Theorem btwnzge0 10407

Description: A real bounded between an integer and its successor is nonnegative iff the integer is nonnegative. Second half of Lemma 13-4.1 of [Gleason] p. 217. (Contributed by NM, 12-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
btwnzge0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem btwnzge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 8044	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
2		simplll 533	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	3	zred 9465	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
5	4	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
6		1red 8058	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
7	5, 6	readdcld 8073	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
8		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
9		simplrr 536	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 < (𝑁 + 1))
10	1, 2, 7, 8, 9	lelttrd 8168	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 < (𝑁 + 1))
11		0z 9354	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
12		zleltp1 9398	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
13	11, 12	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
14	13	ad3antlr 493	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
15	10, 14	mpbird 167	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝑁)
16		0red 8044	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
17	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
18		simplll 533	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
19		simpr 110	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
20		simplrl 535	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 ≤ 𝐴)
21	16, 17, 18, 19, 20	letrd 8167	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝐴)
22	15, 21	impbida 596	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  ℝcr 7895  0cc0 7896  1c1 7897   + caddc 7899   < clt 8078   ≤ cle 8079  ℤcz 9343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344

This theorem is referenced by:  2tnp1ge0ge0  10408