Theorem sin0pilem1 14916

Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sin0pilem1	⊢ ∃𝑝 ∈ (1(,)2)((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑝

Proof of Theorem sin0pilem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosz12 14915	. 2 ⊢ ∃𝑝 ∈ (1(,)2)(cos‘𝑝) = 0
2		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) → (cos‘𝑝) = 0)
3		2re 9052	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 2 ∈ ℝ)
5		elioore 9978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 𝑝 ∈ ℝ)
6	5	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑝 ∈ ℝ)
7	4, 6	remulcld 8050	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (2 · 𝑝) ∈ ℝ)
8		elioore 9978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) → 𝑥 ∈ ℝ)
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑥 ∈ ℝ)
10	7, 9	resubcld 8400	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ ℝ)
11		eliooord 9994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) → (𝑝 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2 · 𝑝)))
12	11	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) → 𝑥 < (2 · 𝑝))
13	12	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑥 < (2 · 𝑝))
14	9, 7	posdifd 8551	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (𝑥 < (2 · 𝑝) ↔ 0 < ((2 · 𝑝) − 𝑥)))
15	13, 14	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 0 < ((2 · 𝑝) − 𝑥))
16	11	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝)) → 𝑝 < 𝑥)
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑝 < 𝑥)
18	6, 9, 7, 17	ltsub2dd 8577	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) < ((2 · 𝑝) − 𝑝))
19	6	recnd 8048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑝 ∈ ℂ)
20	19	mulid2d 8038	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (1 · 𝑝) = 𝑝)
21	20	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − (1 · 𝑝)) = ((2 · 𝑝) − 𝑝))
22	18, 21	breqtrrd 4057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) < ((2 · 𝑝) − (1 · 𝑝)))
23	4	recnd 8048	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 2 ∈ ℂ)
24		1cnd 8035	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 1 ∈ ℂ)
25	23, 24, 19	subdird 8434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 − 1) · 𝑝) = ((2 · 𝑝) − (1 · 𝑝)))
26	22, 25	breqtrrd 4057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) < ((2 − 1) · 𝑝))
27		2m1e1 9100	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 − 1) = 1
28	27	oveq1i 5928	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 − 1) · 𝑝) = (1 · 𝑝)
29	28, 20	eqtrid 2238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 − 1) · 𝑝) = 𝑝)
30	26, 29	breqtrd 4055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) < 𝑝)
31		eliooord 9994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → (1 < 𝑝 ∧ 𝑝 < 2))
32	31	simprd 114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → 𝑝 < 2)
33	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑝 < 2)
34	10, 6, 4, 30, 33	lttrd 8145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) < 2)
35	10, 4, 34	ltled 8138	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) ≤ 2)
36		0xr 8066	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
37		elioc2 10002	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ (0(,]2) ↔ (((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2 · 𝑝) − 𝑥) ∧ ((2 · 𝑝) − 𝑥) ≤ 2)))
38	36, 3, 37	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ (0(,]2) ↔ (((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2 · 𝑝) − 𝑥) ∧ ((2 · 𝑝) − 𝑥) ≤ 2))
39	10, 15, 35, 38	syl3anbrc 1183	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ (0(,]2))
40		sin02gt0 11907	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))
41	39, 40	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 0 < (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))
42	7	recnd 8048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (2 · 𝑝) ∈ ℂ)
43	9	recnd 8048	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 𝑥 ∈ ℂ)
44	42, 43	subcld 8330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ ℂ)
45		sinsub 11883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑝) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑝) − 𝑥) ∈ ℂ) → (sin‘((2 · 𝑝) − ((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) − ((cos‘(2 · 𝑝)) · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))))
46	42, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘((2 · 𝑝) − ((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) − ((cos‘(2 · 𝑝)) · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))))
47	42, 43	nncand 8335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · 𝑝) − ((2 · 𝑝) − 𝑥)) = 𝑥)
48	47	fveq2d 5558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘((2 · 𝑝) − ((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (sin‘𝑥))
49		cos2t 11893	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝑝)) = ((2 · ((cos‘𝑝)↑2)) − 1))
50	19, 49	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (cos‘(2 · 𝑝)) = ((2 · ((cos‘𝑝)↑2)) − 1))
51		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (cos‘𝑝) = 0)
52	51	sq0id 10703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((cos‘𝑝)↑2) = 0)
53	52	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (2 · ((cos‘𝑝)↑2)) = (2 · 0))
54		2t0e0 9141	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 · 0) = 0
55	53, 54	eqtrdi 2242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (2 · ((cos‘𝑝)↑2)) = 0)
56	55	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · ((cos‘𝑝)↑2)) − 1) = (0 − 1))
57		df-neg 8193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -1 = (0 − 1)
58	56, 57	eqtr4di 2244	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((2 · ((cos‘𝑝)↑2)) − 1) = -1)
59	50, 58	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (cos‘(2 · 𝑝)) = -1)
