Theorem pire 15536

Description: π is a real number. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
pire	⊢ π ∈ ℝ

Proof of Theorem pire

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pilem3 15533	. . 3 ⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)
2	1	simpli 111	. 2 ⊢ π ∈ (2(,)4)
3		elioore 10149	. 2 ⊢ (π ∈ (2(,)4) → π ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	1 ⊢ π ∈ ℝ

Syntax hints:   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  ‘cfv 5325  (class class class)co 6020  ℝcr 8033  0cc0 8034  2c2 9196  4c4 9198  (,)cioo 10125  sincsin 12225  πcpi 12228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4203  ax-sep 4206  ax-nul 4214  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-iinf 4685  ax-cnex 8125  ax-resscn 8126  ax-1cn 8127  ax-1re 8128  ax-icn 8129  ax-addcl 8130  ax-addrcl 8131  ax-mulcl 8132  ax-mulrcl 8133  ax-addcom 8134  ax-mulcom 8135  ax-addass 8136  ax-mulass 8137  ax-distr 8138  ax-i2m1 8139  ax-0lt1 8140  ax-1rid 8141  ax-0id 8142  ax-rnegex 8143  ax-precex 8144  ax-cnre 8145  ax-pre-ltirr 8146  ax-pre-ltwlin 8147  ax-pre-lttrn 8148  ax-pre-apti 8149  ax-pre-ltadd 8150  ax-pre-mulgt0 8151  ax-pre-mulext 8152  ax-arch 8153  ax-caucvg 8154  ax-pre-suploc 8155  ax-addf 8156  ax-mulf 8157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-int 3928  df-iun 3971  df-disj 4064  df-br 4088  df-opab 4150  df-mpt 4151  df-tr 4187  df-id 4389  df-po 4392  df-iso 4393  df-iord 4462  df-on 4464  df-ilim 4465  df-suc 4467  df-iom 4688  df-xp 4730  df-rel 4731  df-cnv 4732  df-co 4733  df-dm 4734  df-rn 4735  df-res 4736  df-ima 4737  df-iota 5285  df-fun 5327  df-fn 5328  df-f 5329  df-f1 5330  df-fo 5331  df-f1o 5332  df-fv 5333  df-isom 5334  df-riota 5973  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpo 6025  df-of 6237  df-1st 6305  df-2nd 6306  df-recs 6473  df-irdg 6538  df-frec 6559  df-1o 6584  df-oadd 6588  df-er 6704  df-map 6821  df-pm 6822  df-en 6912  df-dom 6913  df-fin 6914  df-sup 7185  df-inf 7186  df-pnf 8218  df-mnf 8219  df-xr 8220  df-ltxr 8221  df-le 8222  df-sub 8354  df-neg 8355  df-reap 8757  df-ap 8764  df-div 8855  df-inn 9146  df-2 9204  df-3 9205  df-4 9206  df-5 9207  df-6 9208  df-7 9209  df-8 9210  df-9 9211  df-n0 9405  df-z 9482  df-uz 9758  df-q 9856  df-rp 9891  df-xneg 10009  df-xadd 10010  df-ioo 10129  df-ioc 10130  df-ico 10131  df-icc 10132  df-fz 10246  df-fzo 10380  df-seqfrec 10713  df-exp 10804  df-fac 10991  df-bc 11013  df-ihash 11041  df-shft 11395  df-cj 11422  df-re 11423  df-im 11424  df-rsqrt 11578  df-abs 11579  df-clim 11859  df-sumdc 11934  df-ef 12229  df-sin 12231  df-cos 12232  df-pi 12234  df-rest 13344  df-topgen 13363  df-psmet 14578  df-xmet 14579  df-met 14580  df-bl 14581  df-mopn 14582  df-top 14748  df-topon 14761  df-bases 14793  df-ntr 14846  df-cn 14938  df-cnp 14939  df-tx 15003  df-cncf 15321  df-limced 15406  df-dvap 15407

This theorem is referenced by:  picn  15537  pipos  15538  pirp  15539  sinhalfpilem  15541  halfpire  15542  sincosq1lem  15575  sincosq2sgn  15577  sincosq3sgn  15578  sincosq4sgn  15579  sinq12gt0  15580  sinq34lt0t  15581  cosq14gt0  15582  cosq23lt0  15583  coseq00topi  15585  coseq0negpitopi  15586  tangtx  15588  sincos4thpi  15590  tan4thpi  15591  sincos6thpi  15592  pigt3  15594  pige3  15595  coskpi  15598  cosordlem  15599  cosq34lt1  15600  cos02pilt1  15601  cos0pilt1  15602  cos11  15603  ioocosf1o  15604  negpitopissre  15605  rpabscxpbnd  15690  taupi  16740