Theorem btwnzge0 10660

Description: A real bounded between an integer and its successor is nonnegative iff the integer is nonnegative. Second half of Lemma 13-4.1 of [Gleason] p. 217. (Contributed by NM, 12-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
btwnzge0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem btwnzge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 8275	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
2		simplll 535	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		simplr 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	3	zred 9700	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
5	4	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
6		1red 8289	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
7	5, 6	readdcld 8303	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
8		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
9		simplrr 538	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 < (𝑁 + 1))
10	1, 2, 7, 8, 9	lelttrd 8398	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 < (𝑁 + 1))
11		0z 9588	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
12		zleltp1 9633	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
13	11, 12	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
14	13	ad3antlr 493	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
15	10, 14	mpbird 167	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝑁)
16		0red 8275	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
17	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
18		simplll 535	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
19		simpr 110	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
20		simplrl 537	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 ≤ 𝐴)
21	16, 17, 18, 19, 20	letrd 8397	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝐴)
22	15, 21	impbida 600	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050  ℝcr 8126  0cc0 8127  1c1 8128   + caddc 8130   < clt 8308   ≤ cle 8309  ℤcz 9577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578

This theorem is referenced by:  2tnp1ge0ge0  10661