Theorem islidlm 13978

Description: Predicate of being a (left) ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islidl.s	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
islidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
islidl.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
islidl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
islidlm	⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝐼,𝑎,𝑏,𝑗,𝑥   𝑅,𝑎,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗,𝑎,𝑏)   + (𝑥,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑗)   · (𝑥,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑈(𝑥,𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem islidlm

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islidl.s	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
2	1	lidlmex 13974	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝑅 ∈ V)
3		eleq1w 2254	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 ∈ 𝐼 ↔ 𝑘 ∈ 𝐼))
4	3	cbvexv 1930	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑘 𝑘 ∈ 𝐼)
5		ssel 3174	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝐵 → (𝑘 ∈ 𝐼 → 𝑘 ∈ 𝐵))
6		islidl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7	6	basmex 12680	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 → 𝑅 ∈ V)
8	5, 7	syl6 33	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝐵 → (𝑘 ∈ 𝐼 → 𝑅 ∈ V))
9	8	exlimdv 1830	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝐵 → (∃𝑘 𝑘 ∈ 𝐼 → 𝑅 ∈ V))
10	4, 9	biimtrid 152	. . . 4 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝐵 → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 → 𝑅 ∈ V))
11	10	imp 124	. . 3 ⊢ ((𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ V)
12	11	3adant3 1019	. 2 ⊢ ((𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ V)
13		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
14		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
15		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (Base‘(ringLMod‘𝑅)) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
16		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (+g‘(ringLMod‘𝑅)) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
17		eqid 2193	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅)) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
18		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
19	13, 14, 15, 16, 17, 18	islssm 13856	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅)) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑎)(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑏) ∈ 𝐼))
20		lidlvalg 13970	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
21	1, 20	eqtrid 2238	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
22	21	eleq2d 2263	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))))
23		rlmbasg 13954	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
24	6, 23	eqtrid 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
25	24	sseq2d 3210	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝐼 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐼 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅))))
26		rlmscabas 13959	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
27	6, 26	eqtrid 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
28		islidl.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ + = (+g‘𝑅)
29		rlmplusgg 13955	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ V → (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅)))
30	28, 29	eqtrid 2238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ V → + = (+g‘(ringLMod‘𝑅)))
31		islidl.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘𝑅)
32		rlmvscag 13960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ V → (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅)))
33	31, 32	eqtrid 2238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅)))
34	33	oveqd 5936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑥 · 𝑎) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑎))
35		eqidd 2194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑏 = 𝑏)
36	30, 34, 35	oveq123d 5940	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑎)(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑏))
37	36	eleq1d 2262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ V → (((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑎)(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑏) ∈ 𝐼))
38	37	2ralbidv 2518	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → (∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑎)(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑏) ∈ 𝐼))
39	27, 38	raleqbidv 2706	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑎)(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑏) ∈ 𝐼))
40	25, 39	3anbi13d 1325	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅)) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑎)(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑏) ∈ 𝐼)))
41	22, 40	bibi12d 235	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼)) ↔ (𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅)) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑎)(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑏) ∈ 𝐼))))
42	19, 41	mpbiri 168	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼)))
43	2, 12, 42	pm5.21nii 705	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  Vcvv 2760   ⊆ wss 3154  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  Basecbs 12621  +_gcplusg 12698  ._rcmulr 12699  Scalarcsca 12701   ·_𝑠 cvsca 12702  LSubSpclss 13851  ringLModcrglmod 13933  LIdealclidl 13966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-iress 12629  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-sca 12714  df-vsca 12715  df-ip 12716  df-lssm 13852  df-sra 13934  df-rgmod 13935  df-lidl 13968

This theorem is referenced by:  rnglidlmcl  13979  dflidl2rng  13980