60	59	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((cos‘(2 · 𝑝)) · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (-1 · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
61	44	sincld 11853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)) ∈ ℂ)
62	61	mulm1d 8429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (-1 · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = -(sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))
63	60, 62	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((cos‘(2 · 𝑝)) · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = -(sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))
64	63	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) − ((cos‘(2 · 𝑝)) · (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))) = (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) − -(sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
65	46, 48, 64	3eqtr3d 2234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘𝑥) = (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) − -(sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
66	42	sincld 11853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘(2 · 𝑝)) ∈ ℂ)
67	44	coscld 11854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥)) ∈ ℂ)
68	66, 67	mulcld 8040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) ∈ ℂ)
69	68, 61	subnegd 8337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) − -(sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) + (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
70	65, 69	eqtrd 2226	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘𝑥) = (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) + (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
71		sin2t 11892	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝑝)) = (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))))
72	19, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘(2 · 𝑝)) = (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))))
73	51	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝)) = ((sin‘𝑝) · 0))
74	19	sincld 11853	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘𝑝) ∈ ℂ)
75	74	mul01d 8412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((sin‘𝑝) · 0) = 0)
76	73, 75	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝)) = 0)
77	76	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))) = (2 · 0))
78	77, 54	eqtrdi 2242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (2 · ((sin‘𝑝) · (cos‘𝑝))) = 0)
79	72, 78	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘(2 · 𝑝)) = 0)
80	79	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (0 · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
81	67	mul02d 8411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (0 · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = 0)
82	80, 81	eqtrd 2226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → ((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = 0)
83	82	oveq1d 5933	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (((sin‘(2 · 𝑝)) · (cos‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) + (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (0 + (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
84	70, 83	eqtrd 2226	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘𝑥) = (0 + (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))))
85	61	addlidd 8169	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (0 + (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥))) = (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))
86	84, 85	eqtrd 2226	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → (sin‘𝑥) = (sin‘((2 · 𝑝) − 𝑥)))
87	41, 86	breqtrrd 4057	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) ∧ 𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))) → 0 < (sin‘𝑥))
88	87	ralrimiva 2567	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) → ∀𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))
89	2, 88	jca 306	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ (1(,)2) ∧ (cos‘𝑝) = 0) → ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥)))
90	89	ex 115	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ (1(,)2) → ((cos‘𝑝) = 0 → ((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))))
91	90	reximia 2589	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ (1(,)2)(cos‘𝑝) = 0 → ∃𝑝 ∈ (1(,)2)((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥)))
92	1, 91	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑝 ∈ (1(,)2)((cos‘𝑝) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑝(,)(2 · 𝑝))0 < (sin‘𝑥))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∃wrex 2473   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  ℝcr 7871  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877  ℝ^*cxr 8053   < clt 8054   ≤ cle 8055   − cmin 8190  -cneg 8191  2c2 9033  (,)cioo 9954  (,]cioc 9955  ↑cexp 10609  sincsin 11787  cosccos 11788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992  ax-pre-suploc 7993  ax-addf 7994  ax-mulf 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-disj 4007  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-of 6130  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-map 6704  df-pm 6705  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-xneg 9838  df-xadd 9839  df-ioo 9958  df-ioc 9959  df-ico 9960  df-icc 9961  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-fac 10797  df-bc 10819  df-ihash 10847  df-shft 10959  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-sumdc 11497  df-ef 11791  df-sin 11793  df-cos 11794  df-rest 12852  df-topgen 12871  df-psmet 14039  df-xmet 14040  df-met 14041  df-bl 14042  df-mopn 14043  df-top 14166  df-topon 14179  df-bases 14211  df-ntr 14264  df-cn 14356  df-cnp 14357  df-tx 14421  df-cncf 14726  df-limced 14810  df-dvap 14811

This theorem is referenced by:  sin0pilem2  14917