addnqprlemfl - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem addnqprlemfl 7762

Description: Lemma for addnqpr 7764. The forward subset relationship for the lower cut. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
addnqprlemfl	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) ⊆ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑙,𝑢 𝐵,𝑙,𝑢

Proof of Theorem addnqprlemfl Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addnqprlemru 7761	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)) ⊆ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩))
2		ltsonq 7601	. . . . . . . . 9 ⊢ <_Q Or Q
3		addclnq 7578	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ Q)
4		sonr 4409	. . . . . . . . 9 ⊢ (( <_Q Or Q ∧ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ Q) → ¬ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q (𝐴 +_Q 𝐵))
5	2, 3, 4	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ¬ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q (𝐴 +_Q 𝐵))
6		ltrelnq 7568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ <_Q ⊆ (Q × Q)
7	6	brel 4773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 +_Q 𝐵) <_Q (𝐴 +_Q 𝐵) → ((𝐴 +_Q 𝐵) ∈ Q ∧ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ Q))
8	7	simpld 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +_Q 𝐵) <_Q (𝐴 +_Q 𝐵) → (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ Q)
9		elex 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +_Q 𝐵) ∈ Q → (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ V)
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 +_Q 𝐵) <_Q (𝐴 +_Q 𝐵) → (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ V)
11		breq2 4087	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝐴 +_Q 𝐵) → ((𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢 ↔ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)))
12	10, 11	elab3 2955	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +_Q 𝐵) ∈ {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢} ↔ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q (𝐴 +_Q 𝐵))
13	5, 12	sylnibr 681	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ¬ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢})
14		ltnqex 7752	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)} ∈ V
15		gtnqex 7753	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢} ∈ V
16	14, 15	op2nd 6302	. . . . . . . 8 ⊢ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}
17	16	eleq2i 2296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 +_Q 𝐵) ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) ↔ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢})
18	13, 17	sylnibr 681	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ¬ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩))
19	1, 18	ssneldd 3227	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ¬ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))
20	19	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩)) → ¬ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))
21		nqprlu 7750	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
22		nqprlu 7750	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
23		addclpr 7740	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩) ∈ P)
24	21, 22, 23	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩) ∈ P)
25		prop 7678	. . . . . 6 ⊢ ((⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩) ∈ P → ⟨(1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
26	24, 25	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ⟨(1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
27		vex 2802	. . . . . . 7 ⊢ 𝑟 ∈ V
28		breq1 4086	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑟 → (𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵) ↔ 𝑟 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)))
29	14, 15	op1st 6301	. . . . . . 7 ⊢ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}
30	27, 28, 29	elab2 2951	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) ↔ 𝑟 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵))
31	30	biimpi 120	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) → 𝑟 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵))
32		prloc 7694	. . . . 5 ⊢ ((⟨(1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P ∧ 𝑟 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)) → (𝑟 ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))))
33	26, 31, 32	syl2an 289	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩)) → (𝑟 ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))))
34	20, 33	ecased 1383	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩)) → 𝑟 ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))
35	34	ex 115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) → 𝑟 ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))))
36	35	ssrdv 3230	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) ⊆ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ∨ wo 713 ∈ wcel 2200 {cab 2215 Vcvv 2799 ⊆ wss 3197 ⟨cop 3669 class class class wbr 4083 Or wor 4387 ‘cfv 5321 (class class class)co 6010 1^st c1st 6293 2^nd c2nd 6294 Qcnq 7483 +_Q cplq 7485 <_Q cltq 7488 Pcnp 7494 +_P cpp 7496

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4259 ax-pr 4294 ax-un 4525 ax-setind 4630 ax-iinf 4681

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-eprel 4381 df-id 4385 df-po 4388 df-iso 4389 df-iord 4458 df-on 4460 df-suc 4463 df-iom 4684 df-xp 4726 df-rel 4727 df-cnv 4728 df-co 4729 df-dm 4730 df-rn 4731 df-res 4732 df-ima 4733 df-iota 5281 df-fun 5323 df-fn 5324 df-f 5325 df-f1 5326 df-fo 5327 df-f1o 5328 df-fv 5329 df-ov 6013 df-oprab 6014 df-mpo 6015 df-1st 6295 df-2nd 6296 df-recs 6462 df-irdg 6527 df-1o 6573 df-2o 6574 df-oadd 6577 df-omul 6578 df-er 6693 df-ec 6695 df-qs 6699 df-ni 7507 df-pli 7508 df-mi 7509 df-lti 7510 df-plpq 7547 df-mpq 7548 df-enq 7550 df-nqqs 7551 df-plqqs 7552 df-mqqs 7553 df-1nqqs 7554 df-rq 7555 df-ltnqqs 7556 df-enq0 7627 df-nq0 7628 df-0nq0 7629 df-plq0 7630 df-mq0 7631 df-inp 7669 df-iplp 7671

This theorem is referenced by: addnqpr 7764

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