Theorem reeff1oleme 15856

Description: Lemma for reeff1o 15857. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
reeff1oleme	⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑈)

Distinct variable group:   𝑥,𝑈

Proof of Theorem reeff1oleme

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ere 12420	. . . . 5 ⊢ e ∈ ℝ
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → e ∈ ℝ)
3		elioore 10297	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → 𝑈 ∈ ℝ)
4		0xr 8366	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
5	1	rexri 8377	. . . . . . 7 ⊢ e ∈ ℝ*
6		elioo2 10306	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ e ∈ ℝ*) → (𝑈 ∈ (0(,)e) ↔ (𝑈 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑈 ∧ 𝑈 < e)))
7	4, 5, 6	mp2an 430	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) ↔ (𝑈 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑈 ∧ 𝑈 < e))
8	7	simp2bi 1044	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → 0 < 𝑈)
9	3, 8	gt0ap0d 8951	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → 𝑈 # 0)
10	2, 3, 9	redivclapd 9159	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → (e / 𝑈) ∈ ℝ)
11	3	recnd 8348	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → 𝑈 ∈ ℂ)
12	11	mullidd 8338	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → (1 · 𝑈) = 𝑈)
13	7	simp3bi 1045	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → 𝑈 < e)
14	12, 13	eqbrtrd 4150	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → (1 · 𝑈) < e)
15		1red 8335	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → 1 ∈ ℝ)
16		ltmuldiv 9198	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ (𝑈 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑈)) → ((1 · 𝑈) < e ↔ 1 < (e / 𝑈)))
17	15, 2, 3, 8, 16	syl112anc 1282	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → ((1 · 𝑈) < e ↔ 1 < (e / 𝑈)))
18	14, 17	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → 1 < (e / 𝑈))
19		reeff1olem 15855	. . 3 ⊢ (((e / 𝑈) ∈ ℝ ∧ 1 < (e / 𝑈)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))
20	10, 18, 19	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))
21		1red 8335	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → 1 ∈ ℝ)
22		simprl 535	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → 𝑦 ∈ ℝ)
23	21, 22	resubcld 8702	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → (1 − 𝑦) ∈ ℝ)
24		1cnd 8336	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → 1 ∈ ℂ)
25	22	recnd 8348	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → 𝑦 ∈ ℂ)
26		efsub 12431	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(1 − 𝑦)) = ((exp‘1) / (exp‘𝑦)))
27	24, 25, 26	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → (exp‘(1 − 𝑦)) = ((exp‘1) / (exp‘𝑦)))
28		simprr 537	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))
29		df-e 12399	. . . . . . . 8 ⊢ e = (exp‘1)
30	29	oveq1i 6089	. . . . . . 7 ⊢ (e / 𝑈) = ((exp‘1) / 𝑈)
31	28, 30	eqtr2di 2288	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → ((exp‘1) / 𝑈) = (exp‘𝑦))
32		efcl 12414	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℂ → (exp‘1) ∈ ℂ)
33	24, 32	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → (exp‘1) ∈ ℂ)
34		efcl 12414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
35	25, 34	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
36	11	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → 𝑈 ∈ ℂ)
37	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → 𝑈 # 0)
38	33, 35, 36, 37	divmulap2d 9148	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → (((exp‘1) / 𝑈) = (exp‘𝑦) ↔ (exp‘1) = (𝑈 · (exp‘𝑦))))
39	31, 38	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → (exp‘1) = (𝑈 · (exp‘𝑦)))
40	22	rpefcld 12436	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → (exp‘𝑦) ∈ ℝ+)
41	40	rpap0d 10086	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → (exp‘𝑦) # 0)
42	33, 36, 35, 41	divmulap3d 9149	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → (((exp‘1) / (exp‘𝑦)) = 𝑈 ↔ (exp‘1) = (𝑈 · (exp‘𝑦))))
43	39, 42	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → ((exp‘1) / (exp‘𝑦)) = 𝑈)
44	27, 43	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → (exp‘(1 − 𝑦)) = 𝑈)
45		fveqeq2 5702	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (1 − 𝑦) → ((exp‘𝑥) = 𝑈 ↔ (exp‘(1 − 𝑦)) = 𝑈))
46	45	rspcev 2929	. . 3 ⊢ (((1 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (exp‘(1 − 𝑦)) = 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑈)
47	23, 44, 46	syl2anc 415	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑈)
48	20, 47	rexlimddv 2673	1 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℂcc 8171  ℝcr 8172  0cc0 8173  1c1 8174   · cmul 8178  ℝ^*cxr 8353   < clt 8354   − cmin 8491   # cap 8903   / cdiv 8996  (,)cioo 10273  expce 12392  eceu 12393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293  ax-pre-suploc 8294  ax-addf 8295  ax-mulf 8296

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-disj 4105  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-of 6296  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-frec 6656  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-er 6801  df-map 6918  df-pm 6919  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-sup 7318  df-inf 7319  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-xneg 10157  df-xadd 10158  df-ioo 10277  df-ico 10279  df-icc 10280  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-fac 11147  df-bc 11169  df-ihash 11198  df-shft 11563  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-clim 12028  df-sumdc 12103  df-ef 12398  df-e 12399  df-rest 13578  df-topgen 13597  df-psmet 14863  df-xmet 14864  df-met 14865  df-bl 14866  df-mopn 14867  df-top 15082  df-topon 15095  df-bases 15127  df-ntr 15180  df-cn 15272  df-cnp 15273  df-tx 15337  df-cncf 15655  df-limced 15740  df-dvap 15741

This theorem is referenced by:  reeff1o  15857