Theorem lt2halvesd 9300

Description: A sum is less than the whole if each term is less than half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rehalfcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lt2halvesd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lt2halvesd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2halvesd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐶 / 2))
lt2halvesd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < (𝐶 / 2))

Assertion

Ref	Expression
lt2halvesd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < 𝐶)

Proof of Theorem lt2halvesd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt2halvesd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐶 / 2))
2		lt2halvesd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < (𝐶 / 2))
3		rehalfcld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		lt2halvesd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		lt2halvesd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lt2halves 9288	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < (𝐶 / 2) ∧ 𝐵 < (𝐶 / 2)) → (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1250	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < (𝐶 / 2) ∧ 𝐵 < (𝐶 / 2)) → (𝐴 + 𝐵) < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4050  (class class class)co 5956  ℝcr 7939   + caddc 7943   < clt 8122   / cdiv 8760  2c2 9102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-mulrcl 8039  ax-addcom 8040  ax-mulcom 8041  ax-addass 8042  ax-mulass 8043  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-1rid 8047  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-precex 8050  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056  ax-pre-mulgt0 8057  ax-pre-mulext 8058

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-br 4051  df-opab 4113  df-id 4347  df-po 4350  df-iso 4351  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-reap 8663  df-ap 8670  df-div 8761  df-2 9110

This theorem is referenced by:  abs3lem  11492  qdencn  16101  apdifflemf  16120