Theorem icoshft 9947

Description: A shifted real is a member of a shifted, closed-below, open-above real interval. (Contributed by Paul Chapman, 25-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
icoshft	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))

Proof of Theorem icoshft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 7965	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		elico2 9894	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
3	1, 2	sylan2 284	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
4	3	biimpd 143	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
5	4	3adant3 1012	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
6		3anass 977	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
7	5, 6	syl6ib 160	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵))))
8		leadd1 8349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶)))
9	8	3com12 1202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶)))
10	9	3expib 1201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶))))
11	10	com12 30	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶))))
12	11	3adant2 1011	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶))))
13	12	imp 123	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶)))
14		ltadd1 8348	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 < 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)))
15	14	3expib 1201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 < 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
16	15	com12 30	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 < 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
17	16	3adant1 1010	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 < 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
18	17	imp 123	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝑋 < 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)))
19	13, 18	anbi12d 470	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
20	19	pm5.32da 449	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)))))
21		readdcl 7900	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ)
22	21	expcom 115	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ))
23	22	anim1d 334	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))) → ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)))))
24		3anass 977	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)) ↔ ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
25	23, 24	syl6ibr 161	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))) → ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
26	25	3ad2ant3 1015	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))) → ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
27		readdcl 7900	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ)
28	27	3adant2 1011	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ)
29		readdcl 7900	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
30	29	3adant1 1010	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
31		rexr 7965	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*)
32		elico2 9894	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) ↔ ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
33	31, 32	sylan2 284	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ) → ((𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) ↔ ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
34	33	biimprd 157	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ) → (((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))
35	28, 30, 34	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))
36	26, 35	syld 45	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))
37	20, 36	sylbid 149	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))
38	7, 37	syld 45	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 973   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℝcr 7773   + caddc 7777  ℝ^*cxr 7953   < clt 7954   ≤ cle 7955  [,)cico 9847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-i2m1 7879  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-ico 9851

This theorem is referenced by:  icoshftf1o  9948