nqprl - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem nqprl 7918

Description: Comparing a fraction to a real can be done by whether it is an element of the lower cut, or by <_P. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jul-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
nqprl	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵) ↔ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵))

Distinct variable group: 𝐴,𝑙,𝑢 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑢, 𝑙)

Proof of Theorem nqprl Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prop 7842	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ P → ⟨(1^st ‘𝐵), (2^nd ‘𝐵)⟩ ∈ P)
2		prnmaxl 7855	. . . . . 6 ⊢ ((⟨(1^st ‘𝐵), (2^nd ‘𝐵)⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)𝐴 <_Q 𝑥)
3	1, 2	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)𝐴 <_Q 𝑥)
4		elprnql 7848	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨(1^st ‘𝐵), (2^nd ‘𝐵)⟩ ∈ P ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)) → 𝑥 ∈ Q)
5	1, 4	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)) → 𝑥 ∈ Q)
6	5	ad2ant2r 513	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝐴 <_Q 𝑥)) → 𝑥 ∈ Q)
7		vex 2824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑥 ∈ V
8		breq2 4134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝐴 <_Q 𝑢 ↔ 𝐴 <_Q 𝑥))
9	7, 8	elab 2970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢} ↔ 𝐴 <_Q 𝑥)
10	9	biimpri 133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 <_Q 𝑥 → 𝑥 ∈ {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢})
11		ltnqex 7916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴} ∈ V
12		gtnqex 7917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢} ∈ V
13	11, 12	op2nd 6381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) = {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}
14	13	eleq2i 2305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ↔ 𝑥 ∈ {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢})
15	10, 14	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 <_Q 𝑥 → 𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩))
16	15	ad2antll 495	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝐴 <_Q 𝑥)) → 𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩))
17		simprl 535	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝐴 <_Q 𝑥)) → 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))
18		19.8a 1643	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))) → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))))
19	6, 16, 17, 18	syl12anc 1276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝐴 <_Q 𝑥)) → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))))
20		df-rex 2534	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))))
21	19, 20	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝐴 <_Q 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)))
22		elprnql 7848	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨(1^st ‘𝐵), (2^nd ‘𝐵)⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) → 𝐴 ∈ Q)
23	1, 22	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) → 𝐴 ∈ Q)
24		simpl 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) → 𝐵 ∈ P)
25		nqprlu 7914	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
26		ltdfpr 7873	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))))
27	25, 26	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))))
28	23, 24, 27	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))))
29	28	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝐴 <_Q 𝑥)) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))))
30	21, 29	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝐴 <_Q 𝑥)) → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵)
31	3, 30	rexlimddv 2673	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵)
32	31	ex 115	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵) → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵))
33	32	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵) → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵))
34	27	biimpa 296	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵) → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)))
35	14, 9	bitri 184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ↔ 𝐴 <_Q 𝑥)
36	35	biimpi 120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) → 𝐴 <_Q 𝑥)
37	36	ad2antrl 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))) → 𝐴 <_Q 𝑥)
38	37	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)))) → 𝐴 <_Q 𝑥)
39		simpllr 540	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)))) → 𝐵 ∈ P)
40		simprrr 546	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)))) → 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))
41		prcdnql 7851	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨(1^st ‘𝐵), (2^nd ‘𝐵)⟩ ∈ P ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)) → (𝐴 <_Q 𝑥 → 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)))
42	1, 41	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)) → (𝐴 <_Q 𝑥 → 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)))
43	39, 40, 42	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)))) → (𝐴 <_Q 𝑥 → 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)))
44	38, 43	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)))) → 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵))
45	34, 44	rexlimddv 2673	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵) → 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵))
46	45	ex 115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵 → 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)))
47	33, 46	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵) ↔ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵))

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∃wex 1545 ∈ wcel 2209 {cab 2224 ∃wrex 2529 ⟨cop 3712 class class class wbr 4130 ‘cfv 5377 1^st c1st 6372 2^nd c2nd 6373 Qcnq 7647 <_Q cltq 7652 Pcnp 7658 <_P cltp 7662

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4246 ax-sep 4249 ax-nul 4259 ax-pow 4311 ax-pr 4346 ax-un 4578 ax-setind 4684 ax-iinf 4735

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-br 4131 df-opab 4193 df-mpt 4194 df-tr 4230 df-eprel 4434 df-id 4438 df-po 4441 df-iso 4442 df-iord 4511 df-on 4513 df-suc 4516 df-iom 4738 df-xp 4780 df-rel 4781 df-cnv 4782 df-co 4783 df-dm 4784 df-rn 4785 df-res 4786 df-ima 4787 df-iota 5337 df-fun 5379 df-fn 5380 df-f 5381 df-f1 5382 df-fo 5383 df-f1o 5384 df-fv 5385 df-ov 6088 df-oprab 6089 df-mpo 6090 df-1st 6374 df-2nd 6375 df-recs 6576 df-irdg 6641 df-1o 6687 df-oadd 6691 df-omul 6692 df-er 6807 df-ec 6809 df-qs 6813 df-ni 7671 df-pli 7672 df-mi 7673 df-lti 7674 df-plpq 7711 df-mpq 7712 df-enq 7714 df-nqqs 7715 df-plqqs 7716 df-mqqs 7717 df-1nqqs 7718 df-rq 7719 df-ltnqqs 7720 df-inp 7833 df-iltp 7837

This theorem is used by: caucvgprlemcanl 8011 cauappcvgprlem1 8026 archrecpr 8031 caucvgprlem1 8046 caucvgprprlemml 8061 caucvgprprlemopl 8064

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