![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > crap0 | GIF version |
Description: The real representation of complex numbers is apart from zero iff one of its terms is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Mar-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
crap0 | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด # 0 โจ ๐ต # 0) โ (๐ด + (i ยท ๐ต)) # 0)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 0re 7959 | . . 3 โข 0 โ โ | |
2 | apreim 8562 | . . 3 โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (0 โ โ โง 0 โ โ)) โ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) # (0 + (i ยท 0)) โ (๐ด # 0 โจ ๐ต # 0))) | |
3 | 1, 1, 2 | mpanr12 439 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) # (0 + (i ยท 0)) โ (๐ด # 0 โจ ๐ต # 0))) |
4 | ax-icn 7908 | . . . . . 6 โข i โ โ | |
5 | 4 | mul01i 8350 | . . . . 5 โข (i ยท 0) = 0 |
6 | 5 | oveq2i 5888 | . . . 4 โข (0 + (i ยท 0)) = (0 + 0) |
7 | 00id 8100 | . . . 4 โข (0 + 0) = 0 | |
8 | 6, 7 | eqtri 2198 | . . 3 โข (0 + (i ยท 0)) = 0 |
9 | 8 | breq2i 4013 | . 2 โข ((๐ด + (i ยท ๐ต)) # (0 + (i ยท 0)) โ (๐ด + (i ยท ๐ต)) # 0) |
10 | 3, 9 | bitr3di 195 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด # 0 โจ ๐ต # 0) โ (๐ด + (i ยท ๐ต)) # 0)) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 104 โ wb 105 โจ wo 708 โ wcel 2148 class class class wbr 4005 (class class class)co 5877 โcr 7812 0cc0 7813 ici 7815 + caddc 7816 ยท cmul 7818 # cap 8540 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4123 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-cnex 7904 ax-resscn 7905 ax-1cn 7906 ax-1re 7907 ax-icn 7908 ax-addcl 7909 ax-addrcl 7910 ax-mulcl 7911 ax-mulrcl 7912 ax-addcom 7913 ax-mulcom 7914 ax-addass 7915 ax-mulass 7916 ax-distr 7917 ax-i2m1 7918 ax-0lt1 7919 ax-1rid 7920 ax-0id 7921 ax-rnegex 7922 ax-precex 7923 ax-cnre 7924 ax-pre-ltirr 7925 ax-pre-lttrn 7927 ax-pre-apti 7928 ax-pre-ltadd 7929 ax-pre-mulgt0 7930 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-br 4006 df-opab 4067 df-id 4295 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fv 5226 df-riota 5833 df-ov 5880 df-oprab 5881 df-mpo 5882 df-pnf 7996 df-mnf 7997 df-ltxr 7999 df-sub 8132 df-neg 8133 df-reap 8534 df-ap 8541 |
This theorem is referenced by: abs00ap 11073 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |