Theorem reeff1oleme 13333

Description: Lemma for reeff1o 13334. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
reeff1oleme	⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑈)

Distinct variable group:   𝑥,𝑈

Proof of Theorem reeff1oleme

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ere 11611	. . . . 5 ⊢ e ∈ ℝ
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → e ∈ ℝ)
3		elioore 9848	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → 𝑈 ∈ ℝ)
4		0xr 7945	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
5	1	rexri 7956	. . . . . . 7 ⊢ e ∈ ℝ*
6		elioo2 9857	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ e ∈ ℝ*) → (𝑈 ∈ (0(,)e) ↔ (𝑈 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑈 ∧ 𝑈 < e)))
7	4, 5, 6	mp2an 423	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) ↔ (𝑈 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑈 ∧ 𝑈 < e))
8	7	simp2bi 1003	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → 0 < 𝑈)
9	3, 8	gt0ap0d 8527	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → 𝑈 # 0)
10	2, 3, 9	redivclapd 8731	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → (e / 𝑈) ∈ ℝ)
11	3	recnd 7927	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → 𝑈 ∈ ℂ)
12	11	mulid2d 7917	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → (1 · 𝑈) = 𝑈)
13	7	simp3bi 1004	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → 𝑈 < e)
14	12, 13	eqbrtrd 4004	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → (1 · 𝑈) < e)
15		1red 7914	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → 1 ∈ ℝ)
16		ltmuldiv 8769	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ (𝑈 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑈)) → ((1 · 𝑈) < e ↔ 1 < (e / 𝑈)))
17	15, 2, 3, 8, 16	syl112anc 1232	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → ((1 · 𝑈) < e ↔ 1 < (e / 𝑈)))
18	14, 17	mpbid 146	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → 1 < (e / 𝑈))
19		reeff1olem 13332	. . 3 ⊢ (((e / 𝑈) ∈ ℝ ∧ 1 < (e / 𝑈)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))
20	10, 18, 19	syl2anc 409	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))
21		1red 7914	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → 1 ∈ ℝ)
22		simprl 521	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → 𝑦 ∈ ℝ)
23	21, 22	resubcld 8279	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → (1 − 𝑦) ∈ ℝ)
24		1cnd 7915	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → 1 ∈ ℂ)
25	22	recnd 7927	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → 𝑦 ∈ ℂ)
26		efsub 11622	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(1 − 𝑦)) = ((exp‘1) / (exp‘𝑦)))
27	24, 25, 26	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → (exp‘(1 − 𝑦)) = ((exp‘1) / (exp‘𝑦)))
28		simprr 522	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))
29		df-e 11590	. . . . . . . 8 ⊢ e = (exp‘1)
30	29	oveq1i 5852	. . . . . . 7 ⊢ (e / 𝑈) = ((exp‘1) / 𝑈)
31	28, 30	eqtr2di 2216	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → ((exp‘1) / 𝑈) = (exp‘𝑦))
32		efcl 11605	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℂ → (exp‘1) ∈ ℂ)
33	24, 32	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → (exp‘1) ∈ ℂ)
34		efcl 11605	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
35	25, 34	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
36	11	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → 𝑈 ∈ ℂ)
37	9	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → 𝑈 # 0)
38	33, 35, 36, 37	divmulap2d 8720	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → (((exp‘1) / 𝑈) = (exp‘𝑦) ↔ (exp‘1) = (𝑈 · (exp‘𝑦))))
39	31, 38	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → (exp‘1) = (𝑈 · (exp‘𝑦)))
40	22	rpefcld 11627	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → (exp‘𝑦) ∈ ℝ+)
41	40	rpap0d 9638	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → (exp‘𝑦) # 0)
42	33, 36, 35, 41	divmulap3d 8721	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → (((exp‘1) / (exp‘𝑦)) = 𝑈 ↔ (exp‘1) = (𝑈 · (exp‘𝑦))))
43	39, 42	mpbird 166	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → ((exp‘1) / (exp‘𝑦)) = 𝑈)
44	27, 43	eqtrd 2198	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → (exp‘(1 − 𝑦)) = 𝑈)
45		fveqeq2 5495	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (1 − 𝑦) → ((exp‘𝑥) = 𝑈 ↔ (exp‘(1 − 𝑦)) = 𝑈))
46	45	rspcev 2830	. . 3 ⊢ (((1 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (exp‘(1 − 𝑦)) = 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑈)
47	23, 44, 46	syl2anc 409	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ (0(,)e) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) = (e / 𝑈))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑈)
48	20, 47	rexlimddv 2588	1 ⊢ (𝑈 ∈ (0(,)e) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∃wrex 2445   class class class wbr 3982  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  ℝcr 7752  0cc0 7753  1c1 7754   · cmul 7758  ℝ^*cxr 7932   < clt 7933   − cmin 8069   # cap 8479   / cdiv 8568  (,)cioo 9824  expce 11583  eceu 11584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873  ax-pre-suploc 7874  ax-addf 7875  ax-mulf 7876

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-disj 3960  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-of 6050  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-map 6616  df-pm 6617  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-xneg 9708  df-xadd 9709  df-ioo 9828  df-ico 9830  df-icc 9831  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-fac 10639  df-bc 10661  df-ihash 10689  df-shft 10757  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295  df-ef 11589  df-e 11590  df-rest 12558  df-topgen 12577  df-psmet 12627  df-xmet 12628  df-met 12629  df-bl 12630  df-mopn 12631  df-top 12636  df-topon 12649  df-bases 12681  df-ntr 12736  df-cn 12828  df-cnp 12829  df-tx 12893  df-cncf 13198  df-limced 13265  df-dvap 13266

This theorem is referenced by:  reeff1o  13334