Theorem zsubcld 9472

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 9386	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5925   − cmin 8216  ℤcz 9345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-inn 9010  df-n0 9269  df-z 9346

This theorem is referenced by:  eluzsub  9650  uzm1  9651  uzsubsubfz  10141  fzm1  10194  eluzgtdifelfzo  10292  ubmelm1fzo  10321  intfracq  10431  modqsubdir  10504  modsumfzodifsn  10507  addmodlteq  10509  uzennn  10547  seq3f1olemqsumkj  10622  zesq  10769  bcval5  10874  hashfz  10932  seq3shft  11022  resqrexlemnmsq  11201  resqrexlemcvg  11203  fzomaxdiflem  11296  fsum0diaglem  11624  fisum0diag  11625  mptfzshft  11626  fsumrev  11627  fsumshft  11628  fisum0diag2  11631  geo2sum  11698  cvgratnnlemabsle  11711  cvgratnnlemsumlt  11712  cvgratz  11716  mertenslemub  11718  mertenslemi1  11719  mertenslem2  11720  mertensabs  11721  fprodshft  11802  fprodrev  11803  fprod0diagfz  11812  eirraplem  11961  dvdsaddre2b  12025  fzocongeq  12042  3dvds  12048  modremain  12113  bitsfzolem  12138  bitsmod  12140  bitscmp  12142  bitsinv1lem  12145  bezoutlemnewy  12190  uzwodc  12231  cncongr1  12298  prmind2  12315  pw2dvds  12361  hashdvds  12416  phiprmpw  12417  crth  12419  eulerthlemh  12426  eulerthlemth  12427  prmdiveq  12431  modprm0  12450  pythagtriplem2  12462  pythagtriplem4  12464  pythagtriplem6  12466  pythagtriplem7  12467  pythagtriplem11  12470  pythagtriplem13  12472  pythagtriplem15  12474  pythagtriplem16  12475  pythagtrip  12479  pceu  12491  pcdiv  12498  pcqcl  12502  pcaddlem  12535  pcbc  12547  gzmulcl  12574  4sqlem5  12578  4sqlem8  12581  4sqlemffi  12592  4sqleminfi  12593  4sqlem11  12597  4sqlem12  12598  4sqlem14  12600  4sqlem16  12602  zndvds  14283  znf1o  14285  plymullem1  15092  mersenne  15341  lgsval  15353  lgsfvalg  15354  lgsmod  15375  lgsdirprm  15383  gausslemma2dlem0h  15405  gausslemma2dlem1a  15407  gausslemma2dlem1cl  15408  gausslemma2dlem3  15412  gausslemma2dlem4  15413  gausslemma2dlem5a  15414  lgseisenlem1  15419  lgseisenlem2  15420  lgsquadlem1  15426  2lgslem2  15441  2sqlem4  15467  2sqlem8  15472  nconstwlpolemgt0  15821