Theorem sin0pilem1 15471

Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sin0pilem1	⊢ ∃𝑝 ∈ (1(,)2)((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑝

Proof of Theorem sin0pilem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosz12 15470	. 2 ⊢ ∃𝑝 ∈ (1(,)2)(cos‘𝑝) = 0
2		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) → (cos‘𝑝) = 0)
3		2re 9191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 2 ∈ ℝ)
5		elioore 10120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 𝑝 ∈ ℝ)
6	5	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑝 ∈ ℝ)
7	4, 6	remulcld 8188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (2 · 𝑝) ∈ ℝ)
8		elioore 10120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) → 𝑥 ∈ ℝ)
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑥 ∈ ℝ)
10	7, 9	resubcld 8538	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ ℝ)
11		eliooord 10136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) → (𝑝 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝)))
12	11	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) → 𝑥 < (2 · 𝑝))
13	12	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑥 < (2 · 𝑝))
14	9, 7	posdifd 8690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (𝑥 < (2 · 𝑝) ↔ 0 < ((2 · 𝑝) − 𝑥)))
15	13, 14	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 0 < ((2 · 𝑝) − 𝑥))
16	11	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) → 𝑝 < 𝑥)
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑝 < 𝑥)
18	6, 9, 7, 17	ltsub2dd 8716	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) < ((2 · 𝑝) − 𝑝))
19	6	recnd 8186	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑝 ∈ ℂ)
20	19	mulid2d 8176	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (1 · 𝑝) = 𝑝)
21	20	oveq2d 6023	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − (1 · 𝑝)) = ((2 · 𝑝) − 𝑝))
22	18, 21	breqtrrd 4111	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) < ((2 · 𝑝) − (1 · 𝑝)))
23	4	recnd 8186	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 2 ∈ ℂ)
24		1cnd 8173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 1 ∈ ℂ)
25	23, 24, 19	subdird 8572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 − 1) · 𝑝) = ((2 · 𝑝) − (1 · 𝑝)))
26	22, 25	breqtrrd 4111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) < ((2 − 1) · 𝑝))
27		2m1e1 9239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 − 1) = 1
28	27	oveq1i 6017	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 − 1) · 𝑝) = (1 · 𝑝)
29	28, 20	eqtrid 2274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 − 1) · 𝑝) = 𝑝)
30	26, 29	breqtrd 4109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) < 𝑝)
31		eliooord 10136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (1 < 𝑝 ∧ 𝑝 < 2))
32	31	simprd 114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 𝑝 < 2)
33	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑝 < 2)
34	10, 6, 4, 30, 33	lttrd 8283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) < 2)
35	10, 4, 34	ltled 8276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) ≤ 2)
36		0xr 8204	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
37		elioc2 10144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ (0(,]2) ↔ (((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2 · 𝑝) − 𝑥) ∧ ((2 · 𝑝) − 𝑥) ≤ 2)))
38	36, 3, 37	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ (0(,]2) ↔ (((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2 · 𝑝) − 𝑥) ∧ ((2 · 𝑝) − 𝑥) ≤ 2))
39	10, 15, 35, 38	syl3anbrc 1205	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ (0(,]2))
40		sin02gt0 12291	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))
41	39, 40	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 0 < (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))
42	7	recnd 8186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (2 · 𝑝) ∈ ℂ)
43	9	recnd 8186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑥 ∈ ℂ)
44	42, 43	subcld 8468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ ℂ)
45		sinsub 12267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑝) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ ℂ) → (sin‘((2 · 𝑝) − ((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) − ((cos‘(2 · 𝑝)) · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))))
46	42, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘((2 · 𝑝) − ((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) − ((cos‘(2 · 𝑝)) · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))))
47	42, 43	nncand 8473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − ((2 · 𝑝) − 𝑥)) = 𝑥)
48	47	fveq2d 5633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘((2 · 𝑝) − ((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (sin‘𝑥))
49		cos2t 12277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝑝)) = ((2 · ((cos‘𝑝)↑2)) − 1))
50	19, 49	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (cos‘(2 · 𝑝)) = ((2 · ((cos‘𝑝)↑2)) − 1))
51		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (cos‘𝑝) = 0)
52	51	sq0id 10866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((cos‘𝑝)↑2) = 0)
53	52	oveq2d 6023	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (2 · ((cos‘𝑝)↑2)) = (2 · 0))
54		2t0e0 9281	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 · 0) = 0
55	53, 54	eqtrdi 2278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (2 · ((cos‘𝑝)↑2)) = 0)
56	55	oveq1d 6022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · ((cos‘𝑝)↑2)) − 1) = (0 − 1))
57		df-neg 8331	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -1 = (0 − 1)
58	56, 57	eqtr4di 2280	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · ((cos‘𝑝)↑2)) − 1) = -1)
