mulnqprlemfu - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem mulnqprlemfu 7907

Description: Lemma for mulnqpr 7908. The forward subset relationship for the upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
mulnqprlemfu	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) ⊆ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑙,𝑢 𝐵,𝑙,𝑢

Proof of Theorem mulnqprlemfu Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulnqprlemrl 7904	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)) ⊆ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩))
2		ltsonq 7729	. . . . . . . . 9 ⊢ <_Q Or Q
3		mulclnq 7707	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ Q)
4		sonr 4443	. . . . . . . . 9 ⊢ (( <_Q Or Q ∧ (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ Q) → ¬ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵))
5	2, 3, 4	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵))
6		ltrelnq 7696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ <_Q ⊆ (Q × Q)
7	6	brel 4807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵) → ((𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ Q ∧ (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ Q))
8	7	simpld 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵) → (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ Q)
9		elex 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ Q → (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ V)
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵) → (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ V)
11		breq1 4117	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = (𝐴 ·_Q 𝐵) → (𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵) ↔ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)))
12	10, 11	elab3 2972	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ {𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)} ↔ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵))
13	5, 12	sylnibr 684	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ {𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)})
14		ltnqex 7880	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)} ∈ V
15		gtnqex 7881	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢} ∈ V
16	14, 15	op1st 6353	. . . . . . . 8 ⊢ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}
17	16	eleq2i 2301	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) ↔ (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ {𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)})
18	13, 17	sylnibr 684	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩))
19	1, 18	ssneldd 3245	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ¬ (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))
20	19	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩)) → ¬ (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))
21		nqprlu 7878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
22		nqprlu 7878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
23		mulclpr 7903	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩) ∈ P)
24	21, 22, 23	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩) ∈ P)
25		prop 7806	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩) ∈ P → ⟨(1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
26	24, 25	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ⟨(1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
27		vex 2818	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑟 ∈ V
28		breq2 4118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑟 → ((𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢 ↔ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑟))
29	14, 15	op2nd 6354	. . . . . . . 8 ⊢ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}
30	27, 28, 29	elab2 2968	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) ↔ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑟)
31	30	biimpi 120	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) → (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑟)
32		prloc 7822	. . . . . 6 ⊢ ((⟨(1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P ∧ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑟) → ((𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))))
33	26, 31, 32	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩)) → ((𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))))
34	33	orcomd 737	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩)) → (𝑟 ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ (𝐴 ·_Q 𝐵) ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))))
35	20, 34	ecased 1386	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩)) → 𝑟 ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))
36	35	ex 115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝑟 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) → 𝑟 ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))))
37	36	ssrdv 3248	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 ·_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 ·_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) ⊆ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ·_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ∨ wo 716 ∈ wcel 2205 {cab 2220 Vcvv 2815 ⊆ wss 3214 ⟨cop 3697 class class class wbr 4114 Or wor 4421 ‘cfv 5357 (class class class)co 6058 1^st c1st 6345 2^nd c2nd 6346 Qcnq 7611 ·_Q cmq 7614 <_Q cltq 7616 Pcnp 7622 ·_P cmp 7625

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2207 ax-14 2208 ax-ext 2216 ax-coll 4230 ax-sep 4233 ax-nul 4241 ax-pow 4292 ax-pr 4327 ax-un 4559 ax-setind 4664 ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2085 df-mo 2086 df-clab 2221 df-cleq 2227 df-clel 2230 df-nfc 2375 df-ne 2415 df-ral 2527 df-rex 2528 df-reu 2529 df-rab 2531 df-v 2817 df-sbc 3046 df-csb 3142 df-dif 3216 df-un 3218 df-in 3220 df-ss 3227 df-nul 3513 df-pw 3676 df-sn 3700 df-pr 3701 df-op 3703 df-uni 3920 df-int 3955 df-iun 3998 df-br 4115 df-opab 4177 df-mpt 4178 df-tr 4214 df-eprel 4415 df-id 4419 df-po 4422 df-iso 4423 df-iord 4492 df-on 4494 df-suc 4497 df-iom 4718 df-xp 4760 df-rel 4761 df-cnv 4762 df-co 4763 df-dm 4764 df-rn 4765 df-res 4766 df-ima 4767 df-iota 5317 df-fun 5359 df-fn 5360 df-f 5361 df-f1 5362 df-fo 5363 df-f1o 5364 df-fv 5365 df-ov 6061 df-oprab 6062 df-mpo 6063 df-1st 6347 df-2nd 6348 df-recs 6549 df-irdg 6614 df-1o 6660 df-2o 6661 df-oadd 6664 df-omul 6665 df-er 6780 df-ec 6782 df-qs 6786 df-ni 7635 df-pli 7636 df-mi 7637 df-lti 7638 df-plpq 7675 df-mpq 7676 df-enq 7678 df-nqqs 7679 df-plqqs 7680 df-mqqs 7681 df-1nqqs 7682 df-rq 7683 df-ltnqqs 7684 df-enq0 7755 df-nq0 7756 df-0nq0 7757 df-plq0 7758 df-mq0 7759 df-inp 7797 df-imp 7800

This theorem is referenced by: mulnqpr 7908

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