Theorem 1arithlem4 12366

Description: Lemma for 1arith 12367. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
1arith.1	⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
1arithlem4.2	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ ↦ if(𝑦 ∈ ℙ, (𝑦↑(𝐹‘𝑦)), 1))
1arithlem4.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℙ⟶ℕ0)
1arithlem4.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
1arithlem4.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≤ 𝑞)) → (𝐹‘𝑞) = 0)

Assertion

Ref	Expression
1arithlem4	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐹 = (𝑀‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦   𝐹,𝑞,𝑥,𝑦   𝑀,𝑞,𝑥,𝑦   𝜑,𝑞,𝑦   𝑛,𝐺,𝑝,𝑞,𝑥   𝑛,𝑁,𝑝,𝑞,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑝)   𝐹(𝑛,𝑝)   𝐺(𝑦)   𝑀(𝑛,𝑝)   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem 1arithlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1arithlem4.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ ↦ if(𝑦 ∈ ℙ, (𝑦↑(𝐹‘𝑦)), 1))
2		1arithlem4.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℙ⟶ℕ0)
3	2	ffvelcdmda 5653	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0)
4	3	ralrimiva 2550	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℙ (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0)
5	1, 4	pcmptcl 12342	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐺):ℕ⟶ℕ))
6	5	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐺):ℕ⟶ℕ)
7		1arithlem4.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8	6, 7	ffvelcdmd 5654	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ)
9		1arith.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
10	9	1arithlem2 12364	. . . . . 6 ⊢ (((seq1( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞) = (𝑞 pCnt (seq1( · , 𝐺)‘𝑁)))
11	8, 10	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞) = (𝑞 pCnt (seq1( · , 𝐺)‘𝑁)))
12	4	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ∀𝑦 ∈ ℙ (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0)
13	7	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
14		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℙ)
15		fveq2 5517	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑞 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑞))
16	1, 12, 13, 14, 15	pcmpt 12343	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt (seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) = if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), 0))
17		1arithlem4.5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≤ 𝑞)) → (𝐹‘𝑞) = 0)
18	17	anassrs 400	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑞) → (𝐹‘𝑞) = 0)
19	18	ifeq2d 3554	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑞) → if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), (𝐹‘𝑞)) = if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), 0))
20		prmz 12113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
21	20	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℤ)
22	13	nnzd 9376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
23		zdcle 9331	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑞 ≤ 𝑁)
24	21, 22, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → DECID 𝑞 ≤ 𝑁)
25		ifiddc 3570	. . . . . . . . 9 ⊢ (DECID 𝑞 ≤ 𝑁 → if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), (𝐹‘𝑞)) = (𝐹‘𝑞))
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), (𝐹‘𝑞)) = (𝐹‘𝑞))
27	26	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑞) → if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), (𝐹‘𝑞)) = (𝐹‘𝑞))
28	19, 27	eqtr3d 2212	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑞) → if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), 0) = (𝐹‘𝑞))
29		iftrue 3541	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ≤ 𝑁 → if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), 0) = (𝐹‘𝑞))
30	29	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ≤ 𝑁) → if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), 0) = (𝐹‘𝑞))
31		zletric 9299	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑞 ∨ 𝑞 ≤ 𝑁))
32	22, 21, 31	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑁 ≤ 𝑞 ∨ 𝑞 ≤ 𝑁))
33	28, 30, 32	mpjaodan 798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), 0) = (𝐹‘𝑞))
34	11, 16, 33	3eqtrrd 2215	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞))
35	34	ralrimiva 2550	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝐹‘𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞))
36	9	1arithlem3 12365	. . . . 5 ⊢ ((seq1( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ → (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)):ℙ⟶ℕ0)
37	8, 36	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)):ℙ⟶ℕ0)
38		ffn 5367	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℙ⟶ℕ0 → 𝐹 Fn ℙ)
39		ffn 5367	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)):ℙ⟶ℕ0 → (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) Fn ℙ)
40		eqfnfv 5615	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn ℙ ∧ (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) Fn ℙ) → (𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝐹‘𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞)))
41	38, 39, 40	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℙ⟶ℕ0 ∧ (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)):ℙ⟶ℕ0) → (𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝐹‘𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞)))
42	2, 37, 41	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝐹‘𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞)))
43	35, 42	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)))
44		fveq2 5517	. . 3 ⊢ (𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑁) → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)))
45	44	rspceeqv 2861	. 2 ⊢ (((seq1( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐹 = (𝑀‘𝑥))
46	8, 43, 45	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐹 = (𝑀‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456  ifcif 3536   class class class wbr 4005   ↦ cmpt 4066   Fn wfn 5213  ⟶wf 5214  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  0cc0 7813  1c1 7814   · cmul 7818   ≤ cle 7995  ℕcn 8921  ℕ₀cn0 9178  ℤcz 9255  seqcseq 10447  ↑cexp 10521  ℙcprime 12109   pCnt cpc 12286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-1o 6419  df-2o 6420  df-er 6537  df-en 6743  df-fin 6745  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-dvds 11797  df-gcd 11946  df-prm 12110  df-pc 12287

This theorem is referenced by:  1arith  12367