addnqprlemfl - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem addnqprlemfl 7367

Description: Lemma for addnqpr 7369. The forward subset relationship for the lower cut. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
addnqprlemfl	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) ⊆ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑙,𝑢 𝐵,𝑙,𝑢

Proof of Theorem addnqprlemfl Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addnqprlemru 7366	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)) ⊆ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩))
2		ltsonq 7206	. . . . . . . . 9 ⊢ <_Q Or Q
3		addclnq 7183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ Q)
4		sonr 4239	. . . . . . . . 9 ⊢ (( <_Q Or Q ∧ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ Q) → ¬ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q (𝐴 +_Q 𝐵))
5	2, 3, 4	sylancr 410	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ¬ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q (𝐴 +_Q 𝐵))
6		ltrelnq 7173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ <_Q ⊆ (Q × Q)
7	6	brel 4591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 +_Q 𝐵) <_Q (𝐴 +_Q 𝐵) → ((𝐴 +_Q 𝐵) ∈ Q ∧ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ Q))
8	7	simpld 111	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +_Q 𝐵) <_Q (𝐴 +_Q 𝐵) → (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ Q)
9		elex 2697	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +_Q 𝐵) ∈ Q → (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ V)
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 +_Q 𝐵) <_Q (𝐴 +_Q 𝐵) → (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ V)
11		breq2 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝐴 +_Q 𝐵) → ((𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢 ↔ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)))
12	10, 11	elab3 2836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +_Q 𝐵) ∈ {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢} ↔ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q (𝐴 +_Q 𝐵))
13	5, 12	sylnibr 666	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ¬ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢})
14		ltnqex 7357	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)} ∈ V
15		gtnqex 7358	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢} ∈ V
16	14, 15	op2nd 6045	. . . . . . . 8 ⊢ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}
17	16	eleq2i 2206	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 +_Q 𝐵) ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) ↔ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢})
18	13, 17	sylnibr 666	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ¬ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩))
19	1, 18	ssneldd 3100	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ¬ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))
20	19	adantr 274	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩)) → ¬ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))
21		nqprlu 7355	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
22		nqprlu 7355	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
23		addclpr 7345	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩) ∈ P)
24	21, 22, 23	syl2an 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩) ∈ P)
25		prop 7283	. . . . . 6 ⊢ ((⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩) ∈ P → ⟨(1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
26	24, 25	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ⟨(1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
27		vex 2689	. . . . . . 7 ⊢ 𝑟 ∈ V
28		breq1 3932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑟 → (𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵) ↔ 𝑟 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)))
29	14, 15	op1st 6044	. . . . . . 7 ⊢ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}
30	27, 28, 29	elab2 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) ↔ 𝑟 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵))
31	30	biimpi 119	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) → 𝑟 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵))
32		prloc 7299	. . . . 5 ⊢ ((⟨(1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P ∧ 𝑟 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)) → (𝑟 ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))))
33	26, 31, 32	syl2an 287	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩)) → (𝑟 ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))))
34	20, 33	ecased 1327	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩)) → 𝑟 ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))
35	34	ex 114	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) → 𝑟 ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))))
36	35	ssrdv 3103	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) ⊆ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 103 ∨ wo 697 ∈ wcel 1480 {cab 2125 Vcvv 2686 ⊆ wss 3071 ⟨cop 3530 class class class wbr 3929 Or wor 4217 ‘cfv 5123 (class class class)co 5774 1^st c1st 6036 2^nd c2nd 6037 Qcnq 7088 +_Q cplq 7090 <_Q cltq 7093 Pcnp 7099 +_P cpp 7101

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 603 ax-in2 604 ax-io 698 ax-5 1423 ax-7 1424 ax-gen 1425 ax-ie1 1469 ax-ie2 1470 ax-8 1482 ax-10 1483 ax-11 1484 ax-i12 1485 ax-bndl 1486 ax-4 1487 ax-13 1491 ax-14 1492 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-ext 2121 ax-coll 4043 ax-sep 4046 ax-nul 4054 ax-pow 4098 ax-pr 4131 ax-un 4355 ax-setind 4452 ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 820 df-3or 963 df-3an 964 df-tru 1334 df-fal 1337 df-nf 1437 df-sb 1736 df-eu 2002 df-mo 2003 df-clab 2126 df-cleq 2132 df-clel 2135 df-nfc 2270 df-ne 2309 df-ral 2421 df-rex 2422 df-reu 2423 df-rab 2425 df-v 2688 df-sbc 2910 df-csb 3004 df-dif 3073 df-un 3075 df-in 3077 df-ss 3084 df-nul 3364 df-pw 3512 df-sn 3533 df-pr 3534 df-op 3536 df-uni 3737 df-int 3772 df-iun 3815 df-br 3930 df-opab 3990 df-mpt 3991 df-tr 4027 df-eprel 4211 df-id 4215 df-po 4218 df-iso 4219 df-iord 4288 df-on 4290 df-suc 4293 df-iom 4505 df-xp 4545 df-rel 4546 df-cnv 4547 df-co 4548 df-dm 4549 df-rn 4550 df-res 4551 df-ima 4552 df-iota 5088 df-fun 5125 df-fn 5126 df-f 5127 df-f1 5128 df-fo 5129 df-f1o 5130 df-fv 5131 df-ov 5777 df-oprab 5778 df-mpo 5779 df-1st 6038 df-2nd 6039 df-recs 6202 df-irdg 6267 df-1o 6313 df-2o 6314 df-oadd 6317 df-omul 6318 df-er 6429 df-ec 6431 df-qs 6435 df-ni 7112 df-pli 7113 df-mi 7114 df-lti 7115 df-plpq 7152 df-mpq 7153 df-enq 7155 df-nqqs 7156 df-plqqs 7157 df-mqqs 7158 df-1nqqs 7159 df-rq 7160 df-ltnqqs 7161 df-enq0 7232 df-nq0 7233 df-0nq0 7234 df-plq0 7235 df-mq0 7236 df-inp 7274 df-iplp 7276

This theorem is referenced by: addnqpr 7369

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