Theorem coseq0q4123 12963

Description: Location of the zeroes of cosine in (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
coseq0q4123	⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))

Proof of Theorem coseq0q4123

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7790	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2	1	ltnri 7880	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < 0
3		elioore 9725	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		halfpire 12921	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
6		reaplt 8374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 # (π / 2) ↔ (𝐴 < (π / 2) ∨ (π / 2) < 𝐴)))
7	4, 5, 6	sylancl 410	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 # (π / 2) ↔ (𝐴 < (π / 2) ∨ (π / 2) < 𝐴)))
8	3	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		neghalfpirx 12923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
10		3re 8818	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℝ
11	10, 5	remulcli 7804	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ
12	11	rexri 7847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*
13		elioo2 9734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2)))))
14	9, 12, 13	mp2an 423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))))
15	14	simp2bi 998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → -(π / 2) < 𝐴)
16	15	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → -(π / 2) < 𝐴)
17		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → 𝐴 < (π / 2))
18	9	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → -(π / 2) ∈ ℝ*)
19	5	rexri 7847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
20		elioo2 9734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (π / 2))))
21	18, 19, 20	sylancl 410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (π / 2))))
22	8, 16, 17, 21	mpbir3and 1165	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → 𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
23		cosq14gt0 12961	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝐴))
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → 0 < (cos‘𝐴))
25	24	adantlr 469	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → 0 < (cos‘𝐴))
26		simplr 520	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → (cos‘𝐴) = 0)
27	25, 26	breqtrd 3962	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → 0 < 0)
28	27	ex 114	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 < (π / 2) → 0 < 0))
29		simplr 520	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (cos‘𝐴) = 0)
30	3	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (π / 2) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
31		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (π / 2) < 𝐴)
32	14	simp3bi 999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 𝐴 < (3 · (π / 2)))
33	32	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (π / 2) < 𝐴) → 𝐴 < (3 · (π / 2)))
34		elioo2 9734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2)))))
35	19, 12, 34	mp2an 423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))))
36	30, 31, 33, 35	syl3anbrc 1166	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (π / 2) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))))
37		cosq23lt0 12962	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → (cos‘𝐴) < 0)
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (cos‘𝐴) < 0)
39	38	adantlr 469	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (cos‘𝐴) < 0)
40	29, 39	eqbrtrrd 3960	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) → 0 < 0)
41	40	ex 114	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → ((π / 2) < 𝐴 → 0 < 0))
42	28, 41	jaod 707	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → ((𝐴 < (π / 2) ∨ (π / 2) < 𝐴) → 0 < 0))
43	7, 42	sylbid 149	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 # (π / 2) → 0 < 0))
44	2, 43	mtoi 654	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → ¬ 𝐴 # (π / 2))
45	3	recnd 7818	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 𝐴 ∈ ℂ)
46		picn 12916	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℂ
47		halfcl 8970	. . . . 5 ⊢ (π ∈ ℂ → (π / 2) ∈ ℂ)
48	46, 47	mp1i 10	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (π / 2) ∈ ℂ)
49		apti 8408	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (π / 2) ∈ ℂ) → (𝐴 = (π / 2) ↔ ¬ 𝐴 # (π / 2)))
50	45, 48, 49	syl2an2r 585	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 = (π / 2) ↔ ¬ 𝐴 # (π / 2)))
51	44, 50	mpbird 166	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 = (π / 2))
52		fveq2 5429	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = (cos‘(π / 2)))
53		coshalfpi 12926	. . . 4 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
54	52, 53	eqtrdi 2189	. . 3 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = 0)
55	54	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 = (π / 2)) → (cos‘𝐴) = 0)
56	51, 55	impbida 586	1 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3937  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  ℂcc 7642  ℝcr 7643  0cc0 7644   · cmul 7649  ℝ^*cxr 7823   < clt 7824  -cneg 7958   # cap 8367   / cdiv 8456  2c2 8795  3c3 8796  (,)cioo 9701  cosccos 11388  πcpi 11390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764  ax-pre-suploc 7765  ax-addf 7766  ax-mulf 7767

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-disj 3915  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-of 5990  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-map 6552  df-pm 6553  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-sup 6879  df-inf 6880  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-5 8806  df-6 8807  df-7 8808  df-8 8809  df-9 8810  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-xneg 9589  df-xadd 9590  df-ioo 9705  df-ioc 9706  df-ico 9707  df-icc 9708  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-fac 10504  df-bc 10526  df-ihash 10554  df-shft 10619  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080  df-sumdc 11155  df-ef 11391  df-sin 11393  df-cos 11394  df-pi 11396  df-rest 12161  df-topgen 12180  df-psmet 12195  df-xmet 12196  df-met 12197  df-bl 12198  df-mopn 12199  df-top 12204  df-topon 12217  df-bases 12249  df-ntr 12304  df-cn 12396  df-cnp 12397  df-tx 12461  df-cncf 12766  df-limced 12833  df-dvap 12834

This theorem is referenced by:  coseq00topi  12964  coseq0negpitopi  12965