ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  abs00ap GIF version

Theorem abs00ap 11070
Description: The absolute value of a number is apart from zero iff the number is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
abs00ap (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) # 0 โ†” ๐ด # 0))

Proof of Theorem abs00ap
StepHypRef Expression
1 absval2 11065 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ด) = (โˆšโ€˜(((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2))))
21breq1d 4013 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) # 0 โ†” (โˆšโ€˜(((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2))) # 0))
3 sqrt0 11012 . . . . . . . . . 10 (โˆšโ€˜0) = 0
43breq2i 4011 . . . . . . . . 9 ((โˆšโ€˜(((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2))) # (โˆšโ€˜0) โ†” (โˆšโ€˜(((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2))) # 0)
52, 4bitr4di 198 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) # 0 โ†” (โˆšโ€˜(((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2))) # (โˆšโ€˜0)))
6 recl 10861 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
76resqcld 10679 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„)
8 imcl 10862 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
98resqcld 10679 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„)
107, 9readdcld 7986 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2)) โˆˆ โ„)
116sqge0d 10680 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค ((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2))
128sqge0d 10680 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2))
137, 9, 11, 12addge0d 8478 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2)))
14 0red 7957 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
1514leidd 8470 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค 0)
16 sqrt11ap 11046 . . . . . . . . 9 ((((((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2))) โˆง (0 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 0)) โ†’ ((โˆšโ€˜(((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2))) # (โˆšโ€˜0) โ†” (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2)) # 0))
1710, 13, 14, 15, 16syl22anc 1239 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โˆšโ€˜(((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2))) # (โˆšโ€˜0) โ†” (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2)) # 0))
185, 17bitrd 188 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) # 0 โ†” (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2)) # 0))
19 00id 8097 . . . . . . . 8 (0 + 0) = 0
2019breq2i 4011 . . . . . . 7 ((((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2)) # (0 + 0) โ†” (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2)) # 0)
2118, 20bitr4di 198 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) # 0 โ†” (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2)) # (0 + 0)))
227recnd 7985 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
239recnd 7985 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
24 0cnd 7949 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
25 addext 8566 . . . . . . 7 (((((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„‚) โˆง (0 โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2)) # (0 + 0) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) # 0 โˆจ ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2) # 0)))
2622, 23, 24, 24, 25syl22anc 1239 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) + ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2)) # (0 + 0) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) # 0 โˆจ ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2) # 0)))
2721, 26sylbid 150 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) # 0 โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) # 0 โˆจ ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2) # 0)))
286recnd 7985 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
29 2nn 9079 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„•
30 expap0 10549 . . . . . . 7 (((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) # 0 โ†” (โ„œโ€˜๐ด) # 0))
3128, 29, 30sylancl 413 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) # 0 โ†” (โ„œโ€˜๐ด) # 0))
328recnd 7985 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
33 expap0 10549 . . . . . . 7 (((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2) # 0 โ†” (โ„‘โ€˜๐ด) # 0))
3432, 29, 33sylancl 413 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2) # 0 โ†” (โ„‘โ€˜๐ด) # 0))
3531, 34orbi12d 793 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((โ„œโ€˜๐ด)โ†‘2) # 0 โˆจ ((โ„‘โ€˜๐ด)โ†‘2) # 0) โ†” ((โ„œโ€˜๐ด) # 0 โˆจ (โ„‘โ€˜๐ด) # 0)))
3627, 35sylibd 149 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) # 0 โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) # 0 โˆจ (โ„‘โ€˜๐ด) # 0)))
37 crap0 8914 . . . . 5 (((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) # 0 โˆจ (โ„‘โ€˜๐ด) # 0) โ†” ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) # 0))
386, 8, 37syl2anc 411 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) # 0 โˆจ (โ„‘โ€˜๐ด) # 0) โ†” ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) # 0))
3936, 38sylibd 149 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) # 0 โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) # 0))
40 replim 10867 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
4140breq1d 4013 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด # 0 โ†” ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) # 0))
4239, 41sylibrd 169 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) # 0 โ†’ ๐ด # 0))
43 absrpclap 11069 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
4443rpap0d 9701 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โ†’ (absโ€˜๐ด) # 0)
4544ex 115 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด # 0 โ†’ (absโ€˜๐ด) # 0))
4642, 45impbid 129 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) # 0 โ†” ๐ด # 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4003  โ€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  โ„‚cc 7808  โ„cr 7809  0cc0 7810  ici 7812   + caddc 7813   ยท cmul 7815   โ‰ค cle 7992   # cap 8537  โ„•cn 8918  2c2 8969  โ†‘cexp 10518  โ„œcre 10848  โ„‘cim 10849  โˆšcsqrt 11004  abscabs 11005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-rp 9653  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007
This theorem is referenced by:  abs00  11072  absexpzap  11088  ltabs  11095  recvalap  11105  absgt0ap  11107  georeclim  11520  geoisumr  11525  cnopnap  14064  ltlenmkv  14787
  Copyright terms: Public domain W3C validator