ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  abs00ap GIF version

Theorem abs00ap 11073
Description: The absolute value of a number is apart from zero iff the number is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
abs00ap (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) # 0 โ†” ๐ด # 0))

Proof of Theorem abs00ap
StepHypRef Expression
1 absval2 11068 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ด) = (โˆšโ€˜(((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2))))
21breq1d 4015 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) # 0 โ†” (โˆšโ€˜(((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2))) # 0))
3 sqrt0 11015 . . . . . . . . . 10 (โˆšโ€˜0) = 0
43breq2i 4013 . . . . . . . . 9 ((โˆšโ€˜(((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2))) # (โˆšโ€˜0) โ†” (โˆšโ€˜(((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2))) # 0)
52, 4bitr4di 198 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) # 0 โ†” (โˆšโ€˜(((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2))) # (โˆšโ€˜0)))
6 recl 10864 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
76resqcld 10682 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„)
8 imcl 10865 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
98resqcld 10682 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„)
107, 9readdcld 7989 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2)) โˆˆ โ„)
116sqge0d 10683 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค ((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2))
128sqge0d 10683 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2))
137, 9, 11, 12addge0d 8481 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2)))
14 0red 7960 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
1514leidd 8473 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค 0)
16 sqrt11ap 11049 . . . . . . . . 9 ((((((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2))) โˆง (0 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 0)) โ†’ ((โˆšโ€˜(((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2))) # (โˆšโ€˜0) โ†” (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2)) # 0))
1710, 13, 14, 15, 16syl22anc 1239 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โˆšโ€˜(((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2))) # (โˆšโ€˜0) โ†” (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2)) # 0))
185, 17bitrd 188 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) # 0 โ†” (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2)) # 0))
19 00id 8100 . . . . . . . 8 (0 + 0) = 0
2019breq2i 4013 . . . . . . 7 ((((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2)) # (0 + 0) โ†” (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2)) # 0)
2118, 20bitr4di 198 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) # 0 โ†” (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2)) # (0 + 0)))
227recnd 7988 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
239recnd 7988 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
24 0cnd 7952 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
25 addext 8569 . . . . . . 7 (((((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„‚) โˆง (0 โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2)) # (0 + 0) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) # 0 โˆจ ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2) # 0)))
2622, 23, 24, 24, 25syl22anc 1239 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2)) # (0 + 0) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) # 0 โˆจ ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2) # 0)))
2721, 26sylbid 150 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) # 0 โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) # 0 โˆจ ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2) # 0)))
286recnd 7988 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
29 2nn 9082 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„•
30 expap0 10552 . . . . . . 7 (((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) # 0 โ†” (โ„œโ€˜๐ด) # 0))
3128, 29, 30sylancl 413 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) # 0 โ†” (โ„œโ€˜๐ด) # 0))
328recnd 7988 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
33 expap0 10552 . . . . . . 7 (((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2) # 0 โ†” (โ„‘โ€˜๐ด) # 0))
3432, 29, 33sylancl 413 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2) # 0 โ†” (โ„‘โ€˜๐ด) # 0))
3531, 34orbi12d 793 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) # 0 โˆจ ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2) # 0) โ†” ((โ„œโ€˜๐ด) # 0 โˆจ (โ„‘โ€˜๐ด) # 0)))
3627, 35sylibd 149 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) # 0 โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) # 0 โˆจ (โ„‘โ€˜๐ด) # 0)))
37 crap0 8917 . . . . 5 (((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) # 0 โˆจ (โ„‘โ€˜๐ด) # 0) โ†” ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) # 0))
386, 8, 37syl2anc 411 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) # 0 โˆจ (โ„‘โ€˜๐ด) # 0) โ†” ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) # 0))
3936, 38sylibd 149 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) # 0 โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) # 0))
40 replim 10870 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
4140breq1d 4015 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด # 0 โ†” ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) # 0))
4239, 41sylibrd 169 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) # 0 โ†’ ๐ด # 0))
43 absrpclap 11072 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
4443rpap0d 9704 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โ†’ (absโ€˜๐ด) # 0)
4544ex 115 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด # 0 โ†’ (absโ€˜๐ด) # 0))
4642, 45impbid 129 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) # 0 โ†” ๐ด # 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4005  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  โ„‚cc 7811  โ„cr 7812  0cc0 7813  ici 7815   + caddc 7816   ยท cmul 7818   โ‰ค cle 7995   # cap 8540  โ„•cn 8921  2c2 8972  โ†‘cexp 10521  โ„œcre 10851  โ„‘cim 10852  โˆšcsqrt 11007  abscabs 11008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010
This theorem is referenced by:  abs00  11075  absexpzap  11091  ltabs  11098  recvalap  11108  absgt0ap  11110  georeclim  11523  geoisumr  11528  cnopnap  14133  ltlenmkv  14857
  Copyright terms: Public domain W3C validator