Theorem zsubcld 9607

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 9520	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6018   − cmin 8350  ℤcz 9479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480

This theorem is referenced by:  eluzmn  9762  eluzsub  9786  uzm1  9787  uzsubsubfz  10282  fzm1  10335  eluzgtdifelfzo  10443  ubmelm1fzo  10472  intfracq  10583  modqsubdir  10656  modsumfzodifsn  10659  addmodlteq  10661  uzennn  10699  seq3f1olemqsumkj  10774  zesq  10921  bcval5  11026  hashfz  11086  ccatlen  11176  ccatval2  11179  ccatvalfn  11182  ccatsymb  11183  ccatalpha  11194  swrdval  11233  swrdclg  11235  swrdlen  11237  swrdfv2  11248  swrdwrdsymbg  11249  swrdspsleq  11252  ccatswrd  11255  pfxval  11259  fnpfx  11262  wrdind  11307  wrd2ind  11308  pfxccatin12  11318  swrdccat  11320  seq3shft  11416  resqrexlemnmsq  11595  resqrexlemcvg  11597  fzomaxdiflem  11690  fsum0diaglem  12019  fisum0diag  12020  mptfzshft  12021  fsumrev  12022  fsumshft  12023  fisum0diag2  12026  geo2sum  12093  cvgratnnlemabsle  12106  cvgratnnlemsumlt  12107  cvgratz  12111  mertenslemub  12113  mertenslemi1  12114  mertenslem2  12115  mertensabs  12116  fprodshft  12197  fprodrev  12198  fprod0diagfz  12207  eirraplem  12356  dvdsaddre2b  12420  fzocongeq  12437  3dvds  12443  modremain  12508  bitsfzolem  12533  bitsmod  12535  bitscmp  12537  bitsinv1lem  12540  bezoutlemnewy  12585  uzwodc  12626  cncongr1  12693  prmind2  12710  pw2dvds  12756  hashdvds  12811  phiprmpw  12812  crth  12814  eulerthlemh  12821  eulerthlemth  12822  prmdiveq  12826  modprm0  12845  pythagtriplem2  12857  pythagtriplem4  12859  pythagtriplem6  12861  pythagtriplem7  12862  pythagtriplem11  12865  pythagtriplem13  12867  pythagtriplem15  12869  pythagtriplem16  12870  pythagtrip  12874  pceu  12886  pcdiv  12893  pcqcl  12897  pcaddlem  12930  pcbc  12942  gzmulcl  12969  4sqlem5  12973  4sqlem8  12976  4sqlemffi  12987  4sqleminfi  12988  4sqlem11  12992  4sqlem12  12993  4sqlem14  12995  4sqlem16  12997  zndvds  14682  znf1o  14684  plymullem1  15491  mersenne  15740  lgsval  15752  lgsfvalg  15753  lgsmod  15774  lgsdirprm  15782  gausslemma2dlem0h  15804  gausslemma2dlem1a  15806  gausslemma2dlem1cl  15807  gausslemma2dlem3  15811  gausslemma2dlem4  15812  gausslemma2dlem5a  15813  lgseisenlem1  15818  lgseisenlem2  15819  lgsquadlem1  15825  2lgslem2  15840  2sqlem4  15866  2sqlem8  15871  clwwlknonex2lem2  16308  nconstwlpolemgt0  16720  gsumgfsumlem  16735  gsumgfsum  16736