sin0pilem1 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem sin0pilem1 14205

Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Mar-2024.)

**Assertion**
Ref	Expression
sin0pilem1	⊢ ∃𝑝 ∈ (1(,)2)((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))

Distinct variable group: 𝑥,𝑝

**Proof of Theorem sin0pilem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosz12 14204	. 2 ⊢ ∃𝑝 ∈ (1(,)2)(cos‘𝑝) = 0
2		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) → (cos‘𝑝) = 0)
3		2re 8989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 2 ∈ ℝ)
5		elioore 9912	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 𝑝 ∈ ℝ)
6	5	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑝 ∈ ℝ)
7	4, 6	remulcld 7988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (2 · 𝑝) ∈ ℝ)
8		elioore 9912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) → 𝑥 ∈ ℝ)
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑥 ∈ ℝ)
10	7, 9	resubcld 8338	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ ℝ)
11		eliooord 9928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) → (𝑝 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝)))
12	11	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) → 𝑥 < (2 · 𝑝))
13	12	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑥 < (2 · 𝑝))
14	9, 7	posdifd 8489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (𝑥 < (2 · 𝑝) ↔ 0 < ((2 · 𝑝) − 𝑥)))
15	13, 14	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 0 < ((2 · 𝑝) − 𝑥))
16	11	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) → 𝑝 < 𝑥)
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑝 < 𝑥)
18	6, 9, 7, 17	ltsub2dd 8515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) < ((2 · 𝑝) − 𝑝))
19	6	recnd 7986	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑝 ∈ ℂ)
20	19	mulid2d 7976	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (1 · 𝑝) = 𝑝)
21	20	oveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − (1 · 𝑝)) = ((2 · 𝑝) − 𝑝))
22	18, 21	breqtrrd 4032	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) < ((2 · 𝑝) − (1 · 𝑝)))
23	4	recnd 7986	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 2 ∈ ℂ)
24		1cnd 7973	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 1 ∈ ℂ)
25	23, 24, 19	subdird 8372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 − 1) · 𝑝) = ((2 · 𝑝) − (1 · 𝑝)))
26	22, 25	breqtrrd 4032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) < ((2 − 1) · 𝑝))
27		2m1e1 9037	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 − 1) = 1
28	27	oveq1i 5885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 − 1) · 𝑝) = (1 · 𝑝)
29	28, 20	eqtrid 2222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 − 1) · 𝑝) = 𝑝)
30	26, 29	breqtrd 4030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) < 𝑝)
31		eliooord 9928	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (1 < 𝑝 ∧ 𝑝 < 2))
32	31	simprd 114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 𝑝 < 2)
33	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑝 < 2)
34	10, 6, 4, 30, 33	lttrd 8083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) < 2)
35	10, 4, 34	ltled 8076	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) ≤ 2)
36		0xr 8004	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ^*
37		elioc2 9936	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ^* ∧ 2 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ (0(,]2) ↔ (((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2 · 𝑝) − 𝑥) ∧ ((2 · 𝑝) − 𝑥) ≤ 2)))
38	36, 3, 37	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ (0(,]2) ↔ (((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2 · 𝑝) − 𝑥) ∧ ((2 · 𝑝) − 𝑥) ≤ 2))
39	10, 15, 35, 38	syl3anbrc 1181	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ (0(,]2))
40		sin02gt0 11771	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))
41	39, 40	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 0 < (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))
42	7	recnd 7986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (2 · 𝑝) ∈ ℂ)
43	9	recnd 7986	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑥 ∈ ℂ)
44	42, 43	subcld 8268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ ℂ)
45		sinsub 11748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑝) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ ℂ) → (sin‘((2 · 𝑝) − ((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) − ((cos‘(2 · 𝑝)) · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))))
46	42, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘((2 · 𝑝) − ((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) − ((cos‘(2 · 𝑝)) · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))))
47	42, 43	nncand 8273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − ((2 · 𝑝) − 𝑥)) = 𝑥)
48	47	fveq2d 5520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘((2 · 𝑝) − ((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (sin‘𝑥))
49		cos2t 11758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝑝)) = ((2 · ((cos‘𝑝)↑2)) − 1))
50	19, 49	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (cos‘(2 · 𝑝)) = ((2 · ((cos‘𝑝)↑2)) − 1))
51		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (cos‘𝑝) = 0)
52	51	sq0id 10613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((cos‘𝑝)↑2) = 0)
53	52	oveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (2 · ((cos‘𝑝)↑2)) = (2 · 0))
54		2t0e0 9078	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 · 0) = 0
55	53, 54	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (2 · ((cos‘𝑝)↑2)) = 0)
56	55	oveq1d 5890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · ((cos‘𝑝)↑2)) − 1) = (0 − 1))
57		df-neg 8131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -1 = (0 − 1)
58	56, 57	eqtr4di 2228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · ((cos‘𝑝)↑2)) − 1) = -1)
59	50, 58	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (cos‘(2 · 𝑝)) = -1)
60	59	oveq1d 5890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((cos‘(2 · 𝑝)) · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (-1 · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
61	44	sincld 11718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)) ∈ ℂ)
62	61	mulm1d 8367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (-1 · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = -(sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))
63	60, 62	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((cos‘(2 · 𝑝)) · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = -(sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))
64	63	oveq2d 5891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) − ((cos‘(2 · 𝑝)) · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))) = (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) − -(sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
65	46, 48, 64	3eqtr3d 2218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘𝑥) = (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) − -(sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
66	42	sincld 11718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘(2 · 𝑝)) ∈ ℂ)
67	44	coscld 11719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥)) ∈ ℂ)
68	66, 67	mulcld 7978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) ∈ ℂ)
69	68, 61	subnegd 8275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) − -(sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) + (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
70	65, 69	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘𝑥) = (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) + (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
71		sin2t 11757	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝑝)) = (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))))
72	19, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘(2 · 𝑝)) = (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))))
73	51	oveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝)) = ((sin‘𝑝) · 0))
74	19	sincld 11718	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘𝑝) ∈ ℂ)
75	74	mul01d 8350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((sin‘𝑝) · 0) = 0)
76	73, 75	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝)) = 0)
77	76	oveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))) = (2 · 0))
78	77, 54	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))) = 0)
79	72, 78	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘(2 · 𝑝)) = 0)
80	79	oveq1d 5890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (0 · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
81	67	mul02d 8349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (0 · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = 0)
82	80, 81	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = 0)
83	82	oveq1d 5890	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) + (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (0 + (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
84	70, 83	eqtrd 2210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘𝑥) = (0 + (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
85	61	addid2d 8107	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (0 + (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))
86	84, 85	eqtrd 2210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘𝑥) = (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))
87	41, 86	breqtrrd 4032	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 0 < (sin‘𝑥))
88	87	ralrimiva 2550	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) → ∀𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))
89	2, 88	jca 306	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) → ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥)))
90	89	ex 115	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → ((cos‘𝑝) = 0 → ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))))
91	90	reximia 2572	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ (1(,)2)(cos‘𝑝) = 0 → ∃𝑝 ∈ (1(,)2)((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥)))
92	1, 91	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑝 ∈ (1(,)2)((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∧ w3a 978 = wceq 1353 ∈ wcel 2148 ∀wral 2455 ∃wrex 2456 class class class wbr 4004 ‘cfv 5217 (class class class)co 5875 ℂcc 7809 ℝcr 7810 0cc0 7811 1c1 7812 + caddc 7814 · cmul 7816 ℝ^*cxr 7991 < clt 7992 ≤ cle 7993 − cmin 8128 -cneg 8129 2c2 8970 (,)cioo 9888 (,]cioc 9889 ↑cexp 10519 sincsin 11652 cosccos 11653

