Theorem appdiv0nq 7789

Description: Approximate division for positive rationals. This can be thought of as a variation of appdivnq 7788 in which 𝐴 is zero, although it can be stated and proved in terms of positive rationals alone, without zero as such. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
appdiv0nq	⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → ∃𝑚 ∈ Q (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑚   𝐶,𝑚

Proof of Theorem appdiv0nq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsmallnqq 7637	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 <Q 𝐵)
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 <Q 𝐵)
3		appdivnq 7788	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) → ∃𝑚 ∈ Q (𝑥 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵))
4		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵) → (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)
5	4	reximi 2628	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ Q (𝑥 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵) → ∃𝑚 ∈ Q (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)
6	3, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) → ∃𝑚 ∈ Q (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)
7	6	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝑥 <Q 𝐵) → ∃𝑚 ∈ Q (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)
8	7	ad2ant2l 508	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 <Q 𝐵)) → ∃𝑚 ∈ Q (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)
9	2, 8	rexlimddv 2654	1 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → ∃𝑚 ∈ Q (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2201  ∃wrex 2510   class class class wbr 4089  (class class class)co 6023  Qcnq 7505   ·_Q cmq 7508   <_Q cltq 7510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-eprel 4388  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-irdg 6541  df-1o 6587  df-oadd 6591  df-omul 6592  df-er 6707  df-ec 6709  df-qs 6713  df-ni 7529  df-pli 7530  df-mi 7531  df-lti 7532  df-plpq 7569  df-mpq 7570  df-enq 7572  df-nqqs 7573  df-plqqs 7574  df-mqqs 7575  df-1nqqs 7576  df-rq 7577  df-ltnqqs 7578

This theorem is referenced by:  prmuloc  7791