Theorem coseq0q4123 15248

Description: Location of the zeroes of cosine in (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
coseq0q4123	⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))

Proof of Theorem coseq0q4123

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8071	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2	1	ltnri 8164	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < 0
3		elioore 10033	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		halfpire 15206	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
6		reaplt 8660	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 # (π / 2) ↔ (𝐴 < (π / 2) ∨ (π / 2) < 𝐴)))
7	4, 5, 6	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 # (π / 2) ↔ (𝐴 < (π / 2) ∨ (π / 2) < 𝐴)))
8	3	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		neghalfpirx 15208	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
10		3re 9109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℝ
11	10, 5	remulcli 8085	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ
12	11	rexri 8129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*
13		elioo2 10042	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2)))))
14	9, 12, 13	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))))
15	14	simp2bi 1015	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → -(π / 2) < 𝐴)
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → -(π / 2) < 𝐴)
17		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → 𝐴 < (π / 2))
18	9	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → -(π / 2) ∈ ℝ*)
19	5	rexri 8129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
20		elioo2 10042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (π / 2))))
21	18, 19, 20	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (π / 2))))
22	8, 16, 17, 21	mpbir3and 1182	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → 𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
23		cosq14gt0 15246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝐴))
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → 0 < (cos‘𝐴))
25	24	adantlr 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → 0 < (cos‘𝐴))
26		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → (cos‘𝐴) = 0)
27	25, 26	breqtrd 4069	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → 0 < 0)
28	27	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 < (π / 2) → 0 < 0))
29		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (cos‘𝐴) = 0)
30	3	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (π / 2) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
31		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (π / 2) < 𝐴)
32	14	simp3bi 1016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 𝐴 < (3 · (π / 2)))
33	32	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (π / 2) < 𝐴) → 𝐴 < (3 · (π / 2)))
34		elioo2 10042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2)))))
35	19, 12, 34	mp2an 426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))))
36	30, 31, 33, 35	syl3anbrc 1183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (π / 2) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))))
37		cosq23lt0 15247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → (cos‘𝐴) < 0)
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (cos‘𝐴) < 0)
39	38	adantlr 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (cos‘𝐴) < 0)
40	29, 39	eqbrtrrd 4067	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) → 0 < 0)
41	40	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → ((π / 2) < 𝐴 → 0 < 0))
42	28, 41	jaod 718	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → ((𝐴 < (π / 2) ∨ (π / 2) < 𝐴) → 0 < 0))
43	7, 42	sylbid 150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 # (π / 2) → 0 < 0))
44	2, 43	mtoi 665	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → ¬ 𝐴 # (π / 2))
45	3	recnd 8100	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 𝐴 ∈ ℂ)
46		picn 15201	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℂ
47		halfcl 9262	. . . . 5 ⊢ (π ∈ ℂ → (π / 2) ∈ ℂ)
48	46, 47	mp1i 10	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (π / 2) ∈ ℂ)
49		apti 8694	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (π / 2) ∈ ℂ) → (𝐴 = (π / 2) ↔ ¬ 𝐴 # (π / 2)))
50	45, 48, 49	syl2an2r 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 = (π / 2) ↔ ¬ 𝐴 # (π / 2)))
51	44, 50	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 = (π / 2))
52		fveq2 5575	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = (cos‘(π / 2)))
53		coshalfpi 15211	. . . 4 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
54	52, 53	eqtrdi 2253	. . 3 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = 0)
55	54	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 = (π / 2)) → (cos‘𝐴) = 0)
56	51, 55	impbida 596	1 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∧ w3a 980   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  ‘cfv 5270  (class class class)co 5943  ℂcc 7922  ℝcr 7923  0cc0 7924   · cmul 7929  ℝ^*cxr 8105   < clt 8106  -cneg 8243   # cap 8653   / cdiv 8744  2c2 9086  3c3 9087  (,)cioo 10009  cosccos 11898  πcpi 11900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044  ax-pre-suploc 8045  ax-addf 8046  ax-mulf 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-disj 4021  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-isom 5279  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-of 6157  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-irdg 6455  df-frec 6476  df-1o 6501  df-oadd 6505  df-er 6619  df-map 6736  df-pm 6737  df-en 6827  df-dom 6828  df-fin 6829  df-sup 7085  df-inf 7086  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-5 9097  df-6 9098  df-7 9099  df-8 9100  df-9 9101  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-xneg 9893  df-xadd 9894  df-ioo 10013  df-ioc 10014  df-ico 10015  df-icc 10016  df-fz 10130  df-fzo 10264  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-fac 10869  df-bc 10891  df-ihash 10919  df-shft 11068  df-cj 11095  df-re 11096  df-im 11097  df-rsqrt 11251  df-abs 11252  df-clim 11532  df-sumdc 11607  df-ef 11901  df-sin 11903  df-cos 11904  df-pi 11906  df-rest 13015  df-topgen 13034  df-psmet 14247  df-xmet 14248  df-met 14249  df-bl 14250  df-mopn 14251  df-top 14412  df-topon 14425  df-bases 14457  df-ntr 14510  df-cn 14602  df-cnp 14603  df-tx 14667  df-cncf 14985  df-limced 15070  df-dvap 15071

This theorem is referenced by:  coseq00topi  15249  coseq0negpitopi  15250