Theorem appdiv0nq 7496

Description: Approximate division for positive rationals. This can be thought of as a variation of appdivnq 7495 in which 𝐴 is zero, although it can be stated and proved in terms of positive rationals alone, without zero as such. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
appdiv0nq	⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → ∃𝑚 ∈ Q (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑚   𝐶,𝑚

Proof of Theorem appdiv0nq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsmallnqq 7344	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 <Q 𝐵)
2	1	adantr 274	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 <Q 𝐵)
3		appdivnq 7495	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) → ∃𝑚 ∈ Q (𝑥 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵))
4		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵) → (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)
5	4	reximi 2561	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚 ∈ Q (𝑥 <Q (𝑚 ·Q 𝐶) ∧ (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵) → ∃𝑚 ∈ Q (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)
6	3, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑥 <Q 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ Q) → ∃𝑚 ∈ Q (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)
7	6	ancoms 266	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝑥 <Q 𝐵) → ∃𝑚 ∈ Q (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)
8	7	ad2ant2l 500	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 <Q 𝐵)) → ∃𝑚 ∈ Q (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)
9	2, 8	rexlimddv 2586	1 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → ∃𝑚 ∈ Q (𝑚 ·Q 𝐶) <Q 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2135  ∃wrex 2443   class class class wbr 3976  (class class class)co 5836  Qcnq 7212   ·_Q cmq 7215   <_Q cltq 7217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-eprel 4261  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-iord 4338  df-on 4340  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-irdg 6329  df-1o 6375  df-oadd 6379  df-omul 6380  df-er 6492  df-ec 6494  df-qs 6498  df-ni 7236  df-pli 7237  df-mi 7238  df-lti 7239  df-plpq 7276  df-mpq 7277  df-enq 7279  df-nqqs 7280  df-plqqs 7281  df-mqqs 7282  df-1nqqs 7283  df-rq 7284  df-ltnqqs 7285

This theorem is referenced by:  prmuloc  7498