Theorem zsubcld 9535

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 9448	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2178  (class class class)co 5967   − cmin 8278  ℤcz 9407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408

This theorem is referenced by:  eluzsub  9713  uzm1  9714  uzsubsubfz  10204  fzm1  10257  eluzgtdifelfzo  10363  ubmelm1fzo  10392  intfracq  10502  modqsubdir  10575  modsumfzodifsn  10578  addmodlteq  10580  uzennn  10618  seq3f1olemqsumkj  10693  zesq  10840  bcval5  10945  hashfz  11003  ccatlen  11089  ccatval2  11092  ccatvalfn  11095  ccatsymb  11096  swrdval  11139  swrdclg  11141  swrdlen  11143  swrdfv2  11154  swrdwrdsymbg  11155  swrdspsleq  11158  ccatswrd  11161  pfxval  11165  fnpfx  11168  wrdind  11213  wrd2ind  11214  pfxccatin12  11224  swrdccat  11226  seq3shft  11264  resqrexlemnmsq  11443  resqrexlemcvg  11445  fzomaxdiflem  11538  fsum0diaglem  11866  fisum0diag  11867  mptfzshft  11868  fsumrev  11869  fsumshft  11870  fisum0diag2  11873  geo2sum  11940  cvgratnnlemabsle  11953  cvgratnnlemsumlt  11954  cvgratz  11958  mertenslemub  11960  mertenslemi1  11961  mertenslem2  11962  mertensabs  11963  fprodshft  12044  fprodrev  12045  fprod0diagfz  12054  eirraplem  12203  dvdsaddre2b  12267  fzocongeq  12284  3dvds  12290  modremain  12355  bitsfzolem  12380  bitsmod  12382  bitscmp  12384  bitsinv1lem  12387  bezoutlemnewy  12432  uzwodc  12473  cncongr1  12540  prmind2  12557  pw2dvds  12603  hashdvds  12658  phiprmpw  12659  crth  12661  eulerthlemh  12668  eulerthlemth  12669  prmdiveq  12673  modprm0  12692  pythagtriplem2  12704  pythagtriplem4  12706  pythagtriplem6  12708  pythagtriplem7  12709  pythagtriplem11  12712  pythagtriplem13  12714  pythagtriplem15  12716  pythagtriplem16  12717  pythagtrip  12721  pceu  12733  pcdiv  12740  pcqcl  12744  pcaddlem  12777  pcbc  12789  gzmulcl  12816  4sqlem5  12820  4sqlem8  12823  4sqlemffi  12834  4sqleminfi  12835  4sqlem11  12839  4sqlem12  12840  4sqlem14  12842  4sqlem16  12844  zndvds  14526  znf1o  14528  plymullem1  15335  mersenne  15584  lgsval  15596  lgsfvalg  15597  lgsmod  15618  lgsdirprm  15626  gausslemma2dlem0h  15648  gausslemma2dlem1a  15650  gausslemma2dlem1cl  15651  gausslemma2dlem3  15655  gausslemma2dlem4  15656  gausslemma2dlem5a  15657  lgseisenlem1  15662  lgseisenlem2  15663  lgsquadlem1  15669  2lgslem2  15684  2sqlem4  15710  2sqlem8  15715  nconstwlpolemgt0  16205