Theorem islidlm 14496

Description: Predicate of being a (left) ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islidl.s	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
islidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
islidl.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
islidl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
islidlm	⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝐼,𝑎,𝑏,𝑗,𝑥   𝑅,𝑎,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗,𝑎,𝑏)   + (𝑥,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑗)   · (𝑥,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑈(𝑥,𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem islidlm

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islidl.s	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
2	1	lidlmex 14492	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝑅 ∈ V)
3		eleq1w 2292	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 ∈ 𝐼 ↔ 𝑘 ∈ 𝐼))
4	3	cbvexv 1967	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑘 𝑘 ∈ 𝐼)
5		ssel 3221	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝐵 → (𝑘 ∈ 𝐼 → 𝑘 ∈ 𝐵))
6		islidl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7	6	basmex 13144	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 → 𝑅 ∈ V)
8	5, 7	syl6 33	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝐵 → (𝑘 ∈ 𝐼 → 𝑅 ∈ V))
9	8	exlimdv 1867	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝐵 → (∃𝑘 𝑘 ∈ 𝐼 → 𝑅 ∈ V))
10	4, 9	biimtrid 152	. . . 4 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝐵 → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 → 𝑅 ∈ V))
11	10	imp 124	. . 3 ⊢ ((𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ V)
12	11	3adant3 1043	. 2 ⊢ ((𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ V)
13		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
14		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
15		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (Base‘(ringLMod‘𝑅)) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
16		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (+g‘(ringLMod‘𝑅)) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
17		eqid 2231	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅)) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
18		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
19	13, 14, 15, 16, 17, 18	islssm 14374	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅)) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑎)(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑏) ∈ 𝐼))
20		lidlvalg 14488	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
21	1, 20	eqtrid 2276	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
22	21	eleq2d 2301	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))))
23		rlmbasg 14472	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
24	6, 23	eqtrid 2276	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
25	24	sseq2d 3257	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝐼 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐼 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅))))
26		rlmscabas 14477	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
27	6, 26	eqtrid 2276	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
28		islidl.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ + = (+g‘𝑅)
29		rlmplusgg 14473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ V → (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅)))
30	28, 29	eqtrid 2276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ V → + = (+g‘(ringLMod‘𝑅)))
31		islidl.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘𝑅)
32		rlmvscag 14478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ V → (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅)))
33	31, 32	eqtrid 2276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅)))
34	33	oveqd 6035	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑥 · 𝑎) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑎))
35		eqidd 2232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑏 = 𝑏)
36	30, 34, 35	oveq123d 6039	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑎)(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑏))
37	36	eleq1d 2300	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ V → (((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑎)(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑏) ∈ 𝐼))
38	37	2ralbidv 2556	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → (∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑎)(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑏) ∈ 𝐼))
39	27, 38	raleqbidv 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑎)(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑏) ∈ 𝐼))
40	25, 39	3anbi13d 1350	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅)) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑎)(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑏) ∈ 𝐼)))
41	22, 40	bibi12d 235	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼)) ↔ (𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅)) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑎)(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑏) ∈ 𝐼))))
42	19, 41	mpbiri 168	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼)))
43	2, 12, 42	pm5.21nii 711	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397  ∃wex 1540   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  Vcvv 2802   ⊆ wss 3200  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  Basecbs 13084  +_gcplusg 13162  ._rcmulr 13163  Scalarcsca 13165   ·_𝑠 cvsca 13166  LSubSpclss 14369  ringLModcrglmod 14451  LIdealclidl 14484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-sets 13091  df-iress 13092  df-plusg 13175  df-mulr 13176  df-sca 13178  df-vsca 13179  df-ip 13180  df-lssm 14370  df-sra 14452  df-rgmod 14453  df-lidl 14486

This theorem is referenced by:  rnglidlmcl  14497  dflidl2rng  14498