Theorem zsubcld 9502

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 9415	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2176  (class class class)co 5946   − cmin 8245  ℤcz 9374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375

This theorem is referenced by:  eluzsub  9680  uzm1  9681  uzsubsubfz  10171  fzm1  10224  eluzgtdifelfzo  10328  ubmelm1fzo  10357  intfracq  10467  modqsubdir  10540  modsumfzodifsn  10543  addmodlteq  10545  uzennn  10583  seq3f1olemqsumkj  10658  zesq  10805  bcval5  10910  hashfz  10968  ccatlen  11054  ccatval2  11057  ccatvalfn  11060  ccatsymb  11061  swrdval  11104  swrdclg  11106  swrdlen  11108  swrdfv2  11119  swrdwrdsymbg  11120  swrdspsleq  11123  ccatswrd  11126  pfxval  11130  seq3shft  11182  resqrexlemnmsq  11361  resqrexlemcvg  11363  fzomaxdiflem  11456  fsum0diaglem  11784  fisum0diag  11785  mptfzshft  11786  fsumrev  11787  fsumshft  11788  fisum0diag2  11791  geo2sum  11858  cvgratnnlemabsle  11871  cvgratnnlemsumlt  11872  cvgratz  11876  mertenslemub  11878  mertenslemi1  11879  mertenslem2  11880  mertensabs  11881  fprodshft  11962  fprodrev  11963  fprod0diagfz  11972  eirraplem  12121  dvdsaddre2b  12185  fzocongeq  12202  3dvds  12208  modremain  12273  bitsfzolem  12298  bitsmod  12300  bitscmp  12302  bitsinv1lem  12305  bezoutlemnewy  12350  uzwodc  12391  cncongr1  12458  prmind2  12475  pw2dvds  12521  hashdvds  12576  phiprmpw  12577  crth  12579  eulerthlemh  12586  eulerthlemth  12587  prmdiveq  12591  modprm0  12610  pythagtriplem2  12622  pythagtriplem4  12624  pythagtriplem6  12626  pythagtriplem7  12627  pythagtriplem11  12630  pythagtriplem13  12632  pythagtriplem15  12634  pythagtriplem16  12635  pythagtrip  12639  pceu  12651  pcdiv  12658  pcqcl  12662  pcaddlem  12695  pcbc  12707  gzmulcl  12734  4sqlem5  12738  4sqlem8  12741  4sqlemffi  12752  4sqleminfi  12753  4sqlem11  12757  4sqlem12  12758  4sqlem14  12760  4sqlem16  12762  zndvds  14444  znf1o  14446  plymullem1  15253  mersenne  15502  lgsval  15514  lgsfvalg  15515  lgsmod  15536  lgsdirprm  15544  gausslemma2dlem0h  15566  gausslemma2dlem1a  15568  gausslemma2dlem1cl  15569  gausslemma2dlem3  15573  gausslemma2dlem4  15574  gausslemma2dlem5a  15575  lgseisenlem1  15580  lgseisenlem2  15581  lgsquadlem1  15587  2lgslem2  15602  2sqlem4  15628  2sqlem8  15633  nconstwlpolemgt0  16040