Theorem coseq0q4123 15523

Description: Location of the zeroes of cosine in (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
coseq0q4123	⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))

Proof of Theorem coseq0q4123

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8157	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2	1	ltnri 8250	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < 0
3		elioore 10120	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		halfpire 15481	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
6		reaplt 8746	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 # (π / 2) ↔ (𝐴 < (π / 2) ∨ (π / 2) < 𝐴)))
7	4, 5, 6	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 # (π / 2) ↔ (𝐴 < (π / 2) ∨ (π / 2) < 𝐴)))
8	3	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		neghalfpirx 15483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
10		3re 9195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℝ
11	10, 5	remulcli 8171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ
12	11	rexri 8215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*
13		elioo2 10129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2)))))
14	9, 12, 13	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))))
15	14	simp2bi 1037	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → -(π / 2) < 𝐴)
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → -(π / 2) < 𝐴)
17		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → 𝐴 < (π / 2))
18	9	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → -(π / 2) ∈ ℝ*)
19	5	rexri 8215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
20		elioo2 10129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (π / 2))))
21	18, 19, 20	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (π / 2))))
22	8, 16, 17, 21	mpbir3and 1204	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → 𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
23		cosq14gt0 15521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝐴))
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → 0 < (cos‘𝐴))
25	24	adantlr 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → 0 < (cos‘𝐴))
26		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → (cos‘𝐴) = 0)
27	25, 26	breqtrd 4109	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → 0 < 0)
28	27	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 < (π / 2) → 0 < 0))
29		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (cos‘𝐴) = 0)
30	3	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (π / 2) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
31		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (π / 2) < 𝐴)
32	14	simp3bi 1038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 𝐴 < (3 · (π / 2)))
33	32	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (π / 2) < 𝐴) → 𝐴 < (3 · (π / 2)))
34		elioo2 10129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2)))))
35	19, 12, 34	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))))
36	30, 31, 33, 35	syl3anbrc 1205	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (π / 2) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))))
37		cosq23lt0 15522	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → (cos‘𝐴) < 0)
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (cos‘𝐴) < 0)
39	38	adantlr 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (cos‘𝐴) < 0)
40	29, 39	eqbrtrrd 4107	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) → 0 < 0)
41	40	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → ((π / 2) < 𝐴 → 0 < 0))
42	28, 41	jaod 722	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → ((𝐴 < (π / 2) ∨ (π / 2) < 𝐴) → 0 < 0))
43	7, 42	sylbid 150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 # (π / 2) → 0 < 0))
44	2, 43	mtoi 668	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → ¬ 𝐴 # (π / 2))
45	3	recnd 8186	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 𝐴 ∈ ℂ)
46		picn 15476	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℂ
47		halfcl 9348	. . . . 5 ⊢ (π ∈ ℂ → (π / 2) ∈ ℂ)
48	46, 47	mp1i 10	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (π / 2) ∈ ℂ)
49		apti 8780	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (π / 2) ∈ ℂ) → (𝐴 = (π / 2) ↔ ¬ 𝐴 # (π / 2)))
50	45, 48, 49	syl2an2r 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 = (π / 2) ↔ ¬ 𝐴 # (π / 2)))
51	44, 50	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 = (π / 2))
52		fveq2 5629	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = (cos‘(π / 2)))
53		coshalfpi 15486	. . . 4 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
54	52, 53	eqtrdi 2278	. . 3 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = 0)
55	54	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 = (π / 2)) → (cos‘𝐴) = 0)
56	51, 55	impbida 598	1 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℂcc 8008  ℝcr 8009  0cc0 8010   · cmul 8015  ℝ^*cxr 8191   < clt 8192  -cneg 8329   # cap 8739   / cdiv 8830  2c2 9172  3c3 9173  (,)cioo 10096  cosccos 12171  πcpi 12173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130  ax-pre-suploc 8131  ax-addf 8132  ax-mulf 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-disj 4060  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-of 6224  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-map 6805  df-pm 6806  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-sup 7162  df-inf 7163  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-xneg 9980  df-xadd 9981  df-ioo 10100  df-ioc 10101  df-ico 10102  df-icc 10103  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-fac 10960  df-bc 10982  df-ihash 11010  df-shft 11341  df-cj 11368  df-re 11369  df-im 11370  df-rsqrt 11524  df-abs 11525  df-clim 11805  df-sumdc 11880  df-ef 12174  df-sin 12176  df-cos 12177  df-pi 12179  df-rest 13289  df-topgen 13308  df-psmet 14522  df-xmet 14523  df-met 14524  df-bl 14525  df-mopn 14526  df-top 14687  df-topon 14700  df-bases 14732  df-ntr 14785  df-cn 14877  df-cnp 14878  df-tx 14942  df-cncf 15260  df-limced 15345  df-dvap 15346

This theorem is referenced by:  coseq00topi  15524  coseq0negpitopi  15525