Theorem zsubcld 9500

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 9413	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2176  (class class class)co 5944   − cmin 8243  ℤcz 9372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373

This theorem is referenced by:  eluzsub  9678  uzm1  9679  uzsubsubfz  10169  fzm1  10222  eluzgtdifelfzo  10326  ubmelm1fzo  10355  intfracq  10465  modqsubdir  10538  modsumfzodifsn  10541  addmodlteq  10543  uzennn  10581  seq3f1olemqsumkj  10656  zesq  10803  bcval5  10908  hashfz  10966  ccatlen  11051  ccatval2  11054  ccatvalfn  11057  ccatsymb  11058  swrdval  11101  swrdclg  11103  swrdlen  11105  swrdfv2  11116  swrdwrdsymbg  11117  swrdspsleq  11120  ccatswrd  11123  seq3shft  11149  resqrexlemnmsq  11328  resqrexlemcvg  11330  fzomaxdiflem  11423  fsum0diaglem  11751  fisum0diag  11752  mptfzshft  11753  fsumrev  11754  fsumshft  11755  fisum0diag2  11758  geo2sum  11825  cvgratnnlemabsle  11838  cvgratnnlemsumlt  11839  cvgratz  11843  mertenslemub  11845  mertenslemi1  11846  mertenslem2  11847  mertensabs  11848  fprodshft  11929  fprodrev  11930  fprod0diagfz  11939  eirraplem  12088  dvdsaddre2b  12152  fzocongeq  12169  3dvds  12175  modremain  12240  bitsfzolem  12265  bitsmod  12267  bitscmp  12269  bitsinv1lem  12272  bezoutlemnewy  12317  uzwodc  12358  cncongr1  12425  prmind2  12442  pw2dvds  12488  hashdvds  12543  phiprmpw  12544  crth  12546  eulerthlemh  12553  eulerthlemth  12554  prmdiveq  12558  modprm0  12577  pythagtriplem2  12589  pythagtriplem4  12591  pythagtriplem6  12593  pythagtriplem7  12594  pythagtriplem11  12597  pythagtriplem13  12599  pythagtriplem15  12601  pythagtriplem16  12602  pythagtrip  12606  pceu  12618  pcdiv  12625  pcqcl  12629  pcaddlem  12662  pcbc  12674  gzmulcl  12701  4sqlem5  12705  4sqlem8  12708  4sqlemffi  12719  4sqleminfi  12720  4sqlem11  12724  4sqlem12  12725  4sqlem14  12727  4sqlem16  12729  zndvds  14411  znf1o  14413  plymullem1  15220  mersenne  15469  lgsval  15481  lgsfvalg  15482  lgsmod  15503  lgsdirprm  15511  gausslemma2dlem0h  15533  gausslemma2dlem1a  15535  gausslemma2dlem1cl  15536  gausslemma2dlem3  15540  gausslemma2dlem4  15541  gausslemma2dlem5a  15542  lgseisenlem1  15547  lgseisenlem2  15548  lgsquadlem1  15554  2lgslem2  15569  2sqlem4  15595  2sqlem8  15600  nconstwlpolemgt0  16003