ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  coseq0q4123 GIF version

Theorem coseq0q4123 14258
Description: Location of the zeroes of cosine in (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2024.)
Assertion
Ref Expression
coseq0q4123 (๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โ†’ ((cosโ€˜๐ด) = 0 โ†” ๐ด = (ฯ€ / 2)))

Proof of Theorem coseq0q4123
StepHypRef Expression
1 0re 7957 . . . . 5 0 โˆˆ โ„
21ltnri 8050 . . . 4 ยฌ 0 < 0
3 elioore 9912 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
43adantr 276 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โˆง (cosโ€˜๐ด) = 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
5 halfpire 14216 . . . . . 6 (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„
6 reaplt 8545 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด # (ฯ€ / 2) โ†” (๐ด < (ฯ€ / 2) โˆจ (ฯ€ / 2) < ๐ด)))
74, 5, 6sylancl 413 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โˆง (cosโ€˜๐ด) = 0) โ†’ (๐ด # (ฯ€ / 2) โ†” (๐ด < (ฯ€ / 2) โˆจ (ฯ€ / 2) < ๐ด)))
83adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โˆง ๐ด < (ฯ€ / 2)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
9 neghalfpirx 14218 . . . . . . . . . . . . . 14 -(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„*
10 3re 8993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 โˆˆ โ„
1110, 5remulcli 7971 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 ยท (ฯ€ / 2)) โˆˆ โ„
1211rexri 8015 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ยท (ฯ€ / 2)) โˆˆ โ„*
13 elioo2 9921 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„* โˆง (3 ยท (ฯ€ / 2)) โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง -(ฯ€ / 2) < ๐ด โˆง ๐ด < (3 ยท (ฯ€ / 2)))))
149, 12, 13mp2an 426 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง -(ฯ€ / 2) < ๐ด โˆง ๐ด < (3 ยท (ฯ€ / 2))))
1514simp2bi 1013 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โ†’ -(ฯ€ / 2) < ๐ด)
1615adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โˆง ๐ด < (ฯ€ / 2)) โ†’ -(ฯ€ / 2) < ๐ด)
17 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โˆง ๐ด < (ฯ€ / 2)) โ†’ ๐ด < (ฯ€ / 2))
189a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โˆง ๐ด < (ฯ€ / 2)) โ†’ -(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„*)
195rexri 8015 . . . . . . . . . . . 12 (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„*
20 elioo2 9921 . . . . . . . . . . . 12 ((-(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„* โˆง (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2)) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง -(ฯ€ / 2) < ๐ด โˆง ๐ด < (ฯ€ / 2))))
2118, 19, 20sylancl 413 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โˆง ๐ด < (ฯ€ / 2)) โ†’ (๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2)) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง -(ฯ€ / 2) < ๐ด โˆง ๐ด < (ฯ€ / 2))))
228, 16, 17, 21mpbir3and 1180 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โˆง ๐ด < (ฯ€ / 2)) โ†’ ๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2)))
23 cosq14gt0 14256 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(ฯ€ / 2)) โ†’ 0 < (cosโ€˜๐ด))
2422, 23syl 14 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โˆง ๐ด < (ฯ€ / 2)) โ†’ 0 < (cosโ€˜๐ด))
2524adantlr 477 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โˆง (cosโ€˜๐ด) = 0) โˆง ๐ด < (ฯ€ / 2)) โ†’ 0 < (cosโ€˜๐ด))
26 simplr 528 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โˆง (cosโ€˜๐ด) = 0) โˆง ๐ด < (ฯ€ / 2)) โ†’ (cosโ€˜๐ด) = 0)
2725, 26breqtrd 4030 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โˆง (cosโ€˜๐ด) = 0) โˆง ๐ด < (ฯ€ / 2)) โ†’ 0 < 0)
2827ex 115 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โˆง (cosโ€˜๐ด) = 0) โ†’ (๐ด < (ฯ€ / 2) โ†’ 0 < 0))
29 simplr 528 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โˆง (cosโ€˜๐ด) = 0) โˆง (ฯ€ / 2) < ๐ด) โ†’ (cosโ€˜๐ด) = 0)
303adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โˆง (ฯ€ / 2) < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
31 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โˆง (ฯ€ / 2) < ๐ด) โ†’ (ฯ€ / 2) < ๐ด)
3214simp3bi 1014 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โ†’ ๐ด < (3 ยท (ฯ€ / 2)))
3332adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โˆง (ฯ€ / 2) < ๐ด) โ†’ ๐ด < (3 ยท (ฯ€ / 2)))
