ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zsubcld GIF version

Theorem zsubcld 9312
Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
zred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
zsubcld (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld
StepHypRef Expression
1 zred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 zaddcld.1 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
3 zsubcl 9226 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
41, 2, 3syl2anc 409 1 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2135  (class class class)co 5839  cmin 8063  cz 9185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4097  ax-pow 4150  ax-pr 4184  ax-un 4408  ax-setind 4511  ax-cnex 7838  ax-resscn 7839  ax-1cn 7840  ax-1re 7841  ax-icn 7842  ax-addcl 7843  ax-addrcl 7844  ax-mulcl 7845  ax-addcom 7847  ax-addass 7849  ax-distr 7851  ax-i2m1 7852  ax-0lt1 7853  ax-0id 7855  ax-rnegex 7856  ax-cnre 7858  ax-pre-ltirr 7859  ax-pre-ltwlin 7860  ax-pre-lttrn 7861  ax-pre-ltadd 7863
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2726  df-sbc 2950  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pw 3558  df-sn 3579  df-pr 3580  df-op 3582  df-uni 3787  df-int 3822  df-br 3980  df-opab 4041  df-id 4268  df-xp 4607  df-rel 4608  df-cnv 4609  df-co 4610  df-dm 4611  df-iota 5150  df-fun 5187  df-fv 5193  df-riota 5795  df-ov 5842  df-oprab 5843  df-mpo 5844  df-pnf 7929  df-mnf 7930  df-xr 7931  df-ltxr 7932  df-le 7933  df-sub 8065  df-neg 8066  df-inn 8852  df-n0 9109  df-z 9186
This theorem is referenced by:  eluzsub  9489  uzm1  9490  uzsubsubfz  9976  fzm1  10029  eluzgtdifelfzo  10126  ubmelm1fzo  10155  intfracq  10249  modqsubdir  10322  modsumfzodifsn  10325  addmodlteq  10327  uzennn  10365  seq3f1olemqsumkj  10427  zesq  10567  bcval5  10670  hashfz  10728  seq3shft  10774  resqrexlemnmsq  10953  resqrexlemcvg  10955  fzomaxdiflem  11048  fsum0diaglem  11375  fisum0diag  11376  mptfzshft  11377  fsumrev  11378  fsumshft  11379  fisum0diag2  11382  geo2sum  11449  cvgratnnlemabsle  11462  cvgratnnlemsumlt  11463  cvgratz  11467  mertenslemub  11469  mertenslemi1  11470  mertenslem2  11471  mertensabs  11472  fprodshft  11553  fprodrev  11554  fprod0diagfz  11563  eirraplem  11711  fzocongeq  11790  modremain  11860  bezoutlemnewy  11923  uzwodc  11964  cncongr1  12029  prmind2  12046  pw2dvds  12092  hashdvds  12147  phiprmpw  12148  crth  12150  eulerthlemh  12157  eulerthlemth  12158  prmdiveq  12162  modprm0  12180  pythagtriplem2  12192  pythagtriplem4  12194  pythagtriplem6  12196  pythagtriplem7  12197  pythagtriplem11  12200  pythagtriplem13  12202  pythagtriplem15  12204  pythagtriplem16  12205  pythagtrip  12209  pceu  12221  pcdiv  12228  pcqcl  12232  pcaddlem  12264  pcbc  12275  gzmulcl  12302  4sqlem5  12306  4sqlem8  12309  nconstwlpolemgt0  13835
  Copyright terms: Public domain W3C validator