nqprl - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem nqprl 7513

Description: Comparing a fraction to a real can be done by whether it is an element of the lower cut, or by <_P. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jul-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
nqprl	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵) ↔ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵))

Distinct variable group: 𝐴,𝑙,𝑢 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem nqprl Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prop 7437	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ P → ⟨(1^st ‘𝐵), (2^nd ‘𝐵)⟩ ∈ P)
2		prnmaxl 7450	. . . . . 6 ⊢ ((⟨(1^st ‘𝐵), (2^nd ‘𝐵)⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)𝐴 <_Q 𝑥)
3	1, 2	sylan 281	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) → ∃𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)𝐴 <_Q 𝑥)
4		elprnql 7443	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨(1^st ‘𝐵), (2^nd ‘𝐵)⟩ ∈ P ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)) → 𝑥 ∈ Q)
5	1, 4	sylan 281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)) → 𝑥 ∈ Q)
6	5	ad2ant2r 506	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝐴 <_Q 𝑥)) → 𝑥 ∈ Q)
7		vex 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑥 ∈ V
8		breq2 3993	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝐴 <_Q 𝑢 ↔ 𝐴 <_Q 𝑥))
9	7, 8	elab 2874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢} ↔ 𝐴 <_Q 𝑥)
10	9	biimpri 132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 <_Q 𝑥 → 𝑥 ∈ {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢})
11		ltnqex 7511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴} ∈ V
12		gtnqex 7512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢} ∈ V
13	11, 12	op2nd 6126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) = {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}
14	13	eleq2i 2237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ↔ 𝑥 ∈ {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢})
15	10, 14	sylibr 133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 <_Q 𝑥 → 𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩))
16	15	ad2antll 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝐴 <_Q 𝑥)) → 𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩))
17		simprl 526	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝐴 <_Q 𝑥)) → 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))
18		19.8a 1583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))) → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))))
19	6, 16, 17, 18	syl12anc 1231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝐴 <_Q 𝑥)) → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))))
20		df-rex 2454	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))))
21	19, 20	sylibr 133	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝐴 <_Q 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)))
22		elprnql 7443	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨(1^st ‘𝐵), (2^nd ‘𝐵)⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) → 𝐴 ∈ Q)
23	1, 22	sylan 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) → 𝐴 ∈ Q)
24		simpl 108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) → 𝐵 ∈ P)
25		nqprlu 7509	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
26		ltdfpr 7468	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))))
27	25, 26	sylan 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))))
28	23, 24, 27	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))))
29	28	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝐴 <_Q 𝑥)) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))))
30	21, 29	mpbird 166	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵) ∧ 𝐴 <_Q 𝑥)) → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵)
31	3, 30	rexlimddv 2592	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)) → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵)
32	31	ex 114	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵) → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵))
33	32	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵) → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵))
34	27	biimpa 294	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵) → ∃𝑥 ∈ Q (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)))
35	14, 9	bitri 183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ↔ 𝐴 <_Q 𝑥)
36	35	biimpi 119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) → 𝐴 <_Q 𝑥)
37	36	ad2antrl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))) → 𝐴 <_Q 𝑥)
38	37	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)))) → 𝐴 <_Q 𝑥)
39		simpllr 529	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)))) → 𝐵 ∈ P)
40		simprrr 535	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)))) → 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵))
41		prcdnql 7446	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨(1^st ‘𝐵), (2^nd ‘𝐵)⟩ ∈ P ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)) → (𝐴 <_Q 𝑥 → 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)))
42	1, 41	sylan 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)) → (𝐴 <_Q 𝑥 → 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)))
43	39, 40, 42	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)))) → (𝐴 <_Q 𝑥 → 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)))
44	38, 43	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ (𝑥 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1^st ‘𝐵)))) → 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵))
45	34, 44	rexlimddv 2592	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵) → 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵))
46	45	ex 114	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) → (⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵 → 𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵)))
47	33, 46	impbid 128	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ∈ (1^st ‘𝐵) ↔ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝐴}, {𝑢 ∣ 𝐴 <_Q 𝑢}⟩<_P 𝐵))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 103 ↔ wb 104 ∃wex 1485 ∈ wcel 2141 {cab 2156 ∃wrex 2449 ⟨cop 3586 class class class wbr 3989 ‘cfv 5198 1^st c1st 6117 2^nd c2nd 6118 Qcnq 7242 <_Q cltq 7247 Pcnp 7253 <_P cltp 7257

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 609 ax-in2 610 ax-io 704 ax-5 1440 ax-7 1441 ax-gen 1442 ax-ie1 1486 ax-ie2 1487 ax-8 1497 ax-10 1498 ax-11 1499 ax-i12 1500 ax-bndl 1502 ax-4 1503 ax-17 1519 ax-i9 1523 ax-ial 1527 ax-i5r 1528 ax-13 2143 ax-14 2144 ax-ext 2152 ax-coll 4104 ax-sep 4107 ax-nul 4115 ax-pow 4160 ax-pr 4194 ax-un 4418 ax-setind 4521 ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 830 df-3or 974 df-3an 975 df-tru 1351 df-fal 1354 df-nf 1454 df-sb 1756 df-eu 2022 df-mo 2023 df-clab 2157 df-cleq 2163 df-clel 2166 df-nfc 2301 df-ne 2341 df-ral 2453 df-rex 2454 df-reu 2455 df-rab 2457 df-v 2732 df-sbc 2956 df-csb 3050 df-dif 3123 df-un 3125 df-in 3127 df-ss 3134 df-nul 3415 df-pw 3568 df-sn 3589 df-pr 3590 df-op 3592 df-uni 3797 df-int 3832 df-iun 3875 df-br 3990 df-opab 4051 df-mpt 4052 df-tr 4088 df-eprel 4274 df-id 4278 df-po 4281 df-iso 4282 df-iord 4351 df-on 4353 df-suc 4356 df-iom 4575 df-xp 4617 df-rel 4618 df-cnv 4619 df-co 4620 df-dm 4621 df-rn 4622 df-res 4623 df-ima 4624 df-iota 5160 df-fun 5200 df-fn 5201 df-f 5202 df-f1 5203 df-fo 5204 df-f1o 5205 df-fv 5206 df-ov 5856 df-oprab 5857 df-mpo 5858 df-1st 6119 df-2nd 6120 df-recs 6284 df-irdg 6349 df-1o 6395 df-oadd 6399 df-omul 6400 df-er 6513 df-ec 6515 df-qs 6519 df-ni 7266 df-pli 7267 df-mi 7268 df-lti 7269 df-plpq 7306 df-mpq 7307 df-enq 7309 df-nqqs 7310 df-plqqs 7311 df-mqqs 7312 df-1nqqs 7313 df-rq 7314 df-ltnqqs 7315 df-inp 7428 df-iltp 7432

This theorem is referenced by: caucvgprlemcanl 7606 cauappcvgprlem1 7621 archrecpr 7626 caucvgprlem1 7641 caucvgprprlemml 7656 caucvgprprlemopl 7659

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