34 elioo2 9921 . . . . . . . . . . . 12 (((ฯ€ / 2) โˆˆ โ„* โˆง (3 ยท (ฯ€ / 2)) โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด โˆˆ ((ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง (ฯ€ / 2) < ๐ด โˆง ๐ด < (3 ยท (ฯ€ / 2)))))
3519, 12, 34mp2an 426 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ ((ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง (ฯ€ / 2) < ๐ด โˆง ๐ด < (3 ยท (ฯ€ / 2))))
3630, 31, 33, 35syl3anbrc 1181 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โˆง (ฯ€ / 2) < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ ((ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))))
37 cosq23lt0 14257 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ ((ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โ†’ (cosโ€˜๐ด) < 0)
3836, 37syl 14 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โˆง (ฯ€ / 2) < ๐ด) โ†’ (cosโ€˜๐ด) < 0)
3938adantlr 477 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โˆง (cosโ€˜๐ด) = 0) โˆง (ฯ€ / 2) < ๐ด) โ†’ (cosโ€˜๐ด) < 0)
4029, 39eqbrtrrd 4028 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โˆง (cosโ€˜๐ด) = 0) โˆง (ฯ€ / 2) < ๐ด) โ†’ 0 < 0)
4140ex 115 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โˆง (cosโ€˜๐ด) = 0) โ†’ ((ฯ€ / 2) < ๐ด โ†’ 0 < 0))
4228, 41jaod 717 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โˆง (cosโ€˜๐ด) = 0) โ†’ ((๐ด < (ฯ€ / 2) โˆจ (ฯ€ / 2) < ๐ด) โ†’ 0 < 0))
437, 42sylbid 150 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โˆง (cosโ€˜๐ด) = 0) โ†’ (๐ด # (ฯ€ / 2) โ†’ 0 < 0))
442, 43mtoi 664 . . 3 ((๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โˆง (cosโ€˜๐ด) = 0) โ†’ ยฌ ๐ด # (ฯ€ / 2))
453recnd 7986 . . . 4 (๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
46 picn 14211 . . . . 5 ฯ€ โˆˆ โ„‚
47 halfcl 9145 . . . . 5 (ฯ€ โˆˆ โ„‚ โ†’ (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„‚)
4846, 47mp1i 10 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โˆง (cosโ€˜๐ด) = 0) โ†’ (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„‚)
49 apti 8579 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด = (ฯ€ / 2) โ†” ยฌ ๐ด # (ฯ€ / 2)))
5045, 48, 49syl2an2r 595 . . 3 ((๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โˆง (cosโ€˜๐ด) = 0) โ†’ (๐ด = (ฯ€ / 2) โ†” ยฌ ๐ด # (ฯ€ / 2)))
5144, 50mpbird 167 . 2 ((๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โˆง (cosโ€˜๐ด) = 0) โ†’ ๐ด = (ฯ€ / 2))
52 fveq2 5516 . . . 4 (๐ด = (ฯ€ / 2) โ†’ (cosโ€˜๐ด) = (cosโ€˜(ฯ€ / 2)))
53 coshalfpi 14221 . . . 4 (cosโ€˜(ฯ€ / 2)) = 0
5452, 53eqtrdi 2226 . . 3 (๐ด = (ฯ€ / 2) โ†’ (cosโ€˜๐ด) = 0)
5554adantl 277 . 2 ((๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โˆง ๐ด = (ฯ€ / 2)) โ†’ (cosโ€˜๐ด) = 0)
5651, 55impbida 596 1 (๐ด โˆˆ (-(ฯ€ / 2)(,)(3 ยท (ฯ€ / 2))) โ†’ ((cosโ€˜๐ด) = 0 โ†” ๐ด = (ฯ€ / 2)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4004  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809  โ„cr 7810  0cc0 7811   ยท cmul 7816  โ„*cxr 7991   < clt 7992  -cneg 8129   # cap 8538   / cdiv 8629  2c2 8970  3c3 8971  (,)cioo 9888  cosccos 11653  ฯ€cpi 11655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931  ax-pre-suploc 7932  ax-addf 7933  ax-mulf 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-disj 3982  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-of 6083  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-map 6650  df-pm 6651  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-5 8981  df-6 8982  df-7 8983  df-8 8984  df-9 8985  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-xneg 9772  df-xadd 9773  df-ioo 9892  df-ioc 9893  df-ico 9894  df-icc 9895  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-fac 10706  df-bc 10728  df-ihash 10756  df-shft 10824  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362  df-ef 11656  df-sin 11658  df-cos 11659  df-pi 11661  df-rest 12690  df-topgen 12709  df-psmet 13450  df-xmet 13451  df-met 13452  df-bl 13453  df-mopn 13454  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-ntr 13599  df-cn 13691  df-cnp 13692  df-tx 13756  df-cncf 14061  df-limced 14128  df-dvap 14129
This theorem is referenced by:  coseq00topi  14259  coseq0negpitopi  14260
  Copyright terms: Public domain W3C validator