Theorem zsubcld 9453

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 9367	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5922   − cmin 8197  ℤcz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327

This theorem is referenced by:  eluzsub  9631  uzm1  9632  uzsubsubfz  10122  fzm1  10175  eluzgtdifelfzo  10273  ubmelm1fzo  10302  intfracq  10412  modqsubdir  10485  modsumfzodifsn  10488  addmodlteq  10490  uzennn  10528  seq3f1olemqsumkj  10603  zesq  10750  bcval5  10855  hashfz  10913  seq3shft  11003  resqrexlemnmsq  11182  resqrexlemcvg  11184  fzomaxdiflem  11277  fsum0diaglem  11605  fisum0diag  11606  mptfzshft  11607  fsumrev  11608  fsumshft  11609  fisum0diag2  11612  geo2sum  11679  cvgratnnlemabsle  11692  cvgratnnlemsumlt  11693  cvgratz  11697  mertenslemub  11699  mertenslemi1  11700  mertenslem2  11701  mertensabs  11702  fprodshft  11783  fprodrev  11784  fprod0diagfz  11793  eirraplem  11942  dvdsaddre2b  12006  fzocongeq  12023  3dvds  12029  modremain  12094  bitsfzolem  12118  bezoutlemnewy  12163  uzwodc  12204  cncongr1  12271  prmind2  12288  pw2dvds  12334  hashdvds  12389  phiprmpw  12390  crth  12392  eulerthlemh  12399  eulerthlemth  12400  prmdiveq  12404  modprm0  12423  pythagtriplem2  12435  pythagtriplem4  12437  pythagtriplem6  12439  pythagtriplem7  12440  pythagtriplem11  12443  pythagtriplem13  12445  pythagtriplem15  12447  pythagtriplem16  12448  pythagtrip  12452  pceu  12464  pcdiv  12471  pcqcl  12475  pcaddlem  12508  pcbc  12520  gzmulcl  12547  4sqlem5  12551  4sqlem8  12554  4sqlemffi  12565  4sqleminfi  12566  4sqlem11  12570  4sqlem12  12571  4sqlem14  12573  4sqlem16  12575  zndvds  14205  znf1o  14207  plymullem1  14984  mersenne  15233  lgsval  15245  lgsfvalg  15246  lgsmod  15267  lgsdirprm  15275  gausslemma2dlem0h  15297  gausslemma2dlem1a  15299  gausslemma2dlem1cl  15300  gausslemma2dlem3  15304  gausslemma2dlem4  15305  gausslemma2dlem5a  15306  lgseisenlem1  15311  lgseisenlem2  15312  lgsquadlem1  15318  2lgslem2  15333  2sqlem4  15359  2sqlem8  15364  nconstwlpolemgt0  15708