Theorem icccntri 10185

Description: Membership in a contracted interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
icccntri.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
icccntri.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
icccntri.3	⊢ 𝑅 ∈ ℝ+
icccntri.4	⊢ (𝐴 / 𝑅) = 𝐶
icccntri.5	⊢ (𝐵 / 𝑅) = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
icccntri	⊢ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷))

Proof of Theorem icccntri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icccntri.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		icccntri.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		iccssre 10139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . 3 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ
5	4	sseli 3220	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ)
6		icccntri.3	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ ℝ+
7		icccntri.4	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 / 𝑅) = 𝐶
8		icccntri.5	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 / 𝑅) = 𝐷
9	7, 8	icccntr 10184	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
10	1, 2, 9	mpanl12 436	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
11	6, 10	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
12	11	biimpd 144	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
13	5, 12	mpcom 36	1 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197  (class class class)co 5994  ℝcr 7986   / cdiv 8807  ℝ⁺crp 9837  [,]cicc 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-rp 9838  df-icc 10079

This theorem is referenced by: (None)