Theorem qdencn 17278

Description: The set of complex numbers whose real and imaginary parts are rational is dense in the complex plane. This is a two dimensional analogue to qdenre 11991 (and also would hold for ℝ × ℝ with the usual metric; this is not about complex numbers in particular). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
qdencn.q	⊢ 𝑄 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((ℜ‘𝑧) ∈ ℚ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℚ)}

Assertion

Ref	Expression
qdencn	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝑄 (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑄

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧)   𝑄(𝑧)

Proof of Theorem qdencn

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	recld 11726	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
4	3	rphalfcld 10127	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 / 2) ∈ ℝ+)
5		qdenre 11991	. . 3 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℚ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))
6	2, 4, 5	syl2anc 415	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℚ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))
7		simpll 531	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	imcld 11727	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
9	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (𝐵 / 2) ∈ ℝ+)
10		qdenre 11991	. . . 4 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ ℚ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))
11	8, 9, 10	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ∃𝑣 ∈ ℚ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))
12		qcn 10050	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ℚ → 𝑢 ∈ ℂ)
13	12	ad2antrl 494	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑢 ∈ ℂ)
14	13	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑢 ∈ ℂ)
15		ax-icn 8280	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
16	15	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → i ∈ ℂ)
17		qcn 10050	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ ℚ → 𝑣 ∈ ℂ)
18	17	ad2antrl 494	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑣 ∈ ℂ)
19	16, 18	mulcld 8352	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (i · 𝑣) ∈ ℂ)
20	14, 19	addcld 8351	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (𝑢 + (i · 𝑣)) ∈ ℂ)
21		qre 10041	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ℚ → 𝑢 ∈ ℝ)
22	21	ad2antrl 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑢 ∈ ℝ)
23	22	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑢 ∈ ℝ)
24		qre 10041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℚ → 𝑣 ∈ ℝ)
25	24	ad2antrl 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑣 ∈ ℝ)
26	23, 25	crred 11764	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) = 𝑢)
27		simplrl 541	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑢 ∈ ℚ)
28	26, 27	eqeltrd 2315	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ)
29	23, 25	crimd 11765	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) = 𝑣)
30		simprl 535	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑣 ∈ ℚ)
31	29, 30	eqeltrd 2315	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ)
32	28, 31	jca 306	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ ∧ (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ))
33		fveq2 5698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → (ℜ‘𝑧) = (ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))))
34	33	eleq1d 2307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → ((ℜ‘𝑧) ∈ ℚ ↔ (ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ))
35		fveq2 5698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → (ℑ‘𝑧) = (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))))
36	35	eleq1d 2307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → ((ℑ‘𝑧) ∈ ℚ ↔ (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ))
37	34, 36	anbi12d 477	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → (((ℜ‘𝑧) ∈ ℚ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℚ) ↔ ((ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ ∧ (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ)))
38		qdencn.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((ℜ‘𝑧) ∈ ℚ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℚ)}
39	37, 38	elrab2 2985	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 + (i · 𝑣)) ∈ 𝑄 ↔ ((𝑢 + (i · 𝑣)) ∈ ℂ ∧ ((ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ ∧ (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ)))
40	20, 32, 39	sylanbrc 421	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (𝑢 + (i · 𝑣)) ∈ 𝑄)
41	7	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝐴 ∈ ℂ)
42	20, 41	subcld 8644	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴) ∈ ℂ)
43	42	abscld 11970	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) ∈ ℝ)
44	2	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
45	44	recnd 8360	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
46	14, 45	subcld 8644	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (𝑢 − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
47	46	abscld 11970	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) ∈ ℝ)
48	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
49	48	recnd 8360	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
50	18, 49	subcld 8644	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (𝑣 − (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
51	50	abscld 11970	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ)
52	47, 51	readdcld 8361	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℝ)
53	3	ad2antrr 492	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
54	53	rpred 10114	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝐵 ∈ ℝ)
55	1	replimd 11729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
56	55	oveq2d 6104	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴) = ((𝑢 + (i · 𝑣)) − ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
57	56	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴) = ((𝑢 + (i · 𝑣)) − ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
58	16, 49	mulcld 8352	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
59	14, 19, 45, 58	addsub4d 8691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((𝑢 + (i · 𝑣)) − ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((𝑢 − (ℜ‘𝐴)) + ((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
60	57, 59	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴) = ((𝑢 − (ℜ‘𝐴)) + ((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
61	60	fveq2d 5702	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) = (abs‘((𝑢 − (ℜ‘𝐴)) + ((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))))))
62	19, 58	subcld 8644	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
63	46, 62	abstrid 11985	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((𝑢 − (ℜ‘𝐴)) + ((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))))) ≤ ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))))))
64	61, 63	eqbrtrd 4153	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) ≤ ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))))))
65	16, 50	absmuld 11983	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(i · (𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) = ((abs‘i) · (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))))
66	16, 18, 49	subdid 8748	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (i · (𝑣 − (ℑ‘𝐴))) = ((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))))
67	66	fveq2d 5702	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(i · (𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) = (abs‘((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
68		absi 11847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘i) = 1
69	68	oveq1i 6098	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘i) · (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) = (1 · (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))))
70	51	recnd 8360	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
71	70	mullidd 8350	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (1 · (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) = (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))))
72	69, 71	eqtrid 2283	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((abs‘i) · (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) = (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))))
73	65, 67, 72	3eqtr3d 2279	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))))
74	73	oveq2d 6104	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))))) = ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))))
75	64, 74	breqtrd 4157	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) ≤ ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))))
76		simplrr 542	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))
77		simprr 537	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))
78	47, 51, 54, 76, 77	lt2halvesd 9564	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) < 𝐵)
79	43, 52, 54, 75, 78	lelttrd 8458	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) < 𝐵)
80		oveq1 6095	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → (𝑥 − 𝐴) = ((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴))
81	80	fveq2d 5702	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) = (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)))
82	81	breq1d 4141	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ↔ (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) < 𝐵))
83	82	rspcev 2929	. . . 4 ⊢ (((𝑢 + (i · 𝑣)) ∈ 𝑄 ∧ (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝑄 (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)
84	40, 79, 83	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ∃𝑥 ∈ 𝑄 (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)
85	11, 84	rexlimddv 2673	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ∃𝑥 ∈ 𝑄 (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)
86	6, 85	rexlimddv 2673	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝑄 (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  {crab 2532   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8183  ℝcr 8184  1c1 8186  ici 8187   + caddc 8188   · cmul 8190   < clt 8366   ≤ cle 8367   − cmin 8504   / cdiv 9010  2c2 9364  ℚcq 10035  ℝ⁺crp 10071  ℜcre 11627  ℑcim 11628  abscabs 11785

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787

This theorem is used by: (None)