ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  appdiv0nq GIF version

Theorem appdiv0nq 7565
Description: Approximate division for positive rationals. This can be thought of as a variation of appdivnq 7564 in which ๐ด is zero, although it can be stated and proved in terms of positive rationals alone, without zero as such. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
appdiv0nq ((๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ Q (๐‘š ยทQ ๐ถ) <Q ๐ต)
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘š   ๐ถ,๐‘š

Proof of Theorem appdiv0nq
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsmallnqq 7413 . . 3 (๐ต โˆˆ Q โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q ๐‘ฅ <Q ๐ต)
21adantr 276 . 2 ((๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q ๐‘ฅ <Q ๐ต)
3 appdivnq 7564 . . . . 5 ((๐‘ฅ <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ Q (๐‘ฅ <Q (๐‘š ยทQ ๐ถ) โˆง (๐‘š ยทQ ๐ถ) <Q ๐ต))
4 simpr 110 . . . . . 6 ((๐‘ฅ <Q (๐‘š ยทQ ๐ถ) โˆง (๐‘š ยทQ ๐ถ) <Q ๐ต) โ†’ (๐‘š ยทQ ๐ถ) <Q ๐ต)
54reximi 2574 . . . . 5 (โˆƒ๐‘š โˆˆ Q (๐‘ฅ <Q (๐‘š ยทQ ๐ถ) โˆง (๐‘š ยทQ ๐ถ) <Q ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ Q (๐‘š ยทQ ๐ถ) <Q ๐ต)
63, 5syl 14 . . . 4 ((๐‘ฅ <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ Q (๐‘š ยทQ ๐ถ) <Q ๐ต)
76ancoms 268 . . 3 ((๐ถ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ <Q ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ Q (๐‘š ยทQ ๐ถ) <Q ๐ต)
87ad2ant2l 508 . 2 (((๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ <Q ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ Q (๐‘š ยทQ ๐ถ) <Q ๐ต)
92, 8rexlimddv 2599 1 ((๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ Q (๐‘š ยทQ ๐ถ) <Q ๐ต)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877  Qcnq 7281   ยทQ cmq 7284   <Q cltq 7286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-pli 7306  df-mi 7307  df-lti 7308  df-plpq 7345  df-mpq 7346  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-plqqs 7350  df-mqqs 7351  df-1nqqs 7352  df-rq 7353  df-ltnqqs 7354
This theorem is referenced by:  prmuloc  7567
  Copyright terms: Public domain W3C validator