Theorem islidlm 14676

Description: Predicate of being a (left) ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islidl.s	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
islidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
islidl.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
islidl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
islidlm	⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝐼,𝑎,𝑏,𝑗,𝑥   𝑅,𝑎,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗,𝑎,𝑏)   + (𝑥,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑗)   · (𝑥,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑈(𝑥,𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem islidlm

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islidl.s	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
2	1	lidlmex 14672	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝑅 ∈ V)
3		eleq1w 2295	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 ∈ 𝐼 ↔ 𝑘 ∈ 𝐼))
4	3	cbvexv 1970	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑘 𝑘 ∈ 𝐼)
5		ssel 3234	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝐵 → (𝑘 ∈ 𝐼 → 𝑘 ∈ 𝐵))
6		islidl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7	6	basmex 13293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 → 𝑅 ∈ V)
8	5, 7	syl6 33	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝐵 → (𝑘 ∈ 𝐼 → 𝑅 ∈ V))
9	8	exlimdv 1868	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝐵 → (∃𝑘 𝑘 ∈ 𝐼 → 𝑅 ∈ V))
10	4, 9	biimtrid 152	. . . 4 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝐵 → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 → 𝑅 ∈ V))
11	10	imp 124	. . 3 ⊢ ((𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ V)
12	11	3adant3 1044	. 2 ⊢ ((𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ V)
13		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
14		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
15		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (Base‘(ringLMod‘𝑅)) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
16		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (+g‘(ringLMod‘𝑅)) = (+g‘(ringLMod‘𝑅))
17		eqid 2234	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅)) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
18		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
19	13, 14, 15, 16, 17, 18	islssm 14554	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅)) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑎)(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑏) ∈ 𝐼))
20		lidlvalg 14668	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
21	1, 20	eqtrid 2279	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
22	21	eleq2d 2304	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ 𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))))
23		rlmbasg 14652	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
24	6, 23	eqtrid 2279	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
25	24	sseq2d 3270	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝐼 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐼 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅))))
26		rlmscabas 14657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
27	6, 26	eqtrid 2279	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
28		islidl.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ + = (+g‘𝑅)
29		rlmplusgg 14653	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ V → (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅)))
30	28, 29	eqtrid 2279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ V → + = (+g‘(ringLMod‘𝑅)))
31		islidl.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘𝑅)
32		rlmvscag 14658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ V → (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅)))
33	31, 32	eqtrid 2279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅)))
34	33	oveqd 6069	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑥 · 𝑎) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑎))
35		eqidd 2235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑏 = 𝑏)
36	30, 34, 35	oveq123d 6073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑎)(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑏))
37	36	eleq1d 2303	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ V → (((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑎)(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑏) ∈ 𝐼))
38	37	2ralbidv 2568	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → (∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑎)(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑏) ∈ 𝐼))
39	27, 38	raleqbidv 2759	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑎)(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑏) ∈ 𝐼))
40	25, 39	3anbi13d 1351	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅)) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑎)(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑏) ∈ 𝐼)))
41	22, 40	bibi12d 235	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼)) ↔ (𝐼 ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) ↔ (𝐼 ⊆ (Base‘(ringLMod‘𝑅)) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))𝑎)(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑏) ∈ 𝐼))))
42	19, 41	mpbiri 168	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼)))
43	2, 12, 42	pm5.21nii 712	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝐼))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  Vcvv 2815   ⊆ wss 3213  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  Basecbs 13233  +_gcplusg 13311  ._rcmulr 13312  Scalarcsca 13314   ·_𝑠 cvsca 13315  LSubSpclss 14549  ringLModcrglmod 14631  LIdealclidl 14664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-addass 8234  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-ltxr 8318  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-sets 13240  df-iress 13241  df-plusg 13324  df-mulr 13325  df-sca 13327  df-vsca 13328  df-ip 13329  df-lssm 14550  df-sra 14632  df-rgmod 14633  df-lidl 14666

This theorem is referenced by:  rnglidlmcl  14677  dflidl2rng  14678