Theorem zsubcld 9778

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 9690	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085   − cmin 8499  ℤcz 9649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650

This theorem is used by:  eluzmn  9938  eluzsub  9962  uzm1  9963  ltesubnnd  10181  uzsubsubfz  10463  fzsplit3  10469  fzspl  10487  fzm1  10518  eluzgtdifelfzo  10626  ubmelm1fzo  10655  intfracq  10772  modqsubdir  10845  modsumfzodifsn  10848  addmodlteq  10850  uzennn  10888  seq3f1olemqsumkj  10963  zesq  11111  bcval5  11217  hashfz  11278  ccatlen  11379  ccatval2  11382  ccatvalfn  11385  ccatsymb  11386  ccatalpha  11397  swrdval  11436  swrdclg  11438  swrdlen  11440  swrdfv2  11451  swrdwrdsymbg  11452  swrdspsleq  11455  ccatswrd  11458  pfxval  11462  fnpfx  11465  wrdind  11510  wrd2ind  11511  pfxccatin12  11521  swrdccat  11523  seq3shft  11619  resqrexlemnmsq  11799  resqrexlemcvg  11801  fzomaxdiflem  11895  fsum0diaglem  12226  fisum0diag  12227  mptfzshft  12228  fsumrev  12229  fsumshft  12230  fisum0diag2  12233  geo2sum  12300  cvgratnnlemabsle  12313  cvgratnnlemsumlt  12314  cvgratz  12318  mertenslemub  12320  mertenslemi1  12321  mertenslem2  12322  mertensabs  12323  fprodshft  12404  fprodrev  12405  fprod0diagfz  12414  eirraplem  12563  dvdsaddre2b  12627  fzocongeq  12644  3dvds  12650  modremain  12715  bitsfzolem  12740  bitsmod  12742  bitscmp  12744  bitsinv1lem  12747  bezoutlemnewy  12792  uzwodc  12833  cncongr1  12900  prmind2  12917  pwbdvds  12964  hashdvds  13022  phiprmpw  13023  crth  13025  eulerthlemh  13032  eulerthlemth  13033  prmdiveq  13037  modprm0  13056  pythagtriplem2  13068  pythagtriplem4  13070  pythagtriplem6  13072  pythagtriplem7  13073  pythagtriplem11  13076  pythagtriplem13  13078  pythagtriplem15  13080  pythagtriplem16  13081  pythagtrip  13085  pceu  13097  pcdiv  13104  pcqcl  13108  pcaddlem  13141  pcbc  13153  gzmulcl  13180  4sqlem5  13184  4sqlem8  13187  4sqlemffi  13198  4sqleminfi  13199  4sqlem11  13203  4sqlem12  13204  4sqlem14  13206  4sqlem16  13208  ballotfilemfval  13281  ballotfilemfelz  13282  ballotfilemfp1  13283  ballotfilemimin  13301  ballotfilemic  13302  ballotfilem1c  13303  ballotfilemsv  13305  ballotfilemsf1o  13309  ballotfilemgval  13319  ballotfilemfrceq  13324  ballotfilemfrcn0  13325  gzsumshift  14233  gzsumgsum  14239  zndvds  15068  znf1o  15070  psrbagcon  15146  psrbagconf1o  15149  plymullem1  15940  ppiqub  16254  mersenne  16258  bcmono  16265  bcmax  16266  bposlem1  16272  lgsval  16289  lgsfvalg  16290  lgsmod  16311  lgsdirprm  16319  gausslemma2dlem0h  16341  gausslemma2dlem1a  16343  gausslemma2dlem1cl  16344  gausslemma2dlem3  16348  gausslemma2dlem4  16349  gausslemma2dlem5a  16350  lgseisenlem1  16355  lgseisenlem2  16356  lgsquadlem1  16362  2lgslem2  16377  2sqlem4  16403  2sqlem8  16408  clwwlknonex2lem2  16845  nconstwlpolemgt0  17281