Theorem crap0 9093

Description: The real representation of complex numbers is apart from zero iff one of its terms is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
crap0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0) ↔ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0))

Proof of Theorem crap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8134	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		apreim 8738	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (0 + (i · 0)) ↔ (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0)))
3	1, 1, 2	mpanr12 439	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (0 + (i · 0)) ↔ (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0)))
4		ax-icn 8082	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 8525	. . . . 5 ⊢ (i · 0) = 0
6	5	oveq2i 6005	. . . 4 ⊢ (0 + (i · 0)) = (0 + 0)
7		00id 8275	. . . 4 ⊢ (0 + 0) = 0
8	6, 7	eqtri 2250	. . 3 ⊢ (0 + (i · 0)) = 0
9	8	breq2i 4090	. 2 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (0 + (i · 0)) ↔ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0)
10	3, 9	bitr3di 195	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0) ↔ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  (class class class)co 5994  ℝcr 7986  0cc0 7987  ici 7989   + caddc 7990   · cmul 7992   # cap 8716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-ltxr 8174  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717

This theorem is referenced by:  abs00ap  11559