Theorem qdencn 15671

Description: The set of complex numbers whose real and imaginary parts are rational is dense in the complex plane. This is a two dimensional analogue to qdenre 11367 (and also would hold for ℝ × ℝ with the usual metric; this is not about complex numbers in particular). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
qdencn.q	⊢ 𝑄 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((ℜ‘𝑧) ∈ ℚ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℚ)}

Assertion

Ref	Expression
qdencn	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝑄 (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑄

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧)   𝑄(𝑧)

Proof of Theorem qdencn

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	recld 11103	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
4	3	rphalfcld 9784	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 / 2) ∈ ℝ+)
5		qdenre 11367	. . 3 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℚ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℚ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))
7		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	imcld 11104	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
9	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (𝐵 / 2) ∈ ℝ+)
10		qdenre 11367	. . . 4 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ ℚ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ∃𝑣 ∈ ℚ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))
12		qcn 9708	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ℚ → 𝑢 ∈ ℂ)
13	12	ad2antrl 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑢 ∈ ℂ)
14	13	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑢 ∈ ℂ)
15		ax-icn 7974	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
16	15	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → i ∈ ℂ)
17		qcn 9708	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ ℚ → 𝑣 ∈ ℂ)
18	17	ad2antrl 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑣 ∈ ℂ)
19	16, 18	mulcld 8047	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (i · 𝑣) ∈ ℂ)
20	14, 19	addcld 8046	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (𝑢 + (i · 𝑣)) ∈ ℂ)
21		qre 9699	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ℚ → 𝑢 ∈ ℝ)
22	21	ad2antrl 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑢 ∈ ℝ)
23	22	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑢 ∈ ℝ)
24		qre 9699	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℚ → 𝑣 ∈ ℝ)
25	24	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑣 ∈ ℝ)
26	23, 25	crred 11141	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) = 𝑢)
27		simplrl 535	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑢 ∈ ℚ)
28	26, 27	eqeltrd 2273	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ)
29	23, 25	crimd 11142	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) = 𝑣)
30		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝑣 ∈ ℚ)
31	29, 30	eqeltrd 2273	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ)
32	28, 31	jca 306	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ ∧ (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ))
33		fveq2 5558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → (ℜ‘𝑧) = (ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))))
34	33	eleq1d 2265	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → ((ℜ‘𝑧) ∈ ℚ ↔ (ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ))
35		fveq2 5558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → (ℑ‘𝑧) = (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))))
36	35	eleq1d 2265	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → ((ℑ‘𝑧) ∈ ℚ ↔ (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ))
37	34, 36	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → (((ℜ‘𝑧) ∈ ℚ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℚ) ↔ ((ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ ∧ (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ)))
38		qdencn.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((ℜ‘𝑧) ∈ ℚ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℚ)}
39	37, 38	elrab2 2923	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 + (i · 𝑣)) ∈ 𝑄 ↔ ((𝑢 + (i · 𝑣)) ∈ ℂ ∧ ((ℜ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ ∧ (ℑ‘(𝑢 + (i · 𝑣))) ∈ ℚ)))
40	20, 32, 39	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (𝑢 + (i · 𝑣)) ∈ 𝑄)
41	7	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝐴 ∈ ℂ)
42	20, 41	subcld 8337	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴) ∈ ℂ)
43	42	abscld 11346	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) ∈ ℝ)
44	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
45	44	recnd 8055	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
46	14, 45	subcld 8337	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (𝑢 − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
47	46	abscld 11346	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) ∈ ℝ)
48	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
49	48	recnd 8055	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
50	18, 49	subcld 8337	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (𝑣 − (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
51	50	abscld 11346	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ)
52	47, 51	readdcld 8056	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) ∈ ℝ)
53	3	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
54	53	rpred 9771	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → 𝐵 ∈ ℝ)
55	1	replimd 11106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
56	55	oveq2d 5938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴) = ((𝑢 + (i · 𝑣)) − ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
57	56	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴) = ((𝑢 + (i · 𝑣)) − ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
58	16, 49	mulcld 8047	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
59	14, 19, 45, 58	addsub4d 8384	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((𝑢 + (i · 𝑣)) − ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((𝑢 − (ℜ‘𝐴)) + ((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
60	57, 59	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴) = ((𝑢 − (ℜ‘𝐴)) + ((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
61	60	fveq2d 5562	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) = (abs‘((𝑢 − (ℜ‘𝐴)) + ((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))))))
62	19, 58	subcld 8337	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
63	46, 62	abstrid 11361	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((𝑢 − (ℜ‘𝐴)) + ((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))))) ≤ ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))))))
64	61, 63	eqbrtrd 4055	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) ≤ ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))))))
65	16, 50	absmuld 11359	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(i · (𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) = ((abs‘i) · (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))))
66	16, 18, 49	subdid 8440	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (i · (𝑣 − (ℑ‘𝐴))) = ((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))))
67	66	fveq2d 5562	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(i · (𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) = (abs‘((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
68		absi 11224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘i) = 1
69	68	oveq1i 5932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘i) · (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) = (1 · (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))))
70	51	recnd 8055	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
71	70	mulid2d 8045	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (1 · (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) = (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))))
72	69, 71	eqtrid 2241	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((abs‘i) · (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) = (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))))
73	65, 67, 72	3eqtr3d 2237	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))))
74	73	oveq2d 5938	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘((i · 𝑣) − (i · (ℑ‘𝐴))))) = ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))))
75	64, 74	breqtrd 4059	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) ≤ ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))))
76		simplrr 536	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))
77		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))
78	47, 51, 54, 76, 77	lt2halvesd 9239	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ((abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) + (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴)))) < 𝐵)
79	43, 52, 54, 75, 78	lelttrd 8151	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) < 𝐵)
80		oveq1 5929	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → (𝑥 − 𝐴) = ((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴))
81	80	fveq2d 5562	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) = (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)))
82	81	breq1d 4043	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑢 + (i · 𝑣)) → ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ↔ (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) < 𝐵))
83	82	rspcev 2868	. . . 4 ⊢ (((𝑢 + (i · 𝑣)) ∈ 𝑄 ∧ (abs‘((𝑢 + (i · 𝑣)) − 𝐴)) < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝑄 (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)
84	40, 79, 83	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) ∧ (𝑣 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑣 − (ℑ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ∃𝑥 ∈ 𝑄 (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)
85	11, 84	rexlimddv 2619	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ (abs‘(𝑢 − (ℜ‘𝐴))) < (𝐵 / 2))) → ∃𝑥 ∈ 𝑄 (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)
86	6, 85	rexlimddv 2619	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝑄 (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476  {crab 2479   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  ℝcr 7878  1c1 7880  ici 7881   + caddc 7882   · cmul 7884   < clt 8061   ≤ cle 8062   − cmin 8197   / cdiv 8699  2c2 9041  ℚcq 9693  ℝ⁺crp 9728  ℜcre 11005  ℑcim 11006  abscabs 11162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164

This theorem is referenced by: (None)