ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  abs00ap GIF version

Theorem abs00ap 11112
Description: The absolute value of a number is apart from zero iff the number is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
abs00ap (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ 𝐴 # 0))

Proof of Theorem abs00ap
StepHypRef Expression
1 absval2 11107 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
21breq1d 4031 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) # 0))
3 sqrt0 11054 . . . . . . . . . 10 (√‘0) = 0
43breq2i 4029 . . . . . . . . 9 ((√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) # (√‘0) ↔ (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) # 0)
52, 4bitr4di 198 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) # (√‘0)))
6 recl 10903 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
76resqcld 10720 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
8 imcl 10904 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
98resqcld 10720 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
107, 9readdcld 8022 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ)
116sqge0d 10721 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((ℜ‘𝐴)↑2))
128sqge0d 10721 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((ℑ‘𝐴)↑2))
137, 9, 11, 12addge0d 8514 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
14 0red 7993 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℝ)
1514leidd 8506 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ 0)
16 sqrt11ap 11088 . . . . . . . . 9 ((((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0)) → ((√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) # (√‘0) ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # 0))
1710, 13, 14, 15, 16syl22anc 1250 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) # (√‘0) ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # 0))
185, 17bitrd 188 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # 0))
19 00id 8133 . . . . . . . 8 (0 + 0) = 0
2019breq2i 4029 . . . . . . 7 ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # (0 + 0) ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # 0)
2118, 20bitr4di 198 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # (0 + 0)))
227recnd 8021 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
239recnd 8021 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
24 0cnd 7985 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
25 addext 8602 . . . . . . 7 (((((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ)) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # (0 + 0) → (((ℜ‘𝐴)↑2) # 0 ∨ ((ℑ‘𝐴)↑2) # 0)))
2622, 23, 24, 24, 25syl22anc 1250 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # (0 + 0) → (((ℜ‘𝐴)↑2) # 0 ∨ ((ℑ‘𝐴)↑2) # 0)))
2721, 26sylbid 150 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 → (((ℜ‘𝐴)↑2) # 0 ∨ ((ℑ‘𝐴)↑2) # 0)))
286recnd 8021 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
29 2nn 9115 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
30 expap0 10590 . . . . . . 7 (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ) → (((ℜ‘𝐴)↑2) # 0 ↔ (ℜ‘𝐴) # 0))
3128, 29, 30sylancl 413 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴)↑2) # 0 ↔ (ℜ‘𝐴) # 0))
328recnd 8021 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
33 expap0 10590 . . . . . . 7 (((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ) → (((ℑ‘𝐴)↑2) # 0 ↔ (ℑ‘𝐴) # 0))
3432, 29, 33sylancl 413 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℑ‘𝐴)↑2) # 0 ↔ (ℑ‘𝐴) # 0))
3531, 34orbi12d 794 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((((ℜ‘𝐴)↑2) # 0 ∨ ((ℑ‘𝐴)↑2) # 0) ↔ ((ℜ‘𝐴) # 0 ∨ (ℑ‘𝐴) # 0)))
3627, 35sylibd 149 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 → ((ℜ‘𝐴) # 0 ∨ (ℑ‘𝐴) # 0)))
37 crap0 8950 . . . . 5 (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (((ℜ‘𝐴) # 0 ∨ (ℑ‘𝐴) # 0) ↔ ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) # 0))
386, 8, 37syl2anc 411 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) # 0 ∨ (ℑ‘𝐴) # 0) ↔ ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) # 0))
3936, 38sylibd 149 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) # 0))
40 replim 10909 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
4140breq1d 4031 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 # 0 ↔ ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) # 0))
4239, 41sylibrd 169 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 → 𝐴 # 0))
43 absrpclap 11111 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
4443rpap0d 9738 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (abs‘𝐴) # 0)
4544ex 115 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 # 0 → (abs‘𝐴) # 0))
4642, 45impbid 129 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709  wcel 2160   class class class wbr 4021  cfv 5238  (class class class)co 5900  cc 7844  cr 7845  0cc0 7846  ici 7848   + caddc 7849   · cmul 7851  cle 8028   # cap 8573  cn 8954  2c2 9005  cexp 10559  cre 10890  cim 10891  csqrt 11046  abscabs 11047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-iinf 4608  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-mulrcl 7945  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-precex 7956  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962  ax-pre-mulgt0 7963  ax-pre-mulext 7964  ax-arch 7965  ax-caucvg 7966
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-tr 4120  df-id 4314  df-po 4317  df-iso 4318  df-iord 4387  df-on 4389  df-ilim 4390  df-suc 4392  df-iom 4611  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-recs 6334  df-frec 6420  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-reap 8567  df-ap 8574  df-div 8665  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-4 9015  df-n0 9212  df-z 9289  df-uz 9564  df-rp 9690  df-seqfrec 10485  df-exp 10560  df-cj 10892  df-re 10893  df-im 10894  df-rsqrt 11048  df-abs 11049
This theorem is referenced by:  abs00  11114  absexpzap  11130  ltabs  11137  recvalap  11147  absgt0ap  11149  georeclim  11562  geoisumr  11567  cnopnap  14579  ltlenmkv  15306
  Copyright terms: Public domain W3C validator