Theorem btwnzge0 10295

Description: A real bounded between an integer and its successor is nonnegative iff the integer is nonnegative. Second half of Lemma 13-4.1 of [Gleason] p. 217. (Contributed by NM, 12-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
btwnzge0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem btwnzge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 7955	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
2		simplll 533	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	3	zred 9371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
5	4	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
6		1red 7969	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
7	5, 6	readdcld 7983	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
8		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
9		simplrr 536	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 < (𝑁 + 1))
10	1, 2, 7, 8, 9	lelttrd 8078	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 < (𝑁 + 1))
11		0z 9260	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
12		zleltp1 9304	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
13	11, 12	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
14	13	ad3antlr 493	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
15	10, 14	mpbird 167	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝑁)
16		0red 7955	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
17	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
18		simplll 533	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
19		simpr 110	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
20		simplrl 535	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 ≤ 𝐴)
21	16, 17, 18, 19, 20	letrd 8077	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝐴)
22	15, 21	impbida 596	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4002  (class class class)co 5872  ℝcr 7807  0cc0 7808  1c1 7809   + caddc 7811   < clt 7988   ≤ cle 7989  ℤcz 9249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-ltadd 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-inn 8916  df-n0 9173  df-z 9250

This theorem is referenced by:  2tnp1ge0ge0  10296