Theorem btwnzge0 10235

Description: A real bounded between an integer and its successor is nonnegative iff the integer is nonnegative. Second half of Lemma 13-4.1 of [Gleason] p. 217. (Contributed by NM, 12-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
btwnzge0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem btwnzge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 7900	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
2		simplll 523	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		simplr 520	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	3	zred 9313	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
5	4	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
6		1red 7914	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
7	5, 6	readdcld 7928	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
8		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
9		simplrr 526	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 < (𝑁 + 1))
10	1, 2, 7, 8, 9	lelttrd 8023	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 < (𝑁 + 1))
11		0z 9202	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
12		zleltp1 9246	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
13	11, 12	mpan 421	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
14	13	ad3antlr 485	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
15	10, 14	mpbird 166	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝑁)
16		0red 7900	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
17	4	adantr 274	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
18		simplll 523	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
19		simpr 109	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
20		simplrl 525	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 ≤ 𝐴)
21	16, 17, 18, 19, 20	letrd 8022	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝐴)
22	15, 21	impbida 586	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  ℝcr 7752  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   < clt 7933   ≤ cle 7934  ℤcz 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192

This theorem is referenced by:  2tnp1ge0ge0  10236