nqprl - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem nqprl 7492

Description: Comparing a fraction to a real can be done by whether it is an element of the lower cut, or by <_P. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jul-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
nqprl	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵) ↔ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵))

Distinct variable group: 𝐴,𝑙,𝑢 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem nqprl Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prop 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ P → ⟨(1^st ‘𝐵), (2^nd ‘𝐵)⟩ ∈ P)
2		prnmaxl 7429	. . . . . 6 ⊢ ((⟨(1^st ‘𝐵), (2^nd ‘𝐵)⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)𝐴 <_Q 𝑥)
3	1, 2	sylan 281	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)𝐴 <_Q 𝑥)
4		elprnql 7422	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨(1^st ‘𝐵), (2^nd ‘𝐵)⟩ ∈ P ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)) → 𝑥 ∈ Q)
5	1, 4	sylan 281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)) → 𝑥 ∈ Q)
6	5	ad2ant2r 501	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝐴 <_Q 𝑥)) → 𝑥 ∈ Q)
7		vex 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑥 ∈ V
8		breq2 3986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝐴 <_Q 𝑢 ↔ 𝐴 <_Q 𝑥))
9	7, 8	elab 2870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢} ↔ 𝐴 <_Q 𝑥)
10	9	biimpri 132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 <_Q 𝑥 → 𝑥 ∈ {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢})
11		ltnqex 7490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴} ∈ V
12		gtnqex 7491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢} ∈ V
13	11, 12	op2nd 6115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) = {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}
14	13	eleq2i 2233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ↔ 𝑥 ∈ {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢})
15	10, 14	sylibr 133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 <_Q 𝑥 → 𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩))
16	15	ad2antll 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝐴 <_Q 𝑥)) → 𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩))
17		simprl 521	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝐴 <_Q 𝑥)) → 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))
18		19.8a 1578	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))) → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))))
19	6, 16, 17, 18	syl12anc 1226	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝐴 <_Q 𝑥)) → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))))
20		df-rex 2450	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))))
21	19, 20	sylibr 133	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝐴 <_Q 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)))
22		elprnql 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨(1^st ‘𝐵), (2^nd ‘𝐵)⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) → 𝐴 ∈ Q)
23	1, 22	sylan 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) → 𝐴 ∈ Q)
24		simpl 108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) → 𝐵 ∈ P)
25		nqprlu 7488	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
26		ltdfpr 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))))
27	25, 26	sylan 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))))
28	23, 24, 27	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))))
29	28	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝐴 <_Q 𝑥)) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))))
30	21, 29	mpbird 166	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝐴 <_Q 𝑥)) → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵)
31	3, 30	rexlimddv 2588	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵)
32	31	ex 114	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵) → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵))
33	32	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵) → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵))
34	27	biimpa 294	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵) → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)))
35	14, 9	bitri 183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ↔ 𝐴 <_Q 𝑥)
36	35	biimpi 119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) → 𝐴 <_Q 𝑥)
37	36	ad2antrl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))) → 𝐴 <_Q 𝑥)
38	37	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)))) → 𝐴 <_Q 𝑥)
39		simpllr 524	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)))) → 𝐵 ∈ P)
40		simprrr 530	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)))) → 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))
41		prcdnql 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨(1^st ‘𝐵), (2^nd ‘𝐵)⟩ ∈ P ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)) → (𝐴 <_Q 𝑥 → 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)))
42	1, 41	sylan 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)) → (𝐴 <_Q 𝑥 → 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)))
43	39, 40, 42	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)))) → (𝐴 <_Q 𝑥 → 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)))
44	38, 43	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)))) → 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵))
45	34, 44	rexlimddv 2588	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵) → 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵))
46	45	ex 114	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵 → 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)))
47	33, 46	impbid 128	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵) ↔ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 103 ↔ wb 104 ∃wex 1480 ∈ wcel 2136 {cab 2151 ∃wrex 2445 ⟨cop 3579 class class class wbr 3982 ‘cfv 5188 1^st c1st 6106 2^nd c2nd 6107 Qcnq 7221 <_Q cltq 7226 Pcnp 7232 <_P cltp 7236

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1435 ax-7 1436 ax-gen 1437 ax-ie1 1481 ax-ie2 1482 ax-8 1492 ax-10 1493 ax-11 1494 ax-i12 1495 ax-bndl 1497 ax-4 1498 ax-17 1514 ax-i9 1518 ax-ial 1522 ax-i5r 1523 ax-13 2138 ax-14 2139 ax-ext 2147 ax-coll 4097 ax-sep 4100 ax-nul 4108 ax-pow 4153 ax-pr 4187 ax-un 4411 ax-setind 4514 ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 825 df-3or 969 df-3an 970 df-tru 1346 df-fal 1349 df-nf 1449 df-sb 1751 df-eu 2017 df-mo 2018 df-clab 2152 df-cleq 2158 df-clel 2161 df-nfc 2297 df-ne 2337 df-ral 2449 df-rex 2450 df-reu 2451 df-rab 2453 df-v 2728 df-sbc 2952 df-csb 3046 df-dif 3118 df-un 3120 df-in 3122 df-ss 3129 df-nul 3410 df-pw 3561 df-sn 3582 df-pr 3583 df-op 3585 df-uni 3790 df-int 3825 df-iun 3868 df-br 3983 df-opab 4044 df-mpt 4045 df-tr 4081 df-eprel 4267 df-id 4271 df-po 4274 df-iso 4275 df-iord 4344 df-on 4346 df-suc 4349 df-iom 4568 df-xp 4610 df-rel 4611 df-cnv 4612 df-co 4613 df-dm 4614 df-rn 4615 df-res 4616 df-ima 4617 df-iota 5153 df-fun 5190 df-fn 5191 df-f 5192 df-f1 5193 df-fo 5194 df-f1o 5195 df-fv 5196 df-ov 5845 df-oprab 5846 df-mpo 5847 df-1st 6108 df-2nd 6109 df-recs 6273 df-irdg 6338 df-1o 6384 df-oadd 6388 df-omul 6389 df-er 6501 df-ec 6503 df-qs 6507 df-ni 7245 df-pli 7246 df-mi 7247 df-lti 7248 df-plpq 7285 df-mpq 7286 df-enq 7288 df-nqqs 7289 df-plqqs 7290 df-mqqs 7291 df-1nqqs 7292 df-rq 7293 df-ltnqqs 7294 df-inp 7407 df-iltp 7411

This theorem is referenced by: caucvgprlemcanl 7585 cauappcvgprlem1 7600 archrecpr 7605 caucvgprlem1 7620 caucvgprprlemml 7635 caucvgprprlemopl 7638

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