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4119 ax-sep 4122 ax-nul 4130 ax-pow 4175 ax-pr 4210 ax-un 4434 ax-setind 4537 ax-iinf 4588 ax-cnex 7902 ax-resscn 7903 ax-1cn 7904 ax-1re 7905 ax-icn 7906 ax-addcl 7907 ax-addrcl 7908 ax-mulcl 7909 ax-mulrcl 7910 ax-addcom 7911 ax-mulcom 7912 ax-addass 7913 ax-mulass 7914 ax-distr 7915 ax-i2m1 7916 ax-0lt1 7917 ax-1rid 7918 ax-0id 7919 ax-rnegex 7920 ax-precex 7921 ax-cnre 7922 ax-pre-ltirr 7923 ax-pre-ltwlin 7924 ax-pre-lttrn 7925 ax-pre-apti 7926 ax-pre-ltadd 7927 ax-pre-mulgt0 7928 ax-pre-mulext 7929 ax-arch 7930 ax-caucvg 7931 ax-pre-suploc 7932 ax-addf 7933 ax-mulf 7934

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 831 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2740 df-sbc 2964 df-csb 3059 df-dif 3132 df-un 3134 df-in 3136 df-ss 3143 df-nul 3424 df-if 3536 df-pw 3578 df-sn 3599 df-pr 3600 df-op 3602 df-uni 3811 df-int 3846 df-iun 3889 df-disj 3982 df-br 4005 df-opab 4066 df-mpt 4067 df-tr 4103 df-id 4294 df-po 4297 df-iso 4298 df-iord 4367 df-on 4369 df-ilim 4370 df-suc 4372 df-iom 4591 df-xp 4633 df-rel 4634 df-cnv 4635 df-co 4636 df-dm 4637 df-rn 4638 df-res 4639 df-ima 4640 df-iota 5179 df-fun 5219 df-fn 5220 df-f 5221 df-f1 5222 df-fo 5223 df-f1o 5224 df-fv 5225 df-isom 5226 df-riota 5831 df-ov 5878 df-oprab 5879 df-mpo 5880 df-of 6083 df-1st 6141 df-2nd 6142 df-recs 6306 df-irdg 6371 df-frec 6392 df-1o 6417 df-oadd 6421 df-er 6535 df-map 6650 df-pm 6651 df-en 6741 df-dom 6742 df-fin 6743 df-sup 6983 df-inf 6984 df-pnf 7994 df-mnf 7995 df-xr 7996 df-ltxr 7997 df-le 7998 df-sub 8130 df-neg 8131 df-reap 8532 df-ap 8539 df-div 8630 df-inn 8920 df-2 8978 df-3 8979 df-4 8980 df-5 8981 df-6 8982 df-7 8983 df-8 8984 df-9 8985 df-n0 9177 df-z 9254 df-uz 9529 df-q 9620 df-rp 9654 df-xneg 9772 df-xadd 9773 df-ioo 9892 df-ioc 9893 df-ico 9894 df-icc 9895 df-fz 10009 df-fzo 10143 df-seqfrec 10446 df-exp 10520 df-fac 10706 df-bc 10728 df-ihash 10756 df-shft 10824 df-cj 10851 df-re 10852 df-im 10853 df-rsqrt 11007 df-abs 11008 df-clim 11287 df-sumdc 11362 df-ef 11656 df-sin 11658 df-cos 11659 df-rest 12690 df-topgen 12709 df-psmet 13450 df-xmet 13451 df-met 13452 df-bl 13453 df-mopn 13454 df-top 13501 df-topon 13514 df-bases 13546 df-ntr 13599 df-cn 13691 df-cnp 13692 df-tx 13756 df-cncf 14061 df-limced 14128 df-dvap 14129

This theorem is referenced by: sin0pilem2 14206

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