Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qdencn GIF version

Theorem qdencn 14814
Description: The set of complex numbers whose real and imaginary parts are rational is dense in the complex plane. This is a two dimensional analogue to qdenre 11213 (and also would hold for โ„ ร— โ„ with the usual metric; this is not about complex numbers in particular). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
qdencn.q ๐‘„ = {๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((โ„œโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„š โˆง (โ„‘โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„š)}
Assertion
Ref Expression
qdencn ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘„ (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ด)) < ๐ต)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐‘„
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ง)   ๐ต(๐‘ง)   ๐‘„(๐‘ง)

Proof of Theorem qdencn
Dummy variables ๐‘ข ๐‘ฃ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
21recld 10949 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
3 simpr 110 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
43rphalfcld 9711 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต / 2) โˆˆ โ„+)
5 qdenre 11213 . . 3 (((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต / 2) โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„š (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))
62, 4, 5syl2anc 411 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ข โˆˆ โ„š (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))
7 simpll 527 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
87imcld 10950 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
94adantr 276 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ (๐ต / 2) โˆˆ โ„+)
10 qdenre 11213 . . . 4 (((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต / 2) โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„š (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))
118, 9, 10syl2anc 411 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„š (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))
12 qcn 9636 . . . . . . . 8 (๐‘ข โˆˆ โ„š โ†’ ๐‘ข โˆˆ โ„‚)
1312ad2antrl 490 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ ๐‘ข โˆˆ โ„‚)
1413adantr 276 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ ๐‘ข โˆˆ โ„‚)
15 ax-icn 7908 . . . . . . . 8 i โˆˆ โ„‚
1615a1i 9 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
17 qcn 9636 . . . . . . . 8 (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ โ„‚)
1817ad2antrl 490 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ โ„‚)
1916, 18mulcld 7980 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ (i ยท ๐‘ฃ) โˆˆ โ„‚)
2014, 19addcld 7979 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โˆˆ โ„‚)
21 qre 9627 . . . . . . . . . 10 (๐‘ข โˆˆ โ„š โ†’ ๐‘ข โˆˆ โ„)
2221ad2antrl 490 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ ๐‘ข โˆˆ โ„)
2322adantr 276 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ ๐‘ข โˆˆ โ„)
24 qre 9627 . . . . . . . . 9 (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ โ„)
2524ad2antrl 490 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ โ„)
2623, 25crred 10987 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜(๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) = ๐‘ข)
27 simplrl 535 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ ๐‘ข โˆˆ โ„š)
2826, 27eqeltrd 2254 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜(๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆˆ โ„š)
2923, 25crimd 10988 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) = ๐‘ฃ)
30 simprl 529 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ โ„š)
3129, 30eqeltrd 2254 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆˆ โ„š)
3228, 31jca 306 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ ((โ„œโ€˜(๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆˆ โ„š โˆง (โ„‘โ€˜(๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆˆ โ„š))
33 fveq2 5517 . . . . . . . 8 (๐‘ง = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โ†’ (โ„œโ€˜๐‘ง) = (โ„œโ€˜(๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))))
3433eleq1d 2246 . . . . . . 7 (๐‘ง = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โ†’ ((โ„œโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„š โ†” (โ„œโ€˜(๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆˆ โ„š))
35 fveq2 5517 . . . . . . . 8 (๐‘ง = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โ†’ (โ„‘โ€˜๐‘ง) = (โ„‘โ€˜(๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))))
3635eleq1d 2246 . . . . . . 7 (๐‘ง = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„š โ†” (โ„‘โ€˜(๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆˆ โ„š))
3734, 36anbi12d 473 . . . . . 6 (๐‘ง = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โ†’ (((โ„œโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„š โˆง (โ„‘โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„š) โ†” ((โ„œโ€˜(๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆˆ โ„š โˆง (โ„‘โ€˜(๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆˆ โ„š)))
38 qdencn.q . . . . . 6 ๐‘„ = {๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((โ„œโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„š โˆง (โ„‘โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„š)}
3937, 38elrab2 2898 . . . . 5 ((๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โˆˆ ๐‘„ โ†” ((๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โˆˆ โ„‚ โˆง ((โ„œโ€˜(๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆˆ โ„š โˆง (โ„‘โ€˜(๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ))) โˆˆ โ„š)))
4020, 32, 39sylanbrc 417 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โˆˆ ๐‘„)
417adantr 276 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4220, 41subcld 8270 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ ((๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
4342abscld 11192 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ (absโ€˜((๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
442ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
4544recnd 7988 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
4614, 45subcld 8270 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ (๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
4746abscld 11192 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
488adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
4948recnd 7988 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
5018, 49subcld 8270 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ (๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
