Theorem abs00ap 11026

Description: The absolute value of a number is apart from zero iff the number is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
abs00ap	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ 𝐴 # 0))

Proof of Theorem abs00ap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absval2 11021	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
2	1	breq1d 3999	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) # 0))
3		sqrt0 10968	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘0) = 0
4	3	breq2i 3997	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) # (√‘0) ↔ (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) # 0)
5	2, 4	bitr4di 197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) # (√‘0)))
6		recl 10817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
7	6	resqcld 10635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
8		imcl 10818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	resqcld 10635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
10	7, 9	readdcld 7949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ)
11	6	sqge0d 10636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((ℜ‘𝐴)↑2))
12	8	sqge0d 10636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((ℑ‘𝐴)↑2))
13	7, 9, 11, 12	addge0d 8441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
14		0red 7921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℝ)
15	14	leidd 8433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ 0)
16		sqrt11ap 11002	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0)) → ((√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) # (√‘0) ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # 0))
17	10, 13, 14, 15, 16	syl22anc 1234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))) # (√‘0) ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # 0))
18	5, 17	bitrd 187	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # 0))
19		00id 8060	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 0) = 0
20	19	breq2i 3997	. . . . . . 7 ⊢ ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # (0 + 0) ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # 0)
21	18, 20	bitr4di 197	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # (0 + 0)))
22	7	recnd 7948	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
23	9	recnd 7948	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
24		0cnd 7913	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
25		addext 8529	. . . . . . 7 ⊢ (((((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ)) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # (0 + 0) → (((ℜ‘𝐴)↑2) # 0 ∨ ((ℑ‘𝐴)↑2) # 0)))
26	22, 23, 24, 24, 25	syl22anc 1234	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) # (0 + 0) → (((ℜ‘𝐴)↑2) # 0 ∨ ((ℑ‘𝐴)↑2) # 0)))
27	21, 26	sylbid 149	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 → (((ℜ‘𝐴)↑2) # 0 ∨ ((ℑ‘𝐴)↑2) # 0)))
28	6	recnd 7948	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
29		2nn 9039	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
30		expap0 10506	. . . . . . 7 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ) → (((ℜ‘𝐴)↑2) # 0 ↔ (ℜ‘𝐴) # 0))
31	28, 29, 30	sylancl 411	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴)↑2) # 0 ↔ (ℜ‘𝐴) # 0))
32	8	recnd 7948	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
33		expap0 10506	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ) → (((ℑ‘𝐴)↑2) # 0 ↔ (ℑ‘𝐴) # 0))
34	32, 29, 33	sylancl 411	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℑ‘𝐴)↑2) # 0 ↔ (ℑ‘𝐴) # 0))
35	31, 34	orbi12d 788	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((ℜ‘𝐴)↑2) # 0 ∨ ((ℑ‘𝐴)↑2) # 0) ↔ ((ℜ‘𝐴) # 0 ∨ (ℑ‘𝐴) # 0)))
36	27, 35	sylibd 148	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 → ((ℜ‘𝐴) # 0 ∨ (ℑ‘𝐴) # 0)))
37		crap0 8874	. . . . 5 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (((ℜ‘𝐴) # 0 ∨ (ℑ‘𝐴) # 0) ↔ ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) # 0))
38	6, 8, 37	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) # 0 ∨ (ℑ‘𝐴) # 0) ↔ ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) # 0))
39	36, 38	sylibd 148	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) # 0))
40		replim 10823	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
41	40	breq1d 3999	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 # 0 ↔ ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) # 0))
42	39, 41	sylibrd 168	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 → 𝐴 # 0))
43		absrpclap 11025	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
44	43	rpap0d 9659	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (abs‘𝐴) # 0)
45	44	ex 114	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 # 0 → (abs‘𝐴) # 0))
46	42, 45	impbid 128	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) # 0 ↔ 𝐴 # 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 703   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773  0cc0 7774  ici 7776   + caddc 7777   · cmul 7779   ≤ cle 7955   # cap 8500  ℕcn 8878  2c2 8929  ↑cexp 10475  ℜcre 10804  ℑcim 10805  √csqrt 10960  abscabs 10961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963

This theorem is referenced by:  abs00  11028  absexpzap  11044  ltabs  11051  recvalap  11061  absgt0ap  11063  georeclim  11476  geoisumr  11481  cnopnap  13388