Theorem btwnzge0 10515

Description: A real bounded between an integer and its successor is nonnegative iff the integer is nonnegative. Second half of Lemma 13-4.1 of [Gleason] p. 217. (Contributed by NM, 12-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
btwnzge0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem btwnzge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 8143	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
2		simplll 533	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	3	zred 9565	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
5	4	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
6		1red 8157	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
7	5, 6	readdcld 8172	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
8		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
9		simplrr 536	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 < (𝑁 + 1))
10	1, 2, 7, 8, 9	lelttrd 8267	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 < (𝑁 + 1))
11		0z 9453	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
12		zleltp1 9498	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
13	11, 12	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
14	13	ad3antlr 493	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
15	10, 14	mpbird 167	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝑁)
16		0red 8143	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
17	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
18		simplll 533	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
19		simpr 110	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
20		simplrl 535	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 ≤ 𝐴)
21	16, 17, 18, 19, 20	letrd 8266	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝐴)
22	15, 21	impbida 598	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑁 + 1))) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000  ℝcr 7994  0cc0 7995  1c1 7996   + caddc 7998   < clt 8177   ≤ cle 8178  ℤcz 9442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443

This theorem is referenced by:  2tnp1ge0ge0  10516