59	50, 58	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (cos‘(2 · 𝑝)) = -1)
60	59	oveq1d 6022	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((cos‘(2 · 𝑝)) · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (-1 · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
61	44	sincld 12237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)) ∈ ℂ)
62	61	mulm1d 8567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (-1 · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = -(sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))
63	60, 62	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((cos‘(2 · 𝑝)) · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = -(sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))
64	63	oveq2d 6023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) − ((cos‘(2 · 𝑝)) · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))) = (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) − -(sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
65	46, 48, 64	3eqtr3d 2270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘𝑥) = (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) − -(sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
66	42	sincld 12237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘(2 · 𝑝)) ∈ ℂ)
67	44	coscld 12238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥)) ∈ ℂ)
68	66, 67	mulcld 8178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) ∈ ℂ)
69	68, 61	subnegd 8475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) − -(sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) + (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
70	65, 69	eqtrd 2262	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘𝑥) = (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) + (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
71		sin2t 12276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝑝)) = (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))))
72	19, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘(2 · 𝑝)) = (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))))
73	51	oveq2d 6023	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝)) = ((sin‘𝑝) · 0))
74	19	sincld 12237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘𝑝) ∈ ℂ)
75	74	mul01d 8550	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((sin‘𝑝) · 0) = 0)
76	73, 75	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝)) = 0)
77	76	oveq2d 6023	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))) = (2 · 0))
78	77, 54	eqtrdi 2278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))) = 0)
79	72, 78	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘(2 · 𝑝)) = 0)
80	79	oveq1d 6022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (0 · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
81	67	mul02d 8549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (0 · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = 0)
82	80, 81	eqtrd 2262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = 0)
83	82	oveq1d 6022	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) + (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (0 + (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
84	70, 83	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘𝑥) = (0 + (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
85	61	addlidd 8307	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (0 + (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))
86	84, 85	eqtrd 2262	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘𝑥) = (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))
87	41, 86	breqtrrd 4111	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 0 < (sin‘𝑥))
88	87	ralrimiva 2603	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) → ∀𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))
89	2, 88	jca 306	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) → ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥)))
90	89	ex 115	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → ((cos‘𝑝) = 0 → ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))))
91	90	reximia 2625	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ (1(,)2)(cos‘𝑝) = 0 → ∃𝑝 ∈ (1(,)2)((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥)))
92	1, 91	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑝 ∈ (1(,)2)((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℂcc 8008  ℝcr 8009  0cc0 8010  1c1 8011   + caddc 8013   · cmul 8015  ℝ^*cxr 8191   < clt 8192   ≤ cle 8193   − cmin 8328  -cneg 8329  2c2 9172  (,)cioo 10096  (,]cioc 10097  ↑cexp 10772  sincsin 12171  cosccos 12172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130  ax-pre-suploc 8131  ax-addf 8132  ax-mulf 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-disj 4060  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-of 6224  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-map 6805  df-pm 6806  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-sup 7162  df-inf 7163  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-xneg 9980  df-xadd 9981  df-ioo 10100  df-ioc 10101  df-ico 10102  df-icc 10103  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-fac 10960  df-bc 10982  df-ihash 11010  df-shft 11342  df-cj 11369  df-re 11370  df-im 11371  df-rsqrt 11525  df-abs 11526  df-clim 11806  df-sumdc 11881  df-ef 12175  df-sin 12177  df-cos 12178  df-rest 13290  df-topgen 13309  df-psmet 14523  df-xmet 14524  df-met 14525  df-bl 14526  df-mopn 14527  df-top 14688  df-topon 14701  df-bases 14733  df-ntr 14786  df-cn 14878  df-cnp 14879  df-tx 14943  df-cncf 15261  df-limced 15346  df-dvap 15347

This theorem is referenced by:  sin0pilem2  15472