Theorem zsubcld 9339

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 9253	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 409	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  (class class class)co 5853   − cmin 8090  ℤcz 9212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213

This theorem is referenced by:  eluzsub  9516  uzm1  9517  uzsubsubfz  10003  fzm1  10056  eluzgtdifelfzo  10153  ubmelm1fzo  10182  intfracq  10276  modqsubdir  10349  modsumfzodifsn  10352  addmodlteq  10354  uzennn  10392  seq3f1olemqsumkj  10454  zesq  10594  bcval5  10697  hashfz  10756  seq3shft  10802  resqrexlemnmsq  10981  resqrexlemcvg  10983  fzomaxdiflem  11076  fsum0diaglem  11403  fisum0diag  11404  mptfzshft  11405  fsumrev  11406  fsumshft  11407  fisum0diag2  11410  geo2sum  11477  cvgratnnlemabsle  11490  cvgratnnlemsumlt  11491  cvgratz  11495  mertenslemub  11497  mertenslemi1  11498  mertenslem2  11499  mertensabs  11500  fprodshft  11581  fprodrev  11582  fprod0diagfz  11591  eirraplem  11739  fzocongeq  11818  modremain  11888  bezoutlemnewy  11951  uzwodc  11992  cncongr1  12057  prmind2  12074  pw2dvds  12120  hashdvds  12175  phiprmpw  12176  crth  12178  eulerthlemh  12185  eulerthlemth  12186  prmdiveq  12190  modprm0  12208  pythagtriplem2  12220  pythagtriplem4  12222  pythagtriplem6  12224  pythagtriplem7  12225  pythagtriplem11  12228  pythagtriplem13  12230  pythagtriplem15  12232  pythagtriplem16  12233  pythagtrip  12237  pceu  12249  pcdiv  12256  pcqcl  12260  pcaddlem  12292  pcbc  12303  gzmulcl  12330  4sqlem5  12334  4sqlem8  12337  lgsval  13699  lgsfvalg  13700  lgsmod  13721  lgsdirprm  13729  2sqlem4  13748  2sqlem8  13753  nconstwlpolemgt0  14095