Theorem lidl0 13988

Description: Every ring contains a zero ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidl0.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidl0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lidl0	⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lidl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 13963	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
2		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (0g‘(ringLMod‘𝑅)) = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
3		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
4	2, 3	lsssn0 13869	. . 3 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → {(0g‘(ringLMod‘𝑅))} ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
5	1, 4	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {(0g‘(ringLMod‘𝑅))} ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
6		lidl0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7		rlm0g 13956	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) = (0g‘(ringLMod‘𝑅)))
8	6, 7	eqtrid 2238	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 = (0g‘(ringLMod‘𝑅)))
9	8	sneqd 3632	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } = {(0g‘(ringLMod‘𝑅))})
10		lidl0.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
11		lidlvalg 13970	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
12	10, 11	eqtrid 2238	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
13	5, 9, 12	3eltr4d 2277	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {csn 3619  ‘cfv 5255  0_gc0g 12870  Ringcrg 13495  LModclmod 13786  LSubSpclss 13851  ringLModcrglmod 13933  LIdealclidl 13966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-iress 12629  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-sca 12714  df-vsca 12715  df-ip 12716  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079  df-subg 13243  df-mgp 13420  df-ur 13459  df-ring 13497  df-subrg 13718  df-lmod 13788  df-lssm 13852  df-sra 13934  df-rgmod 13935  df-lidl 13968

This theorem is referenced by:  ridl0  14009  2idl0  14011