nqprl - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem nqprl 7671

Description: Comparing a fraction to a real can be done by whether it is an element of the lower cut, or by <_P. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jul-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
nqprl	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵) ↔ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵))

Distinct variable group: 𝐴,𝑙,𝑢 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem nqprl Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prop 7595	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ P → ⟨(1^st ‘𝐵), (2^nd ‘𝐵)⟩ ∈ P)
2		prnmaxl 7608	. . . . . 6 ⊢ ((⟨(1^st ‘𝐵), (2^nd ‘𝐵)⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)𝐴 <_Q 𝑥)
3	1, 2	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)𝐴 <_Q 𝑥)
4		elprnql 7601	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨(1^st ‘𝐵), (2^nd ‘𝐵)⟩ ∈ P ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)) → 𝑥 ∈ Q)
5	1, 4	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)) → 𝑥 ∈ Q)
6	5	ad2ant2r 509	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝐴 <_Q 𝑥)) → 𝑥 ∈ Q)
7		vex 2776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑥 ∈ V
8		breq2 4051	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝐴 <_Q 𝑢 ↔ 𝐴 <_Q 𝑥))
9	7, 8	elab 2918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢} ↔ 𝐴 <_Q 𝑥)
10	9	biimpri 133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 <_Q 𝑥 → 𝑥 ∈ {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢})
11		ltnqex 7669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴} ∈ V
12		gtnqex 7670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢} ∈ V
13	11, 12	op2nd 6240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) = {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}
14	13	eleq2i 2273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ↔ 𝑥 ∈ {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢})
15	10, 14	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 <_Q 𝑥 → 𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩))
16	15	ad2antll 491	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝐴 <_Q 𝑥)) → 𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩))
17		simprl 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝐴 <_Q 𝑥)) → 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))
18		19.8a 1614	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))) → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))))
19	6, 16, 17, 18	syl12anc 1248	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝐴 <_Q 𝑥)) → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))))
20		df-rex 2491	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))))
21	19, 20	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝐴 <_Q 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)))
22		elprnql 7601	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨(1^st ‘𝐵), (2^nd ‘𝐵)⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) → 𝐴 ∈ Q)
23	1, 22	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) → 𝐴 ∈ Q)
24		simpl 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) → 𝐵 ∈ P)
25		nqprlu 7667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
26		ltdfpr 7626	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))))
27	25, 26	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))))
28	23, 24, 27	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))))
29	28	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝐴 <_Q 𝑥)) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))))
30	21, 29	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝐴 <_Q 𝑥)) → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵)
31	3, 30	rexlimddv 2629	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵)
32	31	ex 115	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵) → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵))
33	32	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵) → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵))
34	27	biimpa 296	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵) → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)))
35	14, 9	bitri 184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ↔ 𝐴 <_Q 𝑥)
36	35	biimpi 120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) → 𝐴 <_Q 𝑥)
37	36	ad2antrl 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))) → 𝐴 <_Q 𝑥)
38	37	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)))) → 𝐴 <_Q 𝑥)
39		simpllr 534	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)))) → 𝐵 ∈ P)
40		simprrr 540	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)))) → 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))
41		prcdnql 7604	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨(1^st ‘𝐵), (2^nd ‘𝐵)⟩ ∈ P ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)) → (𝐴 <_Q 𝑥 → 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)))
42	1, 41	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)) → (𝐴 <_Q 𝑥 → 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)))
43	39, 40, 42	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)))) → (𝐴 <_Q 𝑥 → 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)))
44	38, 43	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)))) → 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵))
45	34, 44	rexlimddv 2629	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵) → 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵))
46	45	ex 115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵 → 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)))
47	33, 46	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵) ↔ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∃wex 1516 ∈ wcel 2177 {cab 2192 ∃wrex 2486 ⟨cop 3637 class class class wbr 4047 ‘cfv 5276 1^st c1st 6231 2^nd c2nd 6232 Qcnq 7400 <_Q cltq 7405 Pcnp 7411 <_P cltp 7415

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1471 ax-7 1472 ax-gen 1473 ax-ie1 1517 ax-ie2 1518 ax-8 1528 ax-10 1529 ax-11 1530 ax-i12 1531 ax-bndl 1533 ax-4 1534 ax-17 1550 ax-i9 1554 ax-ial 1558 ax-i5r 1559 ax-13 2179 ax-14 2180 ax-ext 2188 ax-coll 4163 ax-sep 4166 ax-nul 4174 ax-pow 4222 ax-pr 4257 ax-un 4484 ax-setind 4589 ax-iinf 4640

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 837 df-3or 982 df-3an 983 df-tru 1376 df-fal 1379 df-nf 1485 df-sb 1787 df-eu 2058 df-mo 2059 df-clab 2193 df-cleq 2199 df-clel 2202 df-nfc 2338 df-ne 2378 df-ral 2490 df-rex 2491 df-reu 2492 df-rab 2494 df-v 2775 df-sbc 3000 df-csb 3095 df-dif 3169 df-un 3171 df-in 3173 df-ss 3180 df-nul 3462 df-pw 3619 df-sn 3640 df-pr 3641 df-op 3643 df-uni 3853 df-int 3888 df-iun 3931 df-br 4048 df-opab 4110 df-mpt 4111 df-tr 4147 df-eprel 4340 df-id 4344 df-po 4347 df-iso 4348 df-iord 4417 df-on 4419 df-suc 4422 df-iom 4643 df-xp 4685 df-rel 4686 df-cnv 4687 df-co 4688 df-dm 4689 df-rn 4690 df-res 4691 df-ima 4692 df-iota 5237 df-fun 5278 df-fn 5279 df-f 5280 df-f1 5281 df-fo 5282 df-f1o 5283 df-fv 5284 df-ov 5954 df-oprab 5955 df-mpo 5956 df-1st 6233 df-2nd 6234 df-recs 6398 df-irdg 6463 df-1o 6509 df-oadd 6513 df-omul 6514 df-er 6627 df-ec 6629 df-qs 6633 df-ni 7424 df-pli 7425 df-mi 7426 df-lti 7427 df-plpq 7464 df-mpq 7465 df-enq 7467 df-nqqs 7468 df-plqqs 7469 df-mqqs 7470 df-1nqqs 7471 df-rq 7472 df-ltnqqs 7473 df-inp 7586 df-iltp 7590

This theorem is referenced by: caucvgprlemcanl 7764 cauappcvgprlem1 7779 archrecpr 7784 caucvgprlem1 7799 caucvgprprlemml 7814 caucvgprprlemopl 7817

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