ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1arithlem4 GIF version

Theorem 1arithlem4 12363
Description: Lemma for 1arith 12364. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
1arith.1 𝑀 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
1arithlem4.2 𝐺 = (𝑦 ∈ β„• ↦ if(𝑦 ∈ β„™, (𝑦↑(πΉβ€˜π‘¦)), 1))
1arithlem4.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„™βŸΆβ„•0)
1arithlem4.4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
1arithlem4.5 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ 𝑁 ≀ π‘ž)) β†’ (πΉβ€˜π‘ž) = 0)
Assertion
Ref Expression
1arithlem4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• 𝐹 = (π‘€β€˜π‘₯))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑝,π‘ž,π‘₯,𝑦   𝐹,π‘ž,π‘₯,𝑦   𝑀,π‘ž,π‘₯,𝑦   πœ‘,π‘ž,𝑦   𝑛,𝐺,𝑝,π‘ž,π‘₯   𝑛,𝑁,𝑝,π‘ž,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛,𝑝)   𝐹(𝑛,𝑝)   𝐺(𝑦)   𝑀(𝑛,𝑝)   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem 1arithlem4
StepHypRef Expression
1 1arithlem4.2 . . . . 5 𝐺 = (𝑦 ∈ β„• ↦ if(𝑦 ∈ β„™, (𝑦↑(πΉβ€˜π‘¦)), 1))
2 1arithlem4.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„™βŸΆβ„•0)
32ffvelcdmda 5651 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„•0)
43ralrimiva 2550 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ β„™ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„•0)
51, 4pcmptcl 12339 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺:β„•βŸΆβ„• ∧ seq1( Β· , 𝐺):β„•βŸΆβ„•))
65simprd 114 . . 3 (πœ‘ β†’ seq1( Β· , 𝐺):β„•βŸΆβ„•)
7 1arithlem4.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
86, 7ffvelcdmd 5652 . 2 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘) ∈ β„•)
9 1arith.1 . . . . . . 7 𝑀 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
1091arithlem2 12361 . . . . . 6 (((seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘) ∈ β„• ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ ((π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘))β€˜π‘ž) = (π‘ž pCnt (seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘)))
118, 10sylan 283 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ ((π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘))β€˜π‘ž) = (π‘ž pCnt (seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘)))
124adantr 276 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ β„™ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„•0)
137adantr 276 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
14 simpr 110 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ π‘ž ∈ β„™)
15 fveq2 5515 . . . . . 6 (𝑦 = π‘ž β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘ž))
161, 12, 13, 14, 15pcmpt 12340 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (π‘ž pCnt (seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘)) = if(π‘ž ≀ 𝑁, (πΉβ€˜π‘ž), 0))
17 1arithlem4.5 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ 𝑁 ≀ π‘ž)) β†’ (πΉβ€˜π‘ž) = 0)
1817anassrs 400 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ 𝑁 ≀ π‘ž) β†’ (πΉβ€˜π‘ž) = 0)
1918ifeq2d 3552 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ 𝑁 ≀ π‘ž) β†’ if(π‘ž ≀ 𝑁, (πΉβ€˜π‘ž), (πΉβ€˜π‘ž)) = if(π‘ž ≀ 𝑁, (πΉβ€˜π‘ž), 0))
20 prmz 12110 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž ∈ β„™ β†’ π‘ž ∈ β„€)
2120adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ π‘ž ∈ β„€)
2213nnzd 9373 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
23 zdcle 9328 . . . . . . . . . 10 ((π‘ž ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ DECID π‘ž ≀ 𝑁)
2421, 22, 23syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ DECID π‘ž ≀ 𝑁)
25 ifiddc 3568 . . . . . . . . 9 (DECID π‘ž ≀ 𝑁 β†’ if(π‘ž ≀ 𝑁, (πΉβ€˜π‘ž), (πΉβ€˜π‘ž)) = (πΉβ€˜π‘ž))
