addnqprlemfl - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem addnqprlemfl 7309

Description: Lemma for addnqpr 7311. The forward subset relationship for the lower cut. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
addnqprlemfl	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) ⊆ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑙,𝑢 𝐵,𝑙,𝑢

Proof of Theorem addnqprlemfl Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addnqprlemru 7308	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)) ⊆ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩))
2		ltsonq 7148	. . . . . . . . 9 ⊢ <_Q Or Q
3		addclnq 7125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ Q)
4		sonr 4197	. . . . . . . . 9 ⊢ (( <_Q Or Q ∧ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ Q) → ¬ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q (𝐴 +_Q 𝐵))
5	2, 3, 4	sylancr 408	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ¬ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q (𝐴 +_Q 𝐵))
6		ltrelnq 7115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ <_Q ⊆ (Q × Q)
7	6	brel 4549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 +_Q 𝐵) <_Q (𝐴 +_Q 𝐵) → ((𝐴 +_Q 𝐵) ∈ Q ∧ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ Q))
8	7	simpld 111	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +_Q 𝐵) <_Q (𝐴 +_Q 𝐵) → (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ Q)
9		elex 2666	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +_Q 𝐵) ∈ Q → (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ V)
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 +_Q 𝐵) <_Q (𝐴 +_Q 𝐵) → (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ V)
11		breq2 3897	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝐴 +_Q 𝐵) → ((𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢 ↔ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)))
12	10, 11	elab3 2803	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +_Q 𝐵) ∈ {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢} ↔ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q (𝐴 +_Q 𝐵))
13	5, 12	sylnibr 649	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ¬ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢})
14		ltnqex 7299	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)} ∈ V
15		gtnqex 7300	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢} ∈ V
16	14, 15	op2nd 5997	. . . . . . . 8 ⊢ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}
17	16	eleq2i 2179	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 +_Q 𝐵) ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) ↔ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢})
18	13, 17	sylnibr 649	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ¬ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩))
19	1, 18	ssneldd 3064	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ¬ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))
20	19	adantr 272	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩)) → ¬ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))
21		nqprlu 7297	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
22		nqprlu 7297	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
23		addclpr 7287	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩) ∈ P)
24	21, 22, 23	syl2an 285	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩) ∈ P)
25		prop 7225	. . . . . 6 ⊢ ((⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩) ∈ P → ⟨(1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
26	24, 25	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ⟨(1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
27		vex 2658	. . . . . . 7 ⊢ 𝑟 ∈ V
28		breq1 3896	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑟 → (𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵) ↔ 𝑟 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)))
29	14, 15	op1st 5996	. . . . . . 7 ⊢ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}
30	27, 28, 29	elab2 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) ↔ 𝑟 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵))
31	30	biimpi 119	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) → 𝑟 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵))
32		prloc 7241	. . . . 5 ⊢ ((⟨(1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P ∧ 𝑟 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)) → (𝑟 ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))))
33	26, 31, 32	syl2an 285	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩)) → (𝑟 ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ (𝐴 +_Q 𝐵) ∈ (2^nd ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))))
34	20, 33	ecased 1308	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ 𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩)) → 𝑟 ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))
35	34	ex 114	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) → 𝑟 ∈ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩))))
36	35	ssrdv 3067	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (1^st ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝐴 +_Q 𝐵)}, {𝑢 ∣ (𝐴 +_Q 𝐵) <_Q 𝑢}⟩) ⊆ (1^st ‘(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐵}, {𝑢 ∣ 𝐵 <_Q 𝑢}⟩)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 103 ∨ wo 680 ∈ wcel 1461 {cab 2099 Vcvv 2655 ⊆ wss 3035 ⟨cop 3494 class class class wbr 3893 Or wor 4175 ‘cfv 5079 (class class class)co 5726 1^st c1st 5988 2^nd c2nd 5989 Qcnq 7030 +_Q cplq 7032 <_Q cltq 7035 Pcnp 7041 +_P cpp 7043

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 586 ax-in2 587 ax-io 681 ax-5 1404 ax-7 1405 ax-gen 1406 ax-ie1 1450 ax-ie2 1451 ax-8 1463 ax-10 1464 ax-11 1465 ax-i12 1466 ax-bndl 1467 ax-4 1468 ax-13 1472 ax-14 1473 ax-17 1487 ax-i9 1491 ax-ial 1495 ax-i5r 1496 ax-ext 2095 ax-coll 4001 ax-sep 4004 ax-nul 4012 ax-pow 4056 ax-pr 4089 ax-un 4313 ax-setind 4410 ax-iinf 4460

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 803 df-3or 944 df-3an 945 df-tru 1315 df-fal 1318 df-nf 1418 df-sb 1717 df-eu 1976 df-mo 1977 df-clab 2100 df-cleq 2106 df-clel 2109 df-nfc 2242 df-ne 2281 df-ral 2393 df-rex 2394 df-reu 2395 df-rab 2397 df-v 2657 df-sbc 2877 df-csb 2970 df-dif 3037 df-un 3039 df-in 3041 df-ss 3048 df-nul 3328 df-pw 3476 df-sn 3497 df-pr 3498 df-op 3500 df-uni 3701 df-int 3736 df-iun 3779 df-br 3894 df-opab 3948 df-mpt 3949 df-tr 3985 df-eprel 4169 df-id 4173 df-po 4176 df-iso 4177 df-iord 4246 df-on 4248 df-suc 4251 df-iom 4463 df-xp 4503 df-rel 4504 df-cnv 4505 df-co 4506 df-dm 4507 df-rn 4508 df-res 4509 df-ima 4510 df-iota 5044 df-fun 5081 df-fn 5082 df-f 5083 df-f1 5084 df-fo 5085 df-f1o 5086 df-fv 5087 df-ov 5729 df-oprab 5730 df-mpo 5731 df-1st 5990 df-2nd 5991 df-recs 6154 df-irdg 6219 df-1o 6265 df-2o 6266 df-oadd 6269 df-omul 6270 df-er 6381 df-ec 6383 df-qs 6387 df-ni 7054 df-pli 7055 df-mi 7056 df-lti 7057 df-plpq 7094 df-mpq 7095 df-enq 7097 df-nqqs 7098 df-plqqs 7099 df-mqqs 7100 df-1nqqs 7101 df-rq 7102 df-ltnqqs 7103 df-enq0 7174 df-nq0 7175 df-0nq0 7176 df-plq0 7177 df-mq0 7178 df-inp 7216 df-iplp 7218

This theorem is referenced by: addnqpr 7311

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