Theorem zsubcld 9597

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 9510	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6013   − cmin 8340  ℤcz 9469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470

This theorem is referenced by:  eluzmn  9752  eluzsub  9776  uzm1  9777  uzsubsubfz  10272  fzm1  10325  eluzgtdifelfzo  10432  ubmelm1fzo  10461  intfracq  10572  modqsubdir  10645  modsumfzodifsn  10648  addmodlteq  10650  uzennn  10688  seq3f1olemqsumkj  10763  zesq  10910  bcval5  11015  hashfz  11075  ccatlen  11162  ccatval2  11165  ccatvalfn  11168  ccatsymb  11169  ccatalpha  11180  swrdval  11219  swrdclg  11221  swrdlen  11223  swrdfv2  11234  swrdwrdsymbg  11235  swrdspsleq  11238  ccatswrd  11241  pfxval  11245  fnpfx  11248  wrdind  11293  wrd2ind  11294  pfxccatin12  11304  swrdccat  11306  seq3shft  11389  resqrexlemnmsq  11568  resqrexlemcvg  11570  fzomaxdiflem  11663  fsum0diaglem  11991  fisum0diag  11992  mptfzshft  11993  fsumrev  11994  fsumshft  11995  fisum0diag2  11998  geo2sum  12065  cvgratnnlemabsle  12078  cvgratnnlemsumlt  12079  cvgratz  12083  mertenslemub  12085  mertenslemi1  12086  mertenslem2  12087  mertensabs  12088  fprodshft  12169  fprodrev  12170  fprod0diagfz  12179  eirraplem  12328  dvdsaddre2b  12392  fzocongeq  12409  3dvds  12415  modremain  12480  bitsfzolem  12505  bitsmod  12507  bitscmp  12509  bitsinv1lem  12512  bezoutlemnewy  12557  uzwodc  12598  cncongr1  12665  prmind2  12682  pw2dvds  12728  hashdvds  12783  phiprmpw  12784  crth  12786  eulerthlemh  12793  eulerthlemth  12794  prmdiveq  12798  modprm0  12817  pythagtriplem2  12829  pythagtriplem4  12831  pythagtriplem6  12833  pythagtriplem7  12834  pythagtriplem11  12837  pythagtriplem13  12839  pythagtriplem15  12841  pythagtriplem16  12842  pythagtrip  12846  pceu  12858  pcdiv  12865  pcqcl  12869  pcaddlem  12902  pcbc  12914  gzmulcl  12941  4sqlem5  12945  4sqlem8  12948  4sqlemffi  12959  4sqleminfi  12960  4sqlem11  12964  4sqlem12  12965  4sqlem14  12967  4sqlem16  12969  zndvds  14653  znf1o  14655  plymullem1  15462  mersenne  15711  lgsval  15723  lgsfvalg  15724  lgsmod  15745  lgsdirprm  15753  gausslemma2dlem0h  15775  gausslemma2dlem1a  15777  gausslemma2dlem1cl  15778  gausslemma2dlem3  15782  gausslemma2dlem4  15783  gausslemma2dlem5a  15784  lgseisenlem1  15789  lgseisenlem2  15790  lgsquadlem1  15796  2lgslem2  15811  2sqlem4  15837  2sqlem8  15842  clwwlknonex2lem2  16233  nconstwlpolemgt0  16604