
5 | 4 | ad2antrr 488 |
. . . . 5
โข ((((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โง (๐ข โ โ โง ๐ฃ โ โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โ โ๐ง โ โ โ๐ค โ โ ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) |
6 | | cnre 7952 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ด โ โ โ
โ๐ฅ โ โ
โ๐ฆ โ โ
๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) |
7 | 6 | 3ad2ant1 1018 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ
โ๐ฅ โ โ
โ๐ฆ โ โ
๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) |
8 | 7 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โง (๐ข โ โ โง ๐ฃ โ โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โ โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) |
9 | 8 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . 8
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โ โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) |
10 | | simplrl 535 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ๐ฅ โ โ) |
11 | | simplrr 536 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ๐ฆ โ โ) |
12 | | simprl 529 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
(((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โ ๐ง โ โ) |
13 | 12 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ๐ง โ โ) |
14 | | simprr 531 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
(((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โ ๐ค โ โ) |
15 | 14 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ๐ค โ โ) |
16 | | apreim 8559 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โ ((๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) # (๐ง + (i ยท ๐ค)) โ (๐ฅ # ๐ง โจ ๐ฆ # ๐ค))) |
17 | 10, 11, 13, 15, 16 | syl22anc 1239 |
. . . . . . . . . . 11
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ((๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) # (๐ง + (i ยท ๐ค)) โ (๐ฅ # ๐ง โจ ๐ฆ # ๐ค))) |
18 | | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) |
19 | | simpllr 534 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) |
20 | 18, 19 | breq12d 4016 |
. . . . . . . . . . 11
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ (๐ด # ๐ต โ (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) # (๐ง + (i ยท ๐ค)))) |
21 | | simprl 529 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โง (๐ข โ โ โง ๐ฃ โ โ)) โ ๐ข โ
โ) |
22 | 21 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
(((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โ ๐ข โ โ) |
23 | 22 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ๐ข โ โ) |
24 | 10, 23 | readdcld 7986 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ (๐ฅ + ๐ข) โ โ) |
25 | | simprr 531 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โง (๐ข โ โ โง ๐ฃ โ โ)) โ ๐ฃ โ
โ) |
26 | 25 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
(((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โ ๐ฃ โ โ) |
27 | 26 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ๐ฃ โ โ) |
28 | 11, 27 | readdcld 7986 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ (๐ฆ + ๐ฃ) โ โ) |
29 | 13, 23 | readdcld 7986 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ (๐ง + ๐ข) โ โ) |
30 | 15, 27 | readdcld 7986 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ (๐ค + ๐ฃ) โ โ) |
31 | | apreim 8559 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((((๐ฅ + ๐ข) โ โ โง (๐ฆ + ๐ฃ) โ โ) โง ((๐ง + ๐ข) โ โ โง (๐ค + ๐ฃ) โ โ)) โ (((๐ฅ + ๐ข) + (i ยท (๐ฆ + ๐ฃ))) # ((๐ง + ๐ข) + (i ยท (๐ค + ๐ฃ))) โ ((๐ฅ + ๐ข) # (๐ง + ๐ข) โจ (๐ฆ + ๐ฃ) # (๐ค + ๐ฃ)))) |
32 | 24, 28, 29, 30, 31 | syl22anc 1239 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ (((๐ฅ + ๐ข) + (i ยท (๐ฆ + ๐ฃ))) # ((๐ง + ๐ข) + (i ยท (๐ค + ๐ฃ))) โ ((๐ฅ + ๐ข) # (๐ง + ๐ข) โจ (๐ฆ + ๐ฃ) # (๐ค + ๐ฃ)))) |
33 | 10 | recnd 7985 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ๐ฅ โ โ) |
34 | | ax-icn 7905 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข i โ
โ |
35 | 34 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ i โ โ) |
36 | 11 | recnd 7985 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ๐ฆ โ โ) |
37 | 35, 36 | mulcld 7977 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ (i ยท ๐ฆ) โ โ) |
38 | 23 | recnd 7985 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ๐ข โ โ) |
39 | 27 | recnd 7985 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ๐ฃ โ โ) |
40 | 35, 39 | mulcld 7977 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ (i ยท ๐ฃ) โ โ) |
41 | 33, 37, 38, 40 | add4d 8125 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ((๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) + (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) = ((๐ฅ + ๐ข) + ((i ยท ๐ฆ) + (i ยท ๐ฃ)))) |
42 | | simplr 528 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข
(((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โ ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) |
