Theorem sin0pilem1 15592

Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sin0pilem1	⊢ ∃𝑝 ∈ (1(,)2)((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑝

Proof of Theorem sin0pilem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosz12 15591	. 2 ⊢ ∃𝑝 ∈ (1(,)2)(cos‘𝑝) = 0
2		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) → (cos‘𝑝) = 0)
3		2re 9272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 2 ∈ ℝ)
5		elioore 10208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 𝑝 ∈ ℝ)
6	5	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑝 ∈ ℝ)
7	4, 6	remulcld 8269	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (2 · 𝑝) ∈ ℝ)
8		elioore 10208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) → 𝑥 ∈ ℝ)
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑥 ∈ ℝ)
10	7, 9	resubcld 8619	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ ℝ)
11		eliooord 10224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) → (𝑝 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝)))
12	11	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) → 𝑥 < (2 · 𝑝))
13	12	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑥 < (2 · 𝑝))
14	9, 7	posdifd 8771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (𝑥 < (2 · 𝑝) ↔ 0 < ((2 · 𝑝) − 𝑥)))
15	13, 14	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 0 < ((2 · 𝑝) − 𝑥))
16	11	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) → 𝑝 < 𝑥)
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑝 < 𝑥)
18	6, 9, 7, 17	ltsub2dd 8797	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) < ((2 · 𝑝) − 𝑝))
19	6	recnd 8267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑝 ∈ ℂ)
20	19	mullidd 8257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (1 · 𝑝) = 𝑝)
21	20	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − (1 · 𝑝)) = ((2 · 𝑝) − 𝑝))
22	18, 21	breqtrrd 4121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) < ((2 · 𝑝) − (1 · 𝑝)))
23	4	recnd 8267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 2 ∈ ℂ)
24		1cnd 8255	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 1 ∈ ℂ)
25	23, 24, 19	subdird 8653	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 − 1) · 𝑝) = ((2 · 𝑝) − (1 · 𝑝)))
26	22, 25	breqtrrd 4121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) < ((2 − 1) · 𝑝))
27		2m1e1 9320	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 − 1) = 1
28	27	oveq1i 6038	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 − 1) · 𝑝) = (1 · 𝑝)
29	28, 20	eqtrid 2276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 − 1) · 𝑝) = 𝑝)
30	26, 29	breqtrd 4119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) < 𝑝)
31		eliooord 10224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (1 < 𝑝 ∧ 𝑝 < 2))
32	31	simprd 114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 𝑝 < 2)
33	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑝 < 2)
34	10, 6, 4, 30, 33	lttrd 8364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) < 2)
35	10, 4, 34	ltled 8357	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) ≤ 2)
36		0xr 8285	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
37		elioc2 10232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ (0(,]2) ↔ (((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2 · 𝑝) − 𝑥) ∧ ((2 · 𝑝) − 𝑥) ≤ 2)))
38	36, 3, 37	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ (0(,]2) ↔ (((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2 · 𝑝) − 𝑥) ∧ ((2 · 𝑝) − 𝑥) ≤ 2))
39	10, 15, 35, 38	syl3anbrc 1208	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ (0(,]2))
40		sin02gt0 12405	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))
41	39, 40	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 0 < (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))
42	7	recnd 8267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (2 · 𝑝) ∈ ℂ)
43	9	recnd 8267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑥 ∈ ℂ)
44	42, 43	subcld 8549	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ ℂ)
45		sinsub 12381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑝) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ ℂ) → (sin‘((2 · 𝑝) − ((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) − ((cos‘(2 · 𝑝)) · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))))
46	42, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘((2 · 𝑝) − ((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) − ((cos‘(2 · 𝑝)) · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))))
47	42, 43	nncand 8554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − ((2 · 𝑝) − 𝑥)) = 𝑥)
48	47	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘((2 · 𝑝) − ((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (sin‘𝑥))
49		cos2t 12391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝑝)) = ((2 · ((cos‘𝑝)↑2)) − 1))
50	19, 49	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (cos‘(2 · 𝑝)) = ((2 · ((cos‘𝑝)↑2)) − 1))
51		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (cos‘𝑝) = 0)
52	51	sq0id 10957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((cos‘𝑝)↑2) = 0)
53	52	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (2 · ((cos‘𝑝)↑2)) = (2 · 0))
54		2t0e0 9362	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 · 0) = 0
55	53, 54	eqtrdi 2280	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (2 · ((cos‘𝑝)↑2)) = 0)
56	55	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · ((cos‘𝑝)↑2)) − 1) = (0 − 1))
57		df-neg 8412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -1 = (0 − 1)
58	56, 57	eqtr4di 2282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · ((cos‘𝑝)↑2)) − 1) = -1)
59	50, 58	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (cos‘(2 · 𝑝)) = -1)
