Theorem islidlm 14614

Description: Predicate of being a (left) ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islidl.s	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
islidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
islidl.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
islidl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
islidlm	⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝐼,𝑎,𝑏,𝑗,𝑥   𝑅,𝑎,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗,𝑎,𝑏)   + (𝑥,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑗)   · (𝑥,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑈(𝑥,𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem islidlm

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islidl.s	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
2	1	lidlmex 14610	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝑅 ∈ V)
3		eleq1w 2293	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 ∈ 𝐼 ↔ 𝑘 ∈ 𝐼))
4	3	cbvexv 1968	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑘 𝑘 ∈ 𝐼)
5		ssel 3231	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝐵 → (𝑘 ∈ 𝐼 → 𝑘 ∈ 𝐵))
6		islidl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7	6	basmex 13261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 → 𝑅 ∈ V)
8	5, 7	syl6 33	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝐵 → (𝑘 ∈ 𝐼 → 𝑅 ∈ V))
9	8	exlimdv 1868	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝐵 → (∃𝑘 𝑘 ∈ 𝐼 → 𝑅 ∈ V))
10	4, 9	biimtrid 152	. . . 4 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝐵 → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 → 𝑅 ∈ V))
11	10	imp 124	. . 3 ⊢ ((𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ V)
12	11	3adant3 1044	. 2 ⊢ ((𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ V)
13		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
14		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
15		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (Base‘(ringLMod‘𝑅)) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
16		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (+g‘(ringLMod‘𝑅)) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
17		eqid 2232	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅)) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
18		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
19	13, 14, 15, 16, 17, 18	islssm 14492	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅)) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑎)(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑏) ∈ 𝐼))
20		lidlvalg 14606	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
21	1, 20	eqtrid 2277	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
22	21	eleq2d 2302	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))))
23		rlmbasg 14590	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
24	6, 23	eqtrid 2277	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
25	24	sseq2d 3267	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝐼 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐼 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅))))
26		rlmscabas 14595	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
27	6, 26	eqtrid 2277	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
28		islidl.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ + = (+g‘𝑅)
29		rlmplusgg 14591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ V → (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅)))
30	28, 29	eqtrid 2277	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ V → + = (+g‘(ringLMod‘𝑅)))
31		islidl.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘𝑅)
32		rlmvscag 14596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ V → (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅)))
33	31, 32	eqtrid 2277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅)))
34	33	oveqd 6066	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑥 · 𝑎) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑎))
35		eqidd 2233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑏 = 𝑏)
36	30, 34, 35	oveq123d 6070	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑎)(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑏))
37	36	eleq1d 2301	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ V → (((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑎)(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑏) ∈ 𝐼))
38	37	2ralbidv 2566	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → (∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑎)(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑏) ∈ 𝐼))
39	27, 38	raleqbidv 2756	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑎)(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑏) ∈ 𝐼))
40	25, 39	3anbi13d 1351	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅)) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑎)(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑏) ∈ 𝐼)))
41	22, 40	bibi12d 235	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼)) ↔ (𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅)) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑎)(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑏) ∈ 𝐼))))
42	19, 41	mpbiri 168	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼)))
43	2, 12, 42	pm5.21nii 712	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  Vcvv 2812   ⊆ wss 3210  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  Basecbs 13201  +_gcplusg 13279  ._rcmulr 13280  Scalarcsca 13282   ·_𝑠 cvsca 13283  LSubSpclss 14487  ringLModcrglmod 14569  LIdealclidl 14602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-addass 8225  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-ltxr 8309  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-sets 13208  df-iress 13209  df-plusg 13292  df-mulr 13293  df-sca 13295  df-vsca 13296  df-ip 13297  df-lssm 14488  df-sra 14570  df-rgmod 14571  df-lidl 14604

This theorem is referenced by:  rnglidlmcl  14615  dflidl2rng  14616