Theorem zsubcld 9314

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 9228	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 409	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136  (class class class)co 5841   − cmin 8065  ℤcz 9187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-br 3982  df-opab 4043  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188

This theorem is referenced by:  eluzsub  9491  uzm1  9492  uzsubsubfz  9978  fzm1  10031  eluzgtdifelfzo  10128  ubmelm1fzo  10157  intfracq  10251  modqsubdir  10324  modsumfzodifsn  10327  addmodlteq  10329  uzennn  10367  seq3f1olemqsumkj  10429  zesq  10569  bcval5  10672  hashfz  10730  seq3shft  10776  resqrexlemnmsq  10955  resqrexlemcvg  10957  fzomaxdiflem  11050  fsum0diaglem  11377  fisum0diag  11378  mptfzshft  11379  fsumrev  11380  fsumshft  11381  fisum0diag2  11384  geo2sum  11451  cvgratnnlemabsle  11464  cvgratnnlemsumlt  11465  cvgratz  11469  mertenslemub  11471  mertenslemi1  11472  mertenslem2  11473  mertensabs  11474  fprodshft  11555  fprodrev  11556  fprod0diagfz  11565  eirraplem  11713  fzocongeq  11792  modremain  11862  bezoutlemnewy  11925  uzwodc  11966  cncongr1  12031  prmind2  12048  pw2dvds  12094  hashdvds  12149  phiprmpw  12150  crth  12152  eulerthlemh  12159  eulerthlemth  12160  prmdiveq  12164  modprm0  12182  pythagtriplem2  12194  pythagtriplem4  12196  pythagtriplem6  12198  pythagtriplem7  12199  pythagtriplem11  12202  pythagtriplem13  12204  pythagtriplem15  12206  pythagtriplem16  12207  pythagtrip  12211  pceu  12223  pcdiv  12230  pcqcl  12234  pcaddlem  12266  pcbc  12277  gzmulcl  12304  4sqlem5  12308  4sqlem8  12311  lgsval  13505  lgsfvalg  13506  lgsmod  13527  lgsdirprm  13535  2sqlem4  13554  2sqlem8  13559  nconstwlpolemgt0  13902