60	59	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((cos‘(2 · 𝑝)) · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (-1 · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
61	44	sincld 12351	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)) ∈ ℂ)
62	61	mulm1d 8648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (-1 · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = -(sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))
63	60, 62	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((cos‘(2 · 𝑝)) · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = -(sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))
64	63	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) − ((cos‘(2 · 𝑝)) · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))) = (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) − -(sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
65	46, 48, 64	3eqtr3d 2272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘𝑥) = (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) − -(sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
66	42	sincld 12351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘(2 · 𝑝)) ∈ ℂ)
67	44	coscld 12352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥)) ∈ ℂ)
68	66, 67	mulcld 8259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) ∈ ℂ)
69	68, 61	subnegd 8556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) − -(sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) + (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
70	65, 69	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘𝑥) = (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) + (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
71		sin2t 12390	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝑝)) = (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))))
72	19, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘(2 · 𝑝)) = (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))))
73	51	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝)) = ((sin‘𝑝) · 0))
74	19	sincld 12351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘𝑝) ∈ ℂ)
75	74	mul01d 8631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((sin‘𝑝) · 0) = 0)
76	73, 75	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝)) = 0)
77	76	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))) = (2 · 0))
78	77, 54	eqtrdi 2280	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))) = 0)
79	72, 78	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘(2 · 𝑝)) = 0)
80	79	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (0 · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
81	67	mul02d 8630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (0 · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = 0)
82	80, 81	eqtrd 2264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = 0)
83	82	oveq1d 6043	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) + (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (0 + (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
84	70, 83	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘𝑥) = (0 + (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
85	61	addlidd 8388	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (0 + (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))
86	84, 85	eqtrd 2264	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘𝑥) = (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))
87	41, 86	breqtrrd 4121	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 0 < (sin‘𝑥))
88	87	ralrimiva 2606	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) → ∀𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))
89	2, 88	jca 306	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) → ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥)))
90	89	ex 115	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → ((cos‘𝑝) = 0 → ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))))
91	90	reximia 2628	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ (1(,)2)(cos‘𝑝) = 0 → ∃𝑝 ∈ (1(,)2)((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥)))
92	1, 91	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑝 ∈ (1(,)2)((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  ∃wrex 2512   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℂcc 8090  ℝcr 8091  0cc0 8092  1c1 8093   + caddc 8095   · cmul 8097  ℝ^*cxr 8272   < clt 8273   ≤ cle 8274   − cmin 8409  -cneg 8410  2c2 9253  (,)cioo 10184  (,]cioc 10185  ↑cexp 10863  sincsin 12285  cosccos 12286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212  ax-pre-suploc 8213  ax-addf 8214  ax-mulf 8215

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-disj 4070  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-map 6862  df-pm 6863  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7243  df-inf 7244  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-5 9264  df-6 9265  df-7 9266  df-8 9267  df-9 9268  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-xneg 10068  df-xadd 10069  df-ioo 10188  df-ioc 10189  df-ico 10190  df-icc 10191  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-fac 11051  df-bc 11073  df-ihash 11101  df-shft 11455  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-clim 11919  df-sumdc 11994  df-ef 12289  df-sin 12291  df-cos 12292  df-rest 13404  df-topgen 13423  df-psmet 14639  df-xmet 14640  df-met 14641  df-bl 14642  df-mopn 14643  df-top 14809  df-topon 14822  df-bases 14854  df-ntr 14907  df-cn 14999  df-cnp 15000  df-tx 15064  df-cncf 15382  df-limced 15467  df-dvap 15468

This theorem is referenced by:  sin0pilem2  15593