Theorem zsubcld 9777

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 9689	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085   − cmin 8498  ℤcz 9648

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-inn 9307  df-n0 9568  df-z 9649

This theorem is used by:  eluzmn  9937  eluzsub  9961  uzm1  9962  ltesubnnd  10180  uzsubsubfz  10462  fzsplit3  10468  fzspl  10486  fzm1  10517  eluzgtdifelfzo  10625  ubmelm1fzo  10654  intfracq  10770  modqsubdir  10843  modsumfzodifsn  10846  addmodlteq  10848  uzennn  10886  seq3f1olemqsumkj  10961  zesq  11109  bcval5  11215  hashfz  11276  ccatlen  11377  ccatval2  11380  ccatvalfn  11383  ccatsymb  11384  ccatalpha  11395  swrdval  11434  swrdclg  11436  swrdlen  11438  swrdfv2  11449  swrdwrdsymbg  11450  swrdspsleq  11453  ccatswrd  11456  pfxval  11460  fnpfx  11463  wrdind  11508  wrd2ind  11509  pfxccatin12  11519  swrdccat  11521  seq3shft  11617  resqrexlemnmsq  11797  resqrexlemcvg  11799  fzomaxdiflem  11893  fsum0diaglem  12223  fisum0diag  12224  mptfzshft  12225  fsumrev  12226  fsumshft  12227  fisum0diag2  12230  geo2sum  12297  cvgratnnlemabsle  12310  cvgratnnlemsumlt  12311  cvgratz  12315  mertenslemub  12317  mertenslemi1  12318  mertenslem2  12319  mertensabs  12320  fprodshft  12401  fprodrev  12402  fprod0diagfz  12411  eirraplem  12560  dvdsaddre2b  12624  fzocongeq  12641  3dvds  12647  modremain  12712  bitsfzolem  12737  bitsmod  12739  bitscmp  12741  bitsinv1lem  12744  bezoutlemnewy  12789  uzwodc  12830  cncongr1  12897  prmind2  12914  pwbdvds  12961  hashdvds  13019  phiprmpw  13020  crth  13022  eulerthlemh  13029  eulerthlemth  13030  prmdiveq  13034  modprm0  13053  pythagtriplem2  13065  pythagtriplem4  13067  pythagtriplem6  13069  pythagtriplem7  13070  pythagtriplem11  13073  pythagtriplem13  13075  pythagtriplem15  13077  pythagtriplem16  13078  pythagtrip  13082  pceu  13094  pcdiv  13101  pcqcl  13105  pcaddlem  13138  pcbc  13150  gzmulcl  13177  4sqlem5  13181  4sqlem8  13184  4sqlemffi  13195  4sqleminfi  13196  4sqlem11  13200  4sqlem12  13201  4sqlem14  13203  4sqlem16  13205  ballotfilemfval  13278  ballotfilemfelz  13279  ballotfilemfp1  13280  ballotfilemimin  13298  ballotfilemic  13299  ballotfilem1c  13