2624, 25syl 14 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ if(π‘ž ≀ 𝑁, (πΉβ€˜π‘ž), (πΉβ€˜π‘ž)) = (πΉβ€˜π‘ž))
2726adantr 276 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ 𝑁 ≀ π‘ž) β†’ if(π‘ž ≀ 𝑁, (πΉβ€˜π‘ž), (πΉβ€˜π‘ž)) = (πΉβ€˜π‘ž))
2819, 27eqtr3d 2212 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ 𝑁 ≀ π‘ž) β†’ if(π‘ž ≀ 𝑁, (πΉβ€˜π‘ž), 0) = (πΉβ€˜π‘ž))
29 iftrue 3539 . . . . . . 7 (π‘ž ≀ 𝑁 β†’ if(π‘ž ≀ 𝑁, (πΉβ€˜π‘ž), 0) = (πΉβ€˜π‘ž))
3029adantl 277 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘ž ≀ 𝑁) β†’ if(π‘ž ≀ 𝑁, (πΉβ€˜π‘ž), 0) = (πΉβ€˜π‘ž))
31 zletric 9296 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„€) β†’ (𝑁 ≀ π‘ž ∨ π‘ž ≀ 𝑁))
3222, 21, 31syl2anc 411 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (𝑁 ≀ π‘ž ∨ π‘ž ≀ 𝑁))
3328, 30, 32mpjaodan 798 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ if(π‘ž ≀ 𝑁, (πΉβ€˜π‘ž), 0) = (πΉβ€˜π‘ž))
3411, 16, 333eqtrrd 2215 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘ž) = ((π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘))β€˜π‘ž))
3534ralrimiva 2550 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ž ∈ β„™ (πΉβ€˜π‘ž) = ((π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘))β€˜π‘ž))
3691arithlem3 12362 . . . . 5 ((seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘) ∈ β„• β†’ (π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘)):β„™βŸΆβ„•0)
378, 36syl 14 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘)):β„™βŸΆβ„•0)
38 ffn 5365 . . . . 5 (𝐹:β„™βŸΆβ„•0 β†’ 𝐹 Fn β„™)
39 ffn 5365 . . . . 5 ((π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘)):β„™βŸΆβ„•0 β†’ (π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘)) Fn β„™)
40 eqfnfv 5613 . . . . 5 ((𝐹 Fn β„™ ∧ (π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘)) Fn β„™) β†’ (𝐹 = (π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘)) ↔ βˆ€π‘ž ∈ β„™ (πΉβ€˜π‘ž) = ((π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘))β€˜π‘ž)))
4138, 39, 40syl2an 289 . . . 4 ((𝐹:β„™βŸΆβ„•0 ∧ (π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘)):β„™βŸΆβ„•0) β†’ (𝐹 = (π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘)) ↔ βˆ€π‘ž ∈ β„™ (πΉβ€˜π‘ž) = ((π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘))β€˜π‘ž)))
422, 37, 41syl2anc 411 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 = (π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘)) ↔ βˆ€π‘ž ∈ β„™ (πΉβ€˜π‘ž) = ((π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘))β€˜π‘ž)))
4335, 42mpbird 167 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘)))
44 fveq2 5515 . . 3 (π‘₯ = (seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘)))
4544rspceeqv 2859 . 2 (((seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘) ∈ β„• ∧ 𝐹 = (π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• 𝐹 = (π‘€β€˜π‘₯))
468, 43, 45syl2anc 411 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• 𝐹 = (π‘€β€˜π‘₯))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456  ifcif 3534   class class class wbr 4003   ↦ cmpt 4064   Fn wfn 5211  βŸΆwf 5212  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  0cc0 7810  1c1 7811   Β· cmul 7815   ≀ cle 7992  β„•cn 8918  β„•0cn0 9175  β„€cz 9252  seqcseq 10444  β†‘cexp 10518  β„™cprime 12106   pCnt cpc 12283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-1o 6416  df-2o 6417  df-er 6534  df-en 6740  df-fin 6742  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-fl 10269  df-mod 10322  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-dvds 11794  df-gcd 11943  df-prm 12107  df-pc 12284
This theorem is referenced by:  1arith  12364
  Copyright terms: Public domain W3C validator