Theorem qdencn 14336

Description: The set of complex numbers whose real and imaginary parts are rational is dense in the complex plane. This is a two dimensional analogue to qdenre 11179 (and also would hold for ℝ × ℝ with the usual metric; this is not about complex numbers in particular). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
qdencn.q	⊢ 𝑄 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((ℜ‘𝑧) ∈ ℚ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℚ)}

Assertion

Ref	Expression
qdencn	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝑄 (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑄

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧)   𝑄(𝑧)

Proof of Theorem qdencn

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	recld 10915	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
4	3	rphalfcld 9680	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 / 2) ∈ ℝ+)
5		qdenre 11179	. . 3 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℚ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℚ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))
7		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	imcld 10916	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
9	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (𝐵 / 2) ∈ ℝ+)
10		qdenre 11179	. . . 4 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ ℚ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ∃𝑣 ∈ ℚ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))
12		qcn 9607	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ℚ → 𝑢 ∈ ℂ)
13	12	ad2antrl 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑢 ∈ ℂ)
14	13	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑢 ∈ ℂ)
15		ax-icn 7881	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
16	15	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → i ∈ ℂ)
17		qcn 9607	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ ℚ → 𝑣 ∈ ℂ)
18	17	ad2antrl 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑣 ∈ ℂ)
19	16, 18	mulcld 7952	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (i · 𝑣) ∈ ℂ)
20	14, 19	addcld 7951	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (𝑢 + (i · 𝑣)) ∈ ℂ)
21		qre 9598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ℚ → 𝑢 ∈ ℝ)
22	21	ad2antrl 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑢 ∈ ℝ)
23	22	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑢 ∈ ℝ)
24		qre 9598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℚ → 𝑣 ∈ ℝ)
25	24	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑣 ∈ ℝ)
26	23, 25	crred 10953	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) = 𝑢)
27		simplrl 535	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑢 ∈ ℚ)
28	26, 27	eqeltrd 2252	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ)
29	23, 25	crimd 10954	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) = 𝑣)
30		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑣 ∈ ℚ)
31	29, 30	eqeltrd 2252	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ)
32	28, 31	jca 306	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ ∧ (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ))
33		fveq2 5507	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → (ℜ‘𝑧) = (ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))))
34	33	eleq1d 2244	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → ((ℜ‘𝑧) ∈ ℚ ↔ (ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ))
35		fveq2 5507	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → (ℑ‘𝑧) = (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))))
36	35	eleq1d 2244	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → ((ℑ‘𝑧) ∈ ℚ ↔ (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ))
37	34, 36	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → (((ℜ‘𝑧) ∈ ℚ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℚ) ↔ ((ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ ∧ (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ)))
38		qdencn.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((ℜ‘𝑧) ∈ ℚ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℚ)}
39	37, 38	elrab2 2894	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 + (i · 𝑣)) ∈ 𝑄 ↔ ((𝑢 + (i · 𝑣)) ∈ ℂ ∧ ((ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ ∧ (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ)))
40	20, 32, 39	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (𝑢 + (i · 𝑣)) ∈ 𝑄)
41	7	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝐴 ∈ ℂ)
42	20, 41	subcld 8242	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴) ∈ ℂ)
43	42	abscld 11158	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) ∈ ℝ)
44	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
45	44	recnd 7960	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
46	14, 45	subcld 8242	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (𝑢 − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
47	46	abscld 11158	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) ∈ ℝ)
48	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
49	48	recnd 7960	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
50	18, 49	subcld 8242	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (𝑣 − (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
51	50	abscld 11158	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ)
52	47, 51	readdcld 7961	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℝ)
53	3	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
54	53	rpred 9667	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝐵 ∈ ℝ)
55	1	replimd 10918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
56	55	oveq2d 5881	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴) = ((𝑢 + (i · 𝑣)) − ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
57	56	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴) = ((𝑢 + (i · 𝑣)) − ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
58	16, 49	mulcld 7952	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
59	14, 19, 45, 58	addsub4d 8289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((𝑢 + (i · 𝑣)) − ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((𝑢 − (ℜ‘𝐴)) + ((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
60	57, 59	eqtrd 2208	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴) = ((𝑢 − (ℜ‘𝐴)) + ((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
61	60	fveq2d 5511	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) = (abs‘((𝑢 − (ℜ‘𝐴)) + ((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))))))
62	19, 58	subcld 8242	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
63	46, 62	abstrid 11173	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((𝑢 − (ℜ‘𝐴)) + ((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))))) ≤ ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))))))
64	61, 63	eqbrtrd 4020	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) ≤ ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))))))
65	16, 50	absmuld 11171	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(i · (𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) = ((abs‘i) · (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))))
66	16, 18, 49	subdid 8345	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (i · (𝑣 − (ℑ‘𝐴))) = ((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))))
67	66	fveq2d 5511	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(i · (𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) = (abs‘((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
68		absi 11036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘i) = 1
69	68	oveq1i 5875	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘i) · (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) = (1 · (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))))
70	51	recnd 7960	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
71	70	mulid2d 7950	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (1 · (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) = (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))))
72	69, 71	eqtrid 2220	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((abs‘i) · (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) = (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))))
73	65, 67, 72	3eqtr3d 2216	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))))
74	73	oveq2d 5881	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))))) = ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))))
75	64, 74	breqtrd 4024	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) ≤ ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))))
76		simplrr 536	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))
77		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))
78	47, 51, 54, 76, 77	lt2halvesd 9139	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) < 𝐵)
79	43, 52, 54, 75, 78	lelttrd 8056	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) < 𝐵)
80		oveq1 5872	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → (𝑥 − 𝐴) = ((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴))
81	80	fveq2d 5511	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) = (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)))
82	81	breq1d 4008	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ↔ (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) < 𝐵))
83	82	rspcev 2839	. . . 4 ⊢ (((𝑢 + (i · 𝑣)) ∈ 𝑄 ∧ (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝑄 (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)
84	40, 79, 83	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ∃𝑥 ∈ 𝑄 (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)
85	11, 84	rexlimddv 2597	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ∃𝑥 ∈ 𝑄 (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)
86	6, 85	rexlimddv 2597	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝑄 (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2146  ∃wrex 2454  {crab 2457   class class class wbr 3998  ‘cfv 5208  (class class class)co 5865  ℂcc 7784  ℝcr 7785  1c1 7787  ici 7788   + caddc 7789   · cmul 7791   < clt 7966   ≤ cle 7967   − cmin 8102   / cdiv 8602  2c2 8943  ℚcq 9592  ℝ⁺crp 9624  ℜcre 10817  ℑcim 10818  abscabs 10974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-rp 9625  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976

This theorem is referenced by: (None)