mulnqprlemfu - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem mulnqprlemfu 7196

Description: Lemma for mulnqpr 7197. The forward subset relationship for the upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
mulnqprlemfu	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) ⊆ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑙,𝑢 𝐵,𝑙,𝑢

Proof of Theorem mulnqprlemfu Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulnqprlemrl 7193	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)) ⊆ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩))
2		ltsonq 7018	. . . . . . . . 9 ⊢ <_Q Or Q
3		mulclnq 6996	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ Q)
4		sonr 4153	. . . . . . . . 9 ⊢ (( <_Q Or Q ∧ (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ Q) → ¬ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵))
5	2, 3, 4	sylancr 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵))
6		ltrelnq 6985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ <_Q ⊆ (Q × Q)
7	6	brel 4503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵) → ((𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ Q ∧ (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ Q))
8	7	simpld 111	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵) → (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ Q)
9		elex 2631	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ Q → (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ V)
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵) → (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ V)
11		breq1 3854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = (𝐴 ·_Q 𝐵) → (𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵) ↔ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)))
12	10, 11	elab3 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ {𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)} ↔ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵))
13	5, 12	sylnibr 638	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ {𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)})
14		ltnqex 7169	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)} ∈ V
15		gtnqex 7170	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢} ∈ V
16	14, 15	op1st 5931	. . . . . . . 8 ⊢ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}
17	16	eleq2i 2155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) ↔ (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ {𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)})
18	13, 17	sylnibr 638	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩))
19	1, 18	ssneldd 3029	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))
20	19	adantr 271	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩)) → ¬ (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))
21		nqprlu 7167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
22		nqprlu 7167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
23		mulclpr 7192	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩) ∈ P)
24	21, 22, 23	syl2an 284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩) ∈ P)
25		prop 7095	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩) ∈ P → ⟨(1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
26	24, 25	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ⟨(1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
27		vex 2623	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑟 ∈ V
28		breq2 3855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑟 → ((𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢 ↔ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑟))
29	14, 15	op2nd 5932	. . . . . . . 8 ⊢ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}
30	27, 28, 29	elab2 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) ↔ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑟)
31	30	biimpi 119	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) → (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑟)
32		prloc 7111	. . . . . 6 ⊢ ((⟨(1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P ∧ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑟) → ((𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))))
33	26, 31, 32	syl2an 284	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩)) → ((𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))))
34	33	orcomd 684	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩)) → (𝑟 ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))))
35	20, 34	ecased 1286	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩)) → 𝑟 ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))
36	35	ex 114	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝑟 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) → 𝑟 ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))))
37	36	ssrdv 3032	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) ⊆ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 103 ∨ wo 665 ∈ wcel 1439 {cab 2075 Vcvv 2620 ⊆ wss 3000 ⟨cop 3453 class class class wbr 3851 Or wor 4131 ‘cfv 5028 (class class class)co 5666 1^st c1st 5923 2^nd c2nd 5924 Qcnq 6900 ·_Q cmq 6903 <_Q cltq 6905 Pcnp 6911 ·_P cmp 6914

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 580 ax-in2 581 ax-io 666 ax-5 1382 ax-7 1383 ax-gen 1384 ax-ie1 1428 ax-ie2 1429 ax-8 1441 ax-10 1442 ax-11 1443 ax-i12 1444 ax-bndl 1445 ax-4 1446 ax-13 1450 ax-14 1451 ax-17 1465 ax-i9 1469 ax-ial 1473 ax-i5r 1474 ax-ext 2071 ax-coll 3960 ax-sep 3963 ax-nul 3971 ax-pow 4015 ax-pr 4045 ax-un 4269 ax-setind 4366 ax-iinf 4416

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 782 df-3or 926 df-3an 927 df-tru 1293 df-fal 1296 df-nf 1396 df-sb 1694 df-eu 1952 df-mo 1953 df-clab 2076 df-cleq 2082 df-clel 2085 df-nfc 2218 df-ne 2257 df-ral 2365 df-rex 2366 df-reu 2367 df-rab 2369 df-v 2622 df-sbc 2842 df-csb 2935 df-dif 3002 df-un 3004 df-in 3006 df-ss 3013 df-nul 3288 df-pw 3435 df-sn 3456 df-pr 3457 df-op 3459 df-uni 3660 df-int 3695 df-iun 3738 df-br 3852 df-opab 3906 df-mpt 3907 df-tr 3943 df-eprel 4125 df-id 4129 df-po 4132 df-iso 4133 df-iord 4202 df-on 4204 df-suc 4207 df-iom 4419 df-xp 4458 df-rel 4459 df-cnv 4460 df-co 4461 df-dm 4462 df-rn 4463 df-res 4464 df-ima 4465 df-iota 4993 df-fun 5030 df-fn 5031 df-f 5032 df-f1 5033 df-fo 5034 df-f1o 5035 df-fv 5036 df-ov 5669 df-oprab 5670 df-mpt2 5671 df-1st 5925 df-2nd 5926 df-recs 6084 df-irdg 6149 df-1o 6195 df-2o 6196 df-oadd 6199 df-omul 6200 df-er 6306 df-ec 6308 df-qs 6312 df-ni 6924 df-pli 6925 df-mi 6926 df-lti 6927 df-plpq 6964 df-mpq 6965 df-enq 6967 df-nqqs 6968 df-plqqs 6969 df-mqqs 6970 df-1nqqs 6971 df-rq 6972 df-ltnqqs 6973 df-enq0 7044 df-nq0 7045 df-0nq0 7046 df-plq0 7047 df-mq0 7048 df-inp 7086 df-imp 7089

This theorem is referenced by: mulnqpr 7197

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