Theorem icoshft 9872

Description: A shifted real is a member of a shifted, closed-below, open-above real interval. (Contributed by Paul Chapman, 25-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
icoshft	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))

Proof of Theorem icoshft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 7902	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		elico2 9819	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
3	1, 2	sylan2 284	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
4	3	biimpd 143	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
5	4	3adant3 1002	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
6		3anass 967	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
7	5, 6	syl6ib 160	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵))))
8		leadd1 8284	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶)))
9	8	3com12 1186	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶)))
10	9	3expib 1185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶))))
11	10	com12 30	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶))))
12	11	3adant2 1001	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶))))
13	12	imp 123	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶)))
14		ltadd1 8283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 < 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)))
15	14	3expib 1185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 < 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
16	15	com12 30	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 < 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
17	16	3adant1 1000	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 < 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
18	17	imp 123	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝑋 < 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)))
19	13, 18	anbi12d 465	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
20	19	pm5.32da 448	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)))))
21		readdcl 7837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ)
22	21	expcom 115	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ))
23	22	anim1d 334	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))) → ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)))))
24		3anass 967	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)) ↔ ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
25	23, 24	syl6ibr 161	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))) → ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
26	25	3ad2ant3 1005	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))) → ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
27		readdcl 7837	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ)
28	27	3adant2 1001	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ)
29		readdcl 7837	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
30	29	3adant1 1000	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
31		rexr 7902	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*)
32		elico2 9819	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) ↔ ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
33	31, 32	sylan2 284	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ) → ((𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) ↔ ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
34	33	biimprd 157	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ) → (((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))
35	28, 30, 34	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))
36	26, 35	syld 45	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))
37	20, 36	sylbid 149	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))
38	7, 37	syld 45	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 963   ∈ wcel 2125   class class class wbr 3961  (class class class)co 5814  ℝcr 7710   + caddc 7714  ℝ^*cxr 7890   < clt 7891   ≤ cle 7892  [,)cico 9772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-addcom 7811  ax-addass 7813  ax-i2m1 7816  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-ltadd 7827

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-br 3962  df-opab 4022  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fv 5171  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-ico 9776

This theorem is referenced by:  icoshftf1o  9873