mulnqprlemfu - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem mulnqprlemfu 7796

Description: Lemma for mulnqpr 7797. The forward subset relationship for the upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
mulnqprlemfu	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) ⊆ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑙,𝑢 𝐵,𝑙,𝑢

Proof of Theorem mulnqprlemfu Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulnqprlemrl 7793	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)) ⊆ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩))
2		ltsonq 7618	. . . . . . . . 9 ⊢ <_Q Or Q
3		mulclnq 7596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ Q)
4		sonr 4414	. . . . . . . . 9 ⊢ (( <_Q Or Q ∧ (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ Q) → ¬ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵))
5	2, 3, 4	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵))
6		ltrelnq 7585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ <_Q ⊆ (Q × Q)
7	6	brel 4778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵) → ((𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ Q ∧ (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ Q))
8	7	simpld 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵) → (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ Q)
9		elex 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ Q → (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ V)
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵) → (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ V)
11		breq1 4091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = (𝐴 ·_Q 𝐵) → (𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵) ↔ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)))
12	10, 11	elab3 2958	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ {𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)} ↔ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵))
13	5, 12	sylnibr 683	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ {𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)})
14		ltnqex 7769	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)} ∈ V
15		gtnqex 7770	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢} ∈ V
16	14, 15	op1st 6309	. . . . . . . 8 ⊢ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}
17	16	eleq2i 2298	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) ↔ (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ {𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)})
18	13, 17	sylnibr 683	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩))
19	1, 18	ssneldd 3230	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))
20	19	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩)) → ¬ (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))
21		nqprlu 7767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
22		nqprlu 7767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
23		mulclpr 7792	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩) ∈ P)
24	21, 22, 23	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩) ∈ P)
25		prop 7695	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩) ∈ P → ⟨(1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
26	24, 25	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ⟨(1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
27		vex 2805	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑟 ∈ V
28		breq2 4092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑟 → ((𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢 ↔ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑟))
29	14, 15	op2nd 6310	. . . . . . . 8 ⊢ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}
30	27, 28, 29	elab2 2954	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) ↔ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑟)
31	30	biimpi 120	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) → (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑟)
32		prloc 7711	. . . . . 6 ⊢ ((⟨(1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P ∧ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑟) → ((𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))))
33	26, 31, 32	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩)) → ((𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))))
34	33	orcomd 736	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩)) → (𝑟 ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))))
35	20, 34	ecased 1385	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩)) → 𝑟 ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))
36	35	ex 115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝑟 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) → 𝑟 ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))))
37	36	ssrdv 3233	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) ⊆ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ∨ wo 715 ∈ wcel 2202 {cab 2217 Vcvv 2802 ⊆ wss 3200 ⟨cop 3672 class class class wbr 4088 Or wor 4392 ‘cfv 5326 (class class class)co 6018 1^st c1st 6301 2^nd c2nd 6302 Qcnq 7500 ·_Q cmq 7503 <_Q cltq 7505 Pcnp 7511 ·_P cmp 7514

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4204 ax-sep 4207 ax-nul 4215 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-nul 3495 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-tr 4188 df-eprel 4386 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-iord 4463 df-on 4465 df-suc 4468 df-iom 4689 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-f1 5331 df-fo 5332 df-f1o 5333 df-fv 5334 df-ov 6021 df-oprab 6022 df-mpo 6023 df-1st 6303 df-2nd 6304 df-recs 6471 df-irdg 6536 df-1o 6582 df-2o 6583 df-oadd 6586 df-omul 6587 df-er 6702 df-ec 6704 df-qs 6708 df-ni 7524 df-pli 7525 df-mi 7526 df-lti 7527 df-plpq 7564 df-mpq 7565 df-enq 7567 df-nqqs 7568 df-plqqs 7569 df-mqqs 7570 df-1nqqs 7571 df-rq 7572 df-ltnqqs 7573 df-enq0 7644 df-nq0 7645 df-0nq0 7646 df-plq0 7647 df-mq0 7648 df-inp 7686 df-imp 7689

This theorem is referenced by: mulnqpr 7797

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