Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  abs00ap GIF version

Theorem abs00ap 10939
 Description: The absolute value of a number is apart from zero iff the number is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
abs00ap (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ 𝐴 # 0))

Proof of Theorem abs00ap
StepHypRef Expression
1 absval2 10934 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
21breq1d 3971 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) # 0))
3 sqrt0 10881 . . . . . . . . . 10 (√‘0) = 0
43breq2i 3969 . . . . . . . . 9 ((√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) # (√‘0) ↔ (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) # 0)
52, 4bitr4di 197 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) # (√‘0)))
6 recl 10730 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
76resqcld 10554 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
8 imcl 10731 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
98resqcld 10554 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
107, 9readdcld 7886 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ)
116sqge0d 10555 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((ℜ‘𝐴)↑2))
128sqge0d 10555 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((ℑ‘𝐴)↑2))
137, 9, 11, 12addge0d 8376 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
14 0red 7858 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℝ)
1514leidd 8368 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ 0)
16 sqrt11ap 10915 . . . . . . . . 9 ((((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0)) → ((√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) # (√‘0) ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # 0))
1710, 13, 14, 15, 16syl22anc 1218 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) # (√‘0) ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # 0))
185, 17bitrd 187 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # 0))
19 00id 7995 . . . . . . . 8 (0 + 0) = 0
2019breq2i 3969 . . . . . . 7 ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # (0 + 0) ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # 0)
2118, 20bitr4di 197 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # (0 + 0)))
227recnd 7885 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
239recnd 7885 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
24 0cnd 7850 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
25 addext 8464 . . . . . . 7 (((((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ)) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # (0 + 0) → (((ℜ‘𝐴)↑2) # 0 ∨ ((ℑ‘𝐴)↑2) # 0)))
2622, 23, 24, 24, 25syl22anc 1218 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # (0 + 0) → (((ℜ‘𝐴)↑2) # 0 ∨ ((ℑ‘𝐴)↑2) # 0)))
2721, 26sylbid 149 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 → (((ℜ‘𝐴)↑2) # 0 ∨ ((ℑ‘𝐴)↑2) # 0)))
286recnd 7885 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
29 2nn 8973 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
30 expap0 10427 . . . . . . 7 (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ) → (((ℜ‘𝐴)↑2) # 0 ↔ (ℜ‘𝐴) # 0))
3128, 29, 30sylancl 410 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴)↑2) # 0 ↔ (ℜ‘𝐴) # 0))
328recnd 7885 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
33 expap0 10427 . . . . . . 7 (((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ) → (((ℑ‘𝐴)↑2) # 0 ↔ (ℑ‘𝐴) # 0))
3432, 29, 33sylancl 410 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℑ‘𝐴)↑2) # 0 ↔ (ℑ‘𝐴) # 0))
3531, 34orbi12d 783 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((((ℜ‘𝐴)↑2) # 0 ∨ ((ℑ‘𝐴)↑2) # 0) ↔ ((ℜ‘𝐴) # 0 ∨ (ℑ‘𝐴) # 0)))
3627, 35sylibd 148 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 → ((ℜ‘𝐴) # 0 ∨ (ℑ‘𝐴) # 0)))
37 crap0 8808 . . . . 5 (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (((ℜ‘𝐴) # 0 ∨ (ℑ‘𝐴) # 0) ↔ ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) # 0))
386, 8, 37syl2anc 409 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) # 0 ∨ (ℑ‘𝐴) # 0) ↔ ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) # 0))
3936, 38sylibd 148 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) # 0))
40 replim 10736 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
4140breq1d 3971 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 # 0 ↔ ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) # 0))
4239, 41sylibrd 168 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 → 𝐴 # 0))
43 absrpclap 10938 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
4443rpap0d 9587 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (abs‘𝐴) # 0)
4544ex 114 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 # 0 → (abs‘𝐴) # 0))
4642, 45impbid 128 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∈ wcel 2125   class class class wbr 3961  ‘cfv 5163  (class class class)co 5814  ℂcc 7709  ℝcr 7710  0cc0 7711  ici 7713   + caddc 7714   · cmul 7716   ≤ cle 7892   # cap 8435  ℕcn 8812  2c2 8863  ↑cexp 10396  ℜcre 10717  ℑcim 10718  √csqrt 10873  abscabs 10874 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829  ax-arch 7830  ax-caucvg 7831 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-frec 6328  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-2 8871  df-3 8872  df-4 8873  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-rp 9539  df-seqfrec 10323  df-exp 10397  df-cj 10719  df-re 10720  df-im 10721  df-rsqrt 10875  df-abs 10876 This theorem is referenced by:  abs00  10941  absexpzap  10957  ltabs  10964  recvalap  10974  absgt0ap  10976  georeclim  11387  geoisumr  11392  cnopnap  12933
 Copyright terms: Public domain W3C validator