5150abscld 11192 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
5247, 51readdcld 7989 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) + (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„)
533ad2antrr 488 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
5453rpred 9698 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
551replimd 10952 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
5655oveq2d 5893 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โˆ’ ๐ด) = ((๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
5756ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ ((๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โˆ’ ๐ด) = ((๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
5816, 49mulcld 7980 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
5914, 19, 45, 58addsub4d 8317 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ ((๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) + ((i ยท ๐‘ฃ) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
6057, 59eqtrd 2210 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ ((๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โˆ’ ๐ด) = ((๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) + ((i ยท ๐‘ฃ) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
6160fveq2d 5521 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ (absโ€˜((๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โˆ’ ๐ด)) = (absโ€˜((๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) + ((i ยท ๐‘ฃ) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
6219, 58subcld 8270 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ ((i ยท ๐‘ฃ) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
6346, 62abstrid 11207 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ (absโ€˜((๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) + ((i ยท ๐‘ฃ) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) โ‰ค ((absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) + (absโ€˜((i ยท ๐‘ฃ) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
6461, 63eqbrtrd 4027 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ (absโ€˜((๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โˆ’ ๐ด)) โ‰ค ((absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) + (absโ€˜((i ยท ๐‘ฃ) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
6516, 50absmuld 11205 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ (absโ€˜(i ยท (๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((absโ€˜i) ยท (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด)))))
6616, 18, 49subdid 8373 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ (i ยท (๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) = ((i ยท ๐‘ฃ) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
6766fveq2d 5521 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ (absโ€˜(i ยท (๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด)))) = (absโ€˜((i ยท ๐‘ฃ) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
68 absi 11070 . . . . . . . . . 10 (absโ€˜i) = 1
6968oveq1i 5887 . . . . . . . . 9 ((absโ€˜i) ยท (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด)))) = (1 ยท (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))))
7051recnd 7988 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
7170mulid2d 7978 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ (1 ยท (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด)))) = (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))))
7269, 71eqtrid 2222 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ ((absโ€˜i) ยท (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด)))) = (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))))
7365, 67, 723eqtr3d 2218 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ (absโ€˜((i ยท ๐‘ฃ) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))))
7473oveq2d 5893 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) + (absโ€˜((i ยท ๐‘ฃ) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = ((absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) + (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด)))))
7564, 74breqtrd 4031 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ (absโ€˜((๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โˆ’ ๐ด)) โ‰ค ((absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) + (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด)))))
76 simplrr 536 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))
77 simprr 531 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))
7847, 51, 54, 76, 77lt2halvesd 9168 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) + (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด)))) < ๐ต)
7943, 52, 54, 75, 78lelttrd 8084 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ (absโ€˜((๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โˆ’ ๐ด)) < ๐ต)
80 oveq1 5884 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ด) = ((๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โˆ’ ๐ด))
8180fveq2d 5521 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ด)) = (absโ€˜((๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โˆ’ ๐ด)))
8281breq1d 4015 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ด)) < ๐ต โ†” (absโ€˜((๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โˆ’ ๐ด)) < ๐ต))
8382rspcev 2843 . . . 4 (((๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โˆˆ ๐‘„ โˆง (absโ€˜((๐‘ข + (i ยท ๐‘ฃ)) โˆ’ ๐ด)) < ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘„ (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ด)) < ๐ต)
8440, 79, 83syl2anc 411 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ (โ„‘โ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘„ (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ด)) < ๐ต)
8511, 84rexlimddv 2599 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„š โˆง (absโ€˜(๐‘ข โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด))) < (๐ต / 2))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘„ (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ด)) < ๐ต)
866, 85rexlimddv 2599 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘„ (absโ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ด)) < ๐ต)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456  {crab 2459   class class class wbr 4005  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  โ„‚cc 7811  โ„cr 7812  1c1 7814  ici 7815   + caddc 7816   ยท cmul 7818   < clt 7994   โ‰ค cle 7995   โˆ’ cmin 8130   / cdiv 8631  2c2 8972  โ„šcq 9621  โ„+crp 9655  โ„œcre 10851  โ„‘cim 10852  abscabs 11008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator