Theorem sin0pilem1 15805

Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sin0pilem1	⊢ ∃𝑝 ∈ (1(,)2)((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑝

Proof of Theorem sin0pilem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosz12 15804	. 2 ⊢ ∃𝑝 ∈ (1(,)2)(cos‘𝑝) = 0
2		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) → (cos‘𝑝) = 0)
3		2re 9353	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 2 ∈ ℝ)
5		elioore 10293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 𝑝 ∈ ℝ)
6	5	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑝 ∈ ℝ)
7	4, 6	remulcld 8346	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (2 · 𝑝) ∈ ℝ)
8		elioore 10293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) → 𝑥 ∈ ℝ)
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑥 ∈ ℝ)
10	7, 9	resubcld 8698	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ ℝ)
11		eliooord 10309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) → (𝑝 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝)))
12	11	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) → 𝑥 < (2 · 𝑝))
13	12	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑥 < (2 · 𝑝))
14	9, 7	posdifd 8850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (𝑥 < (2 · 𝑝) ↔ 0 < ((2 · 𝑝) − 𝑥)))
15	13, 14	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 0 < ((2 · 𝑝) − 𝑥))
16	11	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) → 𝑝 < 𝑥)
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑝 < 𝑥)
18	6, 9, 7, 17	ltsub2dd 8876	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) < ((2 · 𝑝) − 𝑝))
19	6	recnd 8344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑝 ∈ ℂ)
20	19	mullidd 8334	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (1 · 𝑝) = 𝑝)
21	20	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − (1 · 𝑝)) = ((2 · 𝑝) − 𝑝))
22	18, 21	breqtrrd 4153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) < ((2 · 𝑝) − (1 · 𝑝)))
23	4	recnd 8344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 2 ∈ ℂ)
24		1cnd 8332	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 1 ∈ ℂ)
25	23, 24, 19	subdird 8732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 − 1) · 𝑝) = ((2 · 𝑝) − (1 · 𝑝)))
26	22, 25	breqtrrd 4153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) < ((2 − 1) · 𝑝))
27		2m1e1 9401	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 − 1) = 1
28	27	oveq1i 6085	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 − 1) · 𝑝) = (1 · 𝑝)
29	28, 20	eqtrid 2283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 − 1) · 𝑝) = 𝑝)
30	26, 29	breqtrd 4151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) < 𝑝)
31		eliooord 10309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (1 < 𝑝 ∧ 𝑝 < 2))
32	31	simprd 114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 𝑝 < 2)
33	32	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑝 < 2)
34	10, 6, 4, 30, 33	lttrd 8442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) < 2)
35	10, 4, 34	ltled 8435	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) ≤ 2)
36		0xr 8362	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
37		elioc2 10317	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ (0(,]2) ↔ (((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2 · 𝑝) − 𝑥) ∧ ((2 · 𝑝) − 𝑥) ≤ 2)))
38	36, 3, 37	mp2an 430	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ (0(,]2) ↔ (((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2 · 𝑝) − 𝑥) ∧ ((2 · 𝑝) − 𝑥) ≤ 2))
39	10, 15, 35, 38	syl3anbrc 1212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ (0(,]2))
40		sin02gt0 12509	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))
41	39, 40	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 0 < (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))
42	7	recnd 8344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (2 · 𝑝) ∈ ℂ)
43	9	recnd 8344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑥 ∈ ℂ)
44	42, 43	subcld 8627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ ℂ)
45		sinsub 12485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑝) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ ℂ) → (sin‘((2 · 𝑝) − ((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) − ((cos‘(2 · 𝑝)) · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))))
46	42, 44, 45	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘((2 · 𝑝) − ((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) − ((cos‘(2 · 𝑝)) · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))))
47	42, 43	nncand 8632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − ((2 · 𝑝) − 𝑥)) = 𝑥)
48	47	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘((2 · 𝑝) − ((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (sin‘𝑥))
49		cos2t 12495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝑝)) = ((2 · ((cos‘𝑝)↑2)) − 1))
50	19, 49	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (cos‘(2 · 𝑝)) = ((2 · ((cos‘𝑝)↑2)) − 1))
51		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (cos‘𝑝) = 0)
52	51	sq0id 11047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((cos‘𝑝)↑2) = 0)
53	52	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (2 · ((cos‘𝑝)↑2)) = (2 · 0))
54		2t0e0 9443	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 · 0) = 0
55	53, 54	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (2 · ((cos‘𝑝)↑2)) = 0)
56	55	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · ((cos‘𝑝)↑2)) − 1) = (0 − 1))
57		df-neg 8490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -1 = (0 − 1)
58	56, 57	eqtr4di 2289	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · ((cos‘𝑝)↑2)) − 1) = -1)
59	50, 58	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (cos‘(2 · 𝑝)) = -1)
60	59	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((cos‘(2 · 𝑝)) · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (-1 · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
61	44	sincld 12455	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)) ∈ ℂ)
62	61	mulm1d 8727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (-1 · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = -(sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))
63	60, 62	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((cos‘(2 · 𝑝)) · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = -(sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))
64	63	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) − ((cos‘(2 · 𝑝)) · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))) = (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) − -(sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
65	46, 48, 64	3eqtr3d 2279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘𝑥) = (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) − -(sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
66	42	sincld 12455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘(2 · 𝑝)) ∈ ℂ)
67	44	coscld 12456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥)) ∈ ℂ)
68	66, 67	mulcld 8336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) ∈ ℂ)
69	68, 61	subnegd 8634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) − -(sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) + (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
70	65, 69	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘𝑥) = (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) + (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
71		sin2t 12494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝑝)) = (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))))
72	19, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘(2 · 𝑝)) = (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))))
73	51	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝)) = ((sin‘𝑝) · 0))
74	19	sincld 12455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘𝑝) ∈ ℂ)
75	74	mul01d 8710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((sin‘𝑝) · 0) = 0)
76	73, 75	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝)) = 0)
77	76	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))) = (2 · 0))
78	77, 54	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))) = 0)
79	72, 78	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘(2 · 𝑝)) = 0)
80	79	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (0 · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
81	67	mul02d 8709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (0 · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = 0)
82	80, 81	eqtrd 2271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = 0)
83	82	oveq1d 6090	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) + (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (0 + (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
84	70, 83	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘𝑥) = (0 + (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
85	61	addlidd 8466	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (0 + (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))
86	84, 85	eqtrd 2271	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘𝑥) = (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))
87	41, 86	breqtrrd 4153	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 0 < (sin‘𝑥))
88	87	ralrimiva 2623	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) → ∀𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))
89	2, 88	jca 306	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) → ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥)))
90	89	ex 115	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → ((cos‘𝑝) = 0 → ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))))
91	90	reximia 2645	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ (1(,)2)(cos‘𝑝) = 0 → ∃𝑝 ∈ (1(,)2)((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥)))
92	1, 91	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑝 ∈ (1(,)2)((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   class class class wbr 4125  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  ℝcr 8168  0cc0 8169  1c1 8170   + caddc 8172   · cmul 8174  ℝ^*cxr 8349   < clt 8350   ≤ cle 8351   − cmin 8487  -cneg 8488  2c2 9334  (,)cioo 10269  (,]cioc 10270  ↑cexp 10953  sincsin 12389  cosccos 12390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289  ax-pre-suploc 8290  ax-addf 8291  ax-mulf 8292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-disj 4102  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-of 6292  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-map 6914  df-pm 6915  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-xneg 10153  df-xadd 10154  df-ioo 10273  df-ioc 10274  df-ico 10275  df-icc 10276  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-fac 11142  df-bc 11164  df-ihash 11193  df-shft 11558  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098  df-ef 12393  df-sin 12395  df-cos 12396  df-rest 13572  df-topgen 13591  df-psmet 14852  df-xmet 14853  df-met 14854  df-bl 14855  df-mopn 14856  df-top 15022  df-topon 15035  df-bases 15067  df-ntr 15120  df-cn 15212  df-cnp 15213  df-tx 15277  df-cncf 15595  df-limced 15680  df-dvap 15681

This theorem is referenced by:  sin0pilem2  15806