43 | 42 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) |
44 | 18, 43 | oveq12d 5892 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ (๐ด + ๐ถ) = ((๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) + (๐ข + (i ยท ๐ฃ)))) |
45 | 35, 36, 39 | adddid 7981 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ (i ยท (๐ฆ + ๐ฃ)) = ((i ยท ๐ฆ) + (i ยท ๐ฃ))) |
46 | 45 | oveq2d 5890 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ((๐ฅ + ๐ข) + (i ยท (๐ฆ + ๐ฃ))) = ((๐ฅ + ๐ข) + ((i ยท ๐ฆ) + (i ยท ๐ฃ)))) |
47 | 41, 44, 46 | 3eqtr4d 2220 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ (๐ด + ๐ถ) = ((๐ฅ + ๐ข) + (i ยท (๐ฆ + ๐ฃ)))) |
48 | 13 | recnd 7985 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ๐ง โ โ) |
49 | 15 | recnd 7985 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ๐ค โ โ) |
50 | 35, 49 | mulcld 7977 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ (i ยท ๐ค) โ โ) |
51 | 48, 50, 38, 40 | add4d 8125 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ((๐ง + (i ยท ๐ค)) + (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) = ((๐ง + ๐ข) + ((i ยท ๐ค) + (i ยท ๐ฃ)))) |
52 | 19, 43 | oveq12d 5892 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ (๐ต + ๐ถ) = ((๐ง + (i ยท ๐ค)) + (๐ข + (i ยท ๐ฃ)))) |
53 | 35, 49, 39 | adddid 7981 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ (i ยท (๐ค + ๐ฃ)) = ((i ยท ๐ค) + (i ยท ๐ฃ))) |
54 | 53 | oveq2d 5890 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ((๐ง + ๐ข) + (i ยท (๐ค + ๐ฃ))) = ((๐ง + ๐ข) + ((i ยท ๐ค) + (i ยท ๐ฃ)))) |
55 | 51, 52, 54 | 3eqtr4d 2220 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ (๐ต + ๐ถ) = ((๐ง + ๐ข) + (i ยท (๐ค + ๐ฃ)))) |
56 | 47, 55 | breq12d 4016 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ((๐ด + ๐ถ) # (๐ต + ๐ถ) โ ((๐ฅ + ๐ข) + (i ยท (๐ฆ + ๐ฃ))) # ((๐ง + ๐ข) + (i ยท (๐ค + ๐ฃ))))) |
57 | | reapadd1 8552 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ง โ โ โง ๐ข โ โ) โ (๐ฅ # ๐ง โ (๐ฅ + ๐ข) # (๐ง + ๐ข))) |
58 | 10, 13, 23, 57 | syl3anc 1238 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ (๐ฅ # ๐ง โ (๐ฅ + ๐ข) # (๐ง + ๐ข))) |
59 | | reapadd1 8552 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ฆ โ โ โง ๐ค โ โ โง ๐ฃ โ โ) โ (๐ฆ # ๐ค โ (๐ฆ + ๐ฃ) # (๐ค + ๐ฃ))) |
60 | 11, 15, 27, 59 | syl3anc 1238 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ (๐ฆ # ๐ค โ (๐ฆ + ๐ฃ) # (๐ค + ๐ฃ))) |
61 | 58, 60 | orbi12d 793 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ((๐ฅ # ๐ง โจ ๐ฆ # ๐ค) โ ((๐ฅ + ๐ข) # (๐ง + ๐ข) โจ (๐ฆ + ๐ฃ) # (๐ค + ๐ฃ)))) |
62 | 32, 56, 61 | 3bitr4d 220 |
. . . . . . . . . . 11
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ ((๐ด + ๐ถ) # (๐ต + ๐ถ) โ (๐ฅ # ๐ง โจ ๐ฆ # ๐ค))) |
63 | 17, 20, 62 | 3bitr4d 220 |
. . . . . . . . . 10
โข
((((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โง ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) โ (๐ด # ๐ต โ (๐ด + ๐ถ) # (๐ต + ๐ถ))) |
64 | 63 | ex 115 |
. . . . . . . . 9
โข
(((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โง (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ)) โ (๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ (๐ด # ๐ต โ (๐ด + ๐ถ) # (๐ต + ๐ถ)))) |
65 | 64 | rexlimdvva 2602 |
. . . . . . . 8
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โ (โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ โ ๐ด = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)) โ (๐ด # ๐ต โ (๐ด + ๐ถ) # (๐ต + ๐ถ)))) |
66 | 9, 65 | mpd 13 |
. . . . . . 7
โข
((((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โง ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค))) โ (๐ด # ๐ต โ (๐ด + ๐ถ) # (๐ต + ๐ถ))) |
67 | 66 | ex 115 |
. . . . . 6
โข
(((((๐ด โ
โ โง ๐ต โ
โ โง ๐ถ โ
โ) โง (๐ข โ
โ โง ๐ฃ โ
โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โง (๐ง โ โ โง ๐ค โ โ)) โ (๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค)) โ (๐ด # ๐ต โ (๐ด + ๐ถ) # (๐ต + ๐ถ)))) |
68 | 67 | rexlimdvva 2602 |
. . . . 5
โข ((((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โง (๐ข โ โ โง ๐ฃ โ โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โ (โ๐ง โ โ โ๐ค โ โ ๐ต = (๐ง + (i ยท ๐ค)) โ (๐ด # ๐ต โ (๐ด + ๐ถ) # (๐ต + ๐ถ)))) |
69 | 5, 68 | mpd 13 |
. . . 4
โข ((((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โง (๐ข โ โ โง ๐ฃ โ โ)) โง ๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ))) โ (๐ด # ๐ต โ (๐ด + ๐ถ) # (๐ต + ๐ถ))) |
70 | 69 | ex 115 |
. . 3
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โง (๐ข โ โ โง ๐ฃ โ โ)) โ (๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ)) โ (๐ด # ๐ต โ (๐ด + ๐ถ) # (๐ต + ๐ถ)))) |
71 | 70 | rexlimdvva 2602 |
. 2
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ
(โ๐ข โ โ
โ๐ฃ โ โ
๐ถ = (๐ข + (i ยท ๐ฃ)) โ (๐ด # ๐ต โ (๐ด + ๐ถ) # (๐ต + ๐ถ)))) |
72 | 2, 71 | mpd 13 |
1
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด # ๐ต โ (๐ด + ๐ถ) # (๐ต + ๐ถ))) |