Theorem cru 8364

Description: The representation of complex numbers in terms of real and imaginary parts is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cru	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))

Proof of Theorem cru

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplrl 524	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℝ)
2	1	recnd 7794	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℂ)
3		simplll 522	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	recnd 7794	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))
6		ax-icn 7715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
7	6	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → i ∈ ℂ)
8		simpllr 523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	recnd 7794	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	7, 9	mulcld 7786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
11		simplrr 525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℝ)
12	11	recnd 7794	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℂ)
13	7, 12	mulcld 7786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (i · 𝐷) ∈ ℂ)
14	4, 10, 2, 13	addsubeq4d 8124	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ (𝐶 − 𝐴) = ((i · 𝐵) − (i · 𝐷))))
15	5, 14	mpbid 146	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (𝐶 − 𝐴) = ((i · 𝐵) − (i · 𝐷)))
16	8, 11	resubcld 8143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℝ)
17	7, 9, 12	subdid 8176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (i · (𝐵 − 𝐷)) = ((i · 𝐵) − (i · 𝐷)))
18	17, 15	eqtr4d 2175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (i · (𝐵 − 𝐷)) = (𝐶 − 𝐴))
19	1, 3	resubcld 8143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℝ)
20	18, 19	eqeltrd 2216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (i · (𝐵 − 𝐷)) ∈ ℝ)
21		rimul 8347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 − 𝐷) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐵 − 𝐷)) ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐷) = 0)
22	16, 20, 21	syl2anc 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (𝐵 − 𝐷) = 0)
23	9, 12, 22	subeq0d 8081	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐵 = 𝐷)
24	23	oveq2d 5790	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (i · 𝐵) = (i · 𝐷))
25	24	oveq1d 5789	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → ((i · 𝐵) − (i · 𝐷)) = ((i · 𝐷) − (i · 𝐷)))
26	13	subidd 8061	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → ((i · 𝐷) − (i · 𝐷)) = 0)
27	15, 25, 26	3eqtrd 2176	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (𝐶 − 𝐴) = 0)
28	2, 4, 27	subeq0d 8081	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐶 = 𝐴)
29	28	eqcomd 2145	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐴 = 𝐶)
30	29, 23	jca 304	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
31	30	ex 114	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
32		oveq2 5782	. . 3 ⊢ (𝐵 = 𝐷 → (i · 𝐵) = (i · 𝐷))
33		oveq12 5783	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ (i · 𝐵) = (i · 𝐷)) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))
34	32, 33	sylan2 284	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))
35	31, 34	impbid1 141	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  ℝcr 7619  0cc0 7620  ici 7622   + caddc 7623   · cmul 7625   − cmin 7933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-ltxr 7805  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337

This theorem is referenced by:  apreim  8365  apti  8384  creur  8717  creui  8718  cnref1o  9440  efieq  11442