Theorem 1arithlem4 12941

Description: Lemma for 1arith 12942. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
1arith.1	⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
1arithlem4.2	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ ↦ if(𝑦 ∈ ℙ, (𝑦↑(𝐹‘𝑦)), 1))
1arithlem4.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℙ⟶ℕ0)
1arithlem4.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
1arithlem4.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≤ 𝑞)) → (𝐹‘𝑞) = 0)

Assertion

Ref	Expression
1arithlem4	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐹 = (𝑀‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦   𝐹,𝑞,𝑥,𝑦   𝑀,𝑞,𝑥,𝑦   𝜑,𝑞,𝑦   𝑛,𝐺,𝑝,𝑞,𝑥   𝑛,𝑁,𝑝,𝑞,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑝)   𝐹(𝑛,𝑝)   𝐺(𝑦)   𝑀(𝑛,𝑝)   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem 1arithlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1arithlem4.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ ↦ if(𝑦 ∈ ℙ, (𝑦↑(𝐹‘𝑦)), 1))
2		1arithlem4.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℙ⟶ℕ0)
3	2	ffvelcdmda 5782	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0)
4	3	ralrimiva 2605	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℙ (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0)
5	1, 4	pcmptcl 12917	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐺):ℕ⟶ℕ))
6	5	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐺):ℕ⟶ℕ)
7		1arithlem4.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8	6, 7	ffvelcdmd 5783	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ)
9		1arith.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
10	9	1arithlem2 12939	. . . . . 6 ⊢ (((seq1( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞) = (𝑞 pCnt (seq1( · , 𝐺)‘𝑁)))
11	8, 10	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞) = (𝑞 pCnt (seq1( · , 𝐺)‘𝑁)))
12	4	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ∀𝑦 ∈ ℙ (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0)
13	7	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
14		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℙ)
15		fveq2 5639	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑞 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑞))
16	1, 12, 13, 14, 15	pcmpt 12918	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt (seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) = if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), 0))
17		1arithlem4.5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≤ 𝑞)) → (𝐹‘𝑞) = 0)
18	17	anassrs 400	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑞) → (𝐹‘𝑞) = 0)
19	18	ifeq2d 3624	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑞) → if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), (𝐹‘𝑞)) = if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), 0))
20		prmz 12685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
21	20	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℤ)
22	13	nnzd 9601	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
23		zdcle 9556	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑞 ≤ 𝑁)
24	21, 22, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → DECID 𝑞 ≤ 𝑁)
25		ifiddc 3641	. . . . . . . . 9 ⊢ (DECID 𝑞 ≤ 𝑁 → if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), (𝐹‘𝑞)) = (𝐹‘𝑞))
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), (𝐹‘𝑞)) = (𝐹‘𝑞))
27	26	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑞) → if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), (𝐹‘𝑞)) = (𝐹‘𝑞))
28	19, 27	eqtr3d 2266	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑞) → if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), 0) = (𝐹‘𝑞))
29		iftrue 3610	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ≤ 𝑁 → if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), 0) = (𝐹‘𝑞))
30	29	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ≤ 𝑁) → if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), 0) = (𝐹‘𝑞))
31		zletric 9523	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑞 ∨ 𝑞 ≤ 𝑁))
32	22, 21, 31	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑁 ≤ 𝑞 ∨ 𝑞 ≤ 𝑁))
33	28, 30, 32	mpjaodan 805	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), 0) = (𝐹‘𝑞))
34	11, 16, 33	3eqtrrd 2269	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞))
35	34	ralrimiva 2605	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝐹‘𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞))
36	9	1arithlem3 12940	. . . . 5 ⊢ ((seq1( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ → (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)):ℙ⟶ℕ0)
37	8, 36	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)):ℙ⟶ℕ0)
38		ffn 5482	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℙ⟶ℕ0 → 𝐹 Fn ℙ)
39		ffn 5482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)):ℙ⟶ℕ0 → (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) Fn ℙ)
40		eqfnfv 5744	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn ℙ ∧ (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) Fn ℙ) → (𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝐹‘𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞)))
41	38, 39, 40	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℙ⟶ℕ0 ∧ (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)):ℙ⟶ℕ0) → (𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝐹‘𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞)))
42	2, 37, 41	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝐹‘𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞)))
43	35, 42	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)))
44		fveq2 5639	. . 3 ⊢ (𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑁) → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)))
45	44	rspceeqv 2928	. 2 ⊢ (((seq1( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐹 = (𝑀‘𝑥))
46	8, 43, 45	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐹 = (𝑀‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∃wrex 2511  ifcif 3605   class class class wbr 4088   ↦ cmpt 4150   Fn wfn 5321  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  0cc0 8032  1c1 8033   · cmul 8037   ≤ cle 8215  ℕcn 9143  ℕ₀cn0 9402  ℤcz 9479  seqcseq 10710  ↑cexp 10801  ℙcprime 12681   pCnt cpc 12859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-er 6702  df-en 6910  df-fin 6912  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-fl 10531  df-mod 10586  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11404  df-re 11405  df-im 11406  df-rsqrt 11560  df-abs 11561  df-dvds 12351  df-gcd 12527  df-prm 12682  df-pc 12860

This theorem is referenced by:  1arith  12942