Theorem abs00ap 11685

Description: The absolute value of a number is apart from zero iff the number is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
abs00ap	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ 𝐴 # 0))

Proof of Theorem abs00ap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absval2 11680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
2	1	breq1d 4103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) # 0))
3		sqrt0 11627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘0) = 0
4	3	breq2i 4101	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) # (√‘0) ↔ (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) # 0)
5	2, 4	bitr4di 198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) # (√‘0)))
6		recl 11476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
7	6	resqcld 11007	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
8		imcl 11477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	resqcld 11007	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
10	7, 9	readdcld 8251	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ)
11	6	sqge0d 11008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((ℜ‘𝐴)↑2))
12	8	sqge0d 11008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((ℑ‘𝐴)↑2))
13	7, 9, 11, 12	addge0d 8744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
14		0red 8223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℝ)
15	14	leidd 8736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ 0)
16		sqrt11ap 11661	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0)) → ((√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) # (√‘0) ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # 0))
17	10, 13, 14, 15, 16	syl22anc 1275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) # (√‘0) ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # 0))
18	5, 17	bitrd 188	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # 0))
19		00id 8362	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 0) = 0
20	19	breq2i 4101	. . . . . . 7 ⊢ ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # (0 + 0) ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # 0)
21	18, 20	bitr4di 198	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # (0 + 0)))
22	7	recnd 8250	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
23	9	recnd 8250	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
24		0cnd 8215	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
25		addext 8832	. . . . . . 7 ⊢ (((((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ)) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # (0 + 0) → (((ℜ‘𝐴)↑2) # 0 ∨ ((ℑ‘𝐴)↑2) # 0)))
26	22, 23, 24, 24, 25	syl22anc 1275	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # (0 + 0) → (((ℜ‘𝐴)↑2) # 0 ∨ ((ℑ‘𝐴)↑2) # 0)))
27	21, 26	sylbid 150	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 → (((ℜ‘𝐴)↑2) # 0 ∨ ((ℑ‘𝐴)↑2) # 0)))
28	6	recnd 8250	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
29		2nn 9347	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
30		expap0 10877	. . . . . . 7 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ) → (((ℜ‘𝐴)↑2) # 0 ↔ (ℜ‘𝐴) # 0))
31	28, 29, 30	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴)↑2) # 0 ↔ (ℜ‘𝐴) # 0))
32	8	recnd 8250	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
33		expap0 10877	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ) → (((ℑ‘𝐴)↑2) # 0 ↔ (ℑ‘𝐴) # 0))
34	32, 29, 33	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℑ‘𝐴)↑2) # 0 ↔ (ℑ‘𝐴) # 0))
35	31, 34	orbi12d 801	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((ℜ‘𝐴)↑2) # 0 ∨ ((ℑ‘𝐴)↑2) # 0) ↔ ((ℜ‘𝐴) # 0 ∨ (ℑ‘𝐴) # 0)))
36	27, 35	sylibd 149	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 → ((ℜ‘𝐴) # 0 ∨ (ℑ‘𝐴) # 0)))
37		crap0 9180	. . . . 5 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (((ℜ‘𝐴) # 0 ∨ (ℑ‘𝐴) # 0) ↔ ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) # 0))
38	6, 8, 37	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) # 0 ∨ (ℑ‘𝐴) # 0) ↔ ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) # 0))
39	36, 38	sylibd 149	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) # 0))
40		replim 11482	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
41	40	breq1d 4103	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 # 0 ↔ ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) # 0))
42	39, 41	sylibrd 169	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 → 𝐴 # 0))
43		absrpclap 11684	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
44	43	rpap0d 9981	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (abs‘𝐴) # 0)
45	44	ex 115	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 # 0 → (abs‘𝐴) # 0))
46	42, 45	impbid 129	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ 𝐴 # 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℂcc 8073  ℝcr 8074  0cc0 8075  ici 8077   + caddc 8078   · cmul 8080   ≤ cle 8257   # cap 8803  ℕcn 9185  2c2 9236  ↑cexp 10846  ℜcre 11463  ℑcim 11464  √csqrt 11619  abscabs 11620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-rp 9933  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622

This theorem is referenced by:  abs00  11687  absexpzap  11703  ltabs  11710  recvalap  11720  absgt0ap  11722  georeclim  12137  geoisumr  12142  cnopnap  15405  ltlenmkv  16786