Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qdencn GIF version

Theorem qdencn 15517
Description: The set of complex numbers whose real and imaginary parts are rational is dense in the complex plane. This is a two dimensional analogue to qdenre 11346 (and also would hold for ℝ × ℝ with the usual metric; this is not about complex numbers in particular). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
qdencn.q 𝑄 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((ℜ‘𝑧) ∈ ℚ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℚ)}
Assertion
Ref Expression
qdencn ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥𝑄 (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑄
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧)   𝑄(𝑧)

Proof of Theorem qdencn
Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
21recld 11082 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3 simpr 110 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
43rphalfcld 9775 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 / 2) ∈ ℝ+)
5 qdenre 11346 . . 3 (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℚ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))
62, 4, 5syl2anc 411 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℚ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))
7 simpll 527 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝐴 ∈ ℂ)
87imcld 11083 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
94adantr 276 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (𝐵 / 2) ∈ ℝ+)
10 qdenre 11346 . . . 4 (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ ℚ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))
118, 9, 10syl2anc 411 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ∃𝑣 ∈ ℚ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))
12 qcn 9699 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ ℚ → 𝑢 ∈ ℂ)
1312ad2antrl 490 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑢 ∈ ℂ)
1413adantr 276 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑢 ∈ ℂ)
15 ax-icn 7967 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
1615a1i 9 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → i ∈ ℂ)
17 qcn 9699 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ℚ → 𝑣 ∈ ℂ)
1817ad2antrl 490 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑣 ∈ ℂ)
1916, 18mulcld 8040 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (i · 𝑣) ∈ ℂ)
2014, 19addcld 8039 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (𝑢 + (i · 𝑣)) ∈ ℂ)
21 qre 9690 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ ℚ → 𝑢 ∈ ℝ)
2221ad2antrl 490 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑢 ∈ ℝ)
2322adantr 276 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑢 ∈ ℝ)
24 qre 9690 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ℚ → 𝑣 ∈ ℝ)
2524ad2antrl 490 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑣 ∈ ℝ)
2623, 25crred 11120 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) = 𝑢)
27 simplrl 535 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑢 ∈ ℚ)
2826, 27eqeltrd 2270 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ)
2923, 25crimd 11121 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) = 𝑣)
30 simprl 529 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑣 ∈ ℚ)
3129, 30eqeltrd 2270 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ)
3228, 31jca 306 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ ∧ (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ))
33 fveq2 5554 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → (ℜ‘𝑧) = (ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))))
3433eleq1d 2262 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → ((ℜ‘𝑧) ∈ ℚ ↔ (ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ))
35 fveq2 5554 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → (ℑ‘𝑧) = (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))))
3635eleq1d 2262 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → ((ℑ‘𝑧) ∈ ℚ ↔ (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ))
3734, 36anbi12d 473 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → (((ℜ‘𝑧) ∈ ℚ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℚ) ↔ ((ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ ∧ (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ)))
38 qdencn.q . . . . . 6 𝑄 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((ℜ‘𝑧) ∈ ℚ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℚ)}
3937, 38elrab2 2919 . . . . 5 ((𝑢 + (i · 𝑣)) ∈ 𝑄 ↔ ((𝑢 + (i · 𝑣)) ∈ ℂ ∧ ((ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ ∧ (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ)))
4020, 32, 39sylanbrc 417 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (𝑢 + (i · 𝑣)) ∈ 𝑄)
417adantr 276 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝐴 ∈ ℂ)
4220, 41subcld 8330 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴) ∈ ℂ)
4342abscld 11325 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) ∈ ℝ)
442ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
4544recnd 8048 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
4614, 45subcld 8330 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (𝑢 − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
4746abscld 11325 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) ∈ ℝ)
488adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
4948recnd 8048 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
5018, 49subcld 8330 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (𝑣 − (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
5150abscld 11325 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ)
5247, 51readdcld 8049 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℝ)
533ad2antrr 488 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
5453rpred 9762 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝐵 ∈ ℝ)
551replimd 11085 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
5655oveq2d 5934 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴) = ((𝑢 + (i · 𝑣)) − ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
5756ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴) = ((𝑢 + (i · 𝑣)) − ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
5816, 49mulcld 8040 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
5914, 19, 45, 58addsub4d 8377 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((𝑢 + (i · 𝑣)) − ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((𝑢 − (ℜ‘𝐴)) + ((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
6057, 59eqtrd 2226 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴) = ((𝑢 − (ℜ‘𝐴)) + ((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
6160fveq2d 5558 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) = (abs‘((𝑢 − (ℜ‘𝐴)) + ((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))))))
6219, 58subcld 8330 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
6346, 62abstrid 11340 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((𝑢 − (ℜ‘𝐴)) + ((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))))) ≤ ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))))))
6461, 63eqbrtrd 4051 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) ≤ ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))))))
6516, 50absmuld 11338 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(i · (𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) = ((abs‘i) · (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))))
6616, 18, 49subdid 8433 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (i · (𝑣 − (ℑ‘𝐴))) = ((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))))
6766fveq2d 5558 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(i · (𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) = (abs‘((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
68 absi 11203 . . . . . . . . . 10 (abs‘i) = 1
6968oveq1i 5928 . . . . . . . . 9 ((abs‘i) · (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) = (1 · (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))))
7051recnd 8048 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
7170mulid2d 8038 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (1 · (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) = (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))))
7269, 71eqtrid 2238 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((abs‘i) · (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) = (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))))
7365, 67, 723eqtr3d 2234 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))))
7473oveq2d 5934 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))))) = ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))))
7564, 74breqtrd 4055 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) ≤ ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))))
76 simplrr 536 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))
77 simprr 531 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))
7847, 51, 54, 76, 77lt2halvesd 9230 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) < 𝐵)
7943, 52, 54, 75, 78lelttrd 8144 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) < 𝐵)
80 oveq1 5925 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → (𝑥𝐴) = ((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴))
8180fveq2d 5558 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → (abs‘(𝑥𝐴)) = (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)))
8281breq1d 4039 . . . . 5 (𝑥 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵 ↔ (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) < 𝐵))
8382rspcev 2864 . . . 4 (((𝑢 + (i · 𝑣)) ∈ 𝑄 ∧ (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) < 𝐵) → ∃𝑥𝑄 (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵)
8440, 79, 83syl2anc 411 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ∃𝑥𝑄 (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵)
8511, 84rexlimddv 2616 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ∃𝑥𝑄 (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵)
866, 85rexlimddv 2616 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥𝑄 (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2164  wrex 2473  {crab 2476   class class class wbr 4029  cfv 5254  (class class class)co 5918  cc 7870  cr 7871  1c1 7873  ici 7874   + caddc 7875   · cmul 7877   < clt 8054  cle 8055  cmin 8190   / cdiv 8691  2c2 9033  cq 9684  +crp 9719  cre 10984  cim 10985  abscabs 11141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator