Theorem coseq0q4123 15628

Description: Location of the zeroes of cosine in (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
coseq0q4123	⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))

Proof of Theorem coseq0q4123

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8222	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2	1	ltnri 8314	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < 0
3		elioore 10191	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		halfpire 15586	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
6		reaplt 8810	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 # (π / 2) ↔ (𝐴 < (π / 2) ∨ (π / 2) < 𝐴)))
7	4, 5, 6	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 # (π / 2) ↔ (𝐴 < (π / 2) ∨ (π / 2) < 𝐴)))
8	3	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		neghalfpirx 15588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
10		3re 9259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℝ
11	10, 5	remulcli 8236	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ
12	11	rexri 8279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*
13		elioo2 10200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2)))))
14	9, 12, 13	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))))
15	14	simp2bi 1040	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → -(π / 2) < 𝐴)
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → -(π / 2) < 𝐴)
17		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → 𝐴 < (π / 2))
18	9	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → -(π / 2) ∈ ℝ*)
19	5	rexri 8279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
20		elioo2 10200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (π / 2))))
21	18, 19, 20	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (π / 2))))
22	8, 16, 17, 21	mpbir3and 1207	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → 𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
23		cosq14gt0 15626	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝐴))
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → 0 < (cos‘𝐴))
25	24	adantlr 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → 0 < (cos‘𝐴))
26		simplr 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → (cos‘𝐴) = 0)
27	25, 26	breqtrd 4119	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → 0 < 0)
28	27	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 < (π / 2) → 0 < 0))
29		simplr 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (cos‘𝐴) = 0)
30	3	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (π / 2) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
31		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (π / 2) < 𝐴)
32	14	simp3bi 1041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 𝐴 < (3 · (π / 2)))
33	32	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (π / 2) < 𝐴) → 𝐴 < (3 · (π / 2)))
34		elioo2 10200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2)))))
35	19, 12, 34	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))))
36	30, 31, 33, 35	syl3anbrc 1208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (π / 2) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))))
37		cosq23lt0 15627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → (cos‘𝐴) < 0)
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (cos‘𝐴) < 0)
39	38	adantlr 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (cos‘𝐴) < 0)
40	29, 39	eqbrtrrd 4117	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) → 0 < 0)
41	40	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → ((π / 2) < 𝐴 → 0 < 0))
42	28, 41	jaod 725	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → ((𝐴 < (π / 2) ∨ (π / 2) < 𝐴) → 0 < 0))
43	7, 42	sylbid 150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 # (π / 2) → 0 < 0))
44	2, 43	mtoi 670	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → ¬ 𝐴 # (π / 2))
45	3	recnd 8250	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 𝐴 ∈ ℂ)
46		picn 15581	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℂ
47		halfcl 9412	. . . . 5 ⊢ (π ∈ ℂ → (π / 2) ∈ ℂ)
48	46, 47	mp1i 10	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (π / 2) ∈ ℂ)
49		apti 8844	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (π / 2) ∈ ℂ) → (𝐴 = (π / 2) ↔ ¬ 𝐴 # (π / 2)))
50	45, 48, 49	syl2an2r 599	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 = (π / 2) ↔ ¬ 𝐴 # (π / 2)))
51	44, 50	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 = (π / 2))
52		fveq2 5648	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = (cos‘(π / 2)))
53		coshalfpi 15591	. . . 4 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
54	52, 53	eqtrdi 2280	. . 3 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = 0)
55	54	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 = (π / 2)) → (cos‘𝐴) = 0)
56	51, 55	impbida 600	1 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℂcc 8073  ℝcr 8074  0cc0 8075   · cmul 8080  ℝ^*cxr 8255   < clt 8256  -cneg 8393   # cap 8803   / cdiv 8894  2c2 9236  3c3 9237  (,)cioo 10167  cosccos 12269  πcpi 12271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195  ax-pre-suploc 8196  ax-addf 8197  ax-mulf 8198

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-disj 4070  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-map 6862  df-pm 6863  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-xneg 10051  df-xadd 10052  df-ioo 10171  df-ioc 10172  df-ico 10173  df-icc 10174  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-fac 11034  df-bc 11056  df-ihash 11084  df-shft 11438  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-clim 11902  df-sumdc 11977  df-ef 12272  df-sin 12274  df-cos 12275  df-pi 12277  df-rest 13387  df-topgen 13406  df-psmet 14622  df-xmet 14623  df-met 14624  df-bl 14625  df-mopn 14626  df-top 14792  df-topon 14805  df-bases 14837  df-ntr 14890  df-cn 14982  df-cnp 14983  df-tx 15047  df-cncf 15365  df-limced 15450  df-dvap 15451

This theorem is referenced by:  coseq00topi  15629  coseq0negpitopi  15630