Theorem reeff1oleme 15294

Description: Lemma for reeff1o 15295. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
reeff1oleme	⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑈)

Distinct variable group:   𝑥,𝑈

Proof of Theorem reeff1oleme

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ere 12031	. . . . 5 ⊢ e ∈ ℝ
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → e ∈ ℝ)
3		elioore 10047	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → 𝑈 ∈ ℝ)
4		0xr 8132	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
5	1	rexri 8143	. . . . . . 7 ⊢ e ∈ ℝ*
6		elioo2 10056	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ e ∈ ℝ*) → (𝑈 ∈ (0(,)e) ↔ (𝑈 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑈 ∧ 𝑈 < e)))
7	4, 5, 6	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) ↔ (𝑈 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑈 ∧ 𝑈 < e))
8	7	simp2bi 1016	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → 0 < 𝑈)
9	3, 8	gt0ap0d 8715	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → 𝑈 # 0)
10	2, 3, 9	redivclapd 8921	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → (e / 𝑈) ∈ ℝ)
11	3	recnd 8114	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → 𝑈 ∈ ℂ)
12	11	mulid2d 8104	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → (1 · 𝑈) = 𝑈)
13	7	simp3bi 1017	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → 𝑈 < e)
14	12, 13	eqbrtrd 4070	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → (1 · 𝑈) < e)
15		1red 8100	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → 1 ∈ ℝ)
16		ltmuldiv 8960	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ (𝑈 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑈)) → ((1 · 𝑈) < e ↔ 1 < (e / 𝑈)))
17	15, 2, 3, 8, 16	syl112anc 1254	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → ((1 · 𝑈) < e ↔ 1 < (e / 𝑈)))
18	14, 17	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → 1 < (e / 𝑈))
19		reeff1olem 15293	. . 3 ⊢ (((e / 𝑈) ∈ ℝ ∧ 1 < (e / 𝑈)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))
20	10, 18, 19	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))
21		1red 8100	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → 1 ∈ ℝ)
22		simprl 529	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → 𝑦 ∈ ℝ)
23	21, 22	resubcld 8466	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → (1 − 𝑦) ∈ ℝ)
24		1cnd 8101	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → 1 ∈ ℂ)
25	22	recnd 8114	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → 𝑦 ∈ ℂ)
26		efsub 12042	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(1 − 𝑦)) = ((exp‘1) / (exp‘𝑦)))
27	24, 25, 26	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → (exp‘(1 − 𝑦)) = ((exp‘1) / (exp‘𝑦)))
28		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))
29		df-e 12010	. . . . . . . 8 ⊢ e = (exp‘1)
30	29	oveq1i 5964	. . . . . . 7 ⊢ (e / 𝑈) = ((exp‘1) / 𝑈)
31	28, 30	eqtr2di 2256	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → ((exp‘1) / 𝑈) = (exp‘𝑦))
32		efcl 12025	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℂ → (exp‘1) ∈ ℂ)
33	24, 32	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → (exp‘1) ∈ ℂ)
34		efcl 12025	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
35	25, 34	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
36	11	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → 𝑈 ∈ ℂ)
37	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → 𝑈 # 0)
38	33, 35, 36, 37	divmulap2d 8910	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → (((exp‘1) / 𝑈) = (exp‘𝑦) ↔ (exp‘1) = (𝑈 · (exp‘𝑦))))
39	31, 38	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → (exp‘1) = (𝑈 · (exp‘𝑦)))
40	22	rpefcld 12047	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → (exp‘𝑦) ∈ ℝ+)
41	40	rpap0d 9837	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → (exp‘𝑦) # 0)
42	33, 36, 35, 41	divmulap3d 8911	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → (((exp‘1) / (exp‘𝑦)) = 𝑈 ↔ (exp‘1) = (𝑈 · (exp‘𝑦))))
43	39, 42	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → ((exp‘1) / (exp‘𝑦)) = 𝑈)
44	27, 43	eqtrd 2239	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → (exp‘(1 − 𝑦)) = 𝑈)
45		fveqeq2 5595	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (1 − 𝑦) → ((exp‘𝑥) = 𝑈 ↔ (exp‘(1 − 𝑦)) = 𝑈))
46	45	rspcev 2879	. . 3 ⊢ (((1 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (exp‘(1 − 𝑦)) = 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑈)
47	23, 44, 46	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑈)
48	20, 47	rexlimddv 2629	1 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∃wrex 2486   class class class wbr 4048  ‘cfv 5277  (class class class)co 5954  ℂcc 7936  ℝcr 7937  0cc0 7938  1c1 7939   · cmul 7943  ℝ^*cxr 8119   < clt 8120   − cmin 8256   # cap 8667   / cdiv 8758  (,)cioo 10023  expce 12003  eceu 12004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-mulrcl 8037  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-1rid 8045  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-precex 8048  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-apti 8053  ax-pre-ltadd 8054  ax-pre-mulgt0 8055  ax-pre-mulext 8056  ax-arch 8057  ax-caucvg 8058  ax-pre-suploc 8059  ax-addf 8060  ax-mulf 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-if 3574  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-disj 4025  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-tr 4148  df-id 4345  df-po 4348  df-iso 4349  df-iord 4418  df-on 4420  df-ilim 4421  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-isom 5286  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-of 6168  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-recs 6401  df-irdg 6466  df-frec 6487  df-1o 6512  df-oadd 6516  df-er 6630  df-map 6747  df-pm 6748  df-en 6838  df-dom 6839  df-fin 6840  df-sup 7098  df-inf 7099  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-reap 8661  df-ap 8668  df-div 8759  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-4 9110  df-n0 9309  df-z 9386  df-uz 9662  df-q 9754  df-rp 9789  df-xneg 9907  df-xadd 9908  df-ioo 10027  df-ico 10029  df-icc 10030  df-fz 10144  df-fzo 10278  df-seqfrec 10606  df-exp 10697  df-fac 10884  df-bc 10906  df-ihash 10934  df-shft 11176  df-cj 11203  df-re 11204  df-im 11205  df-rsqrt 11359  df-abs 11360  df-clim 11640  df-sumdc 11715  df-ef 12009  df-e 12010  df-rest 13123  df-topgen 13142  df-psmet 14355  df-xmet 14356  df-met 14357  df-bl 14358  df-mopn 14359  df-top 14520  df-topon 14533  df-bases 14565  df-ntr 14618  df-cn 14710  df-cnp 14711  df-tx 14775  df-cncf 15093  df-limced 15178  df-dvap 15179

This theorem is referenced by:  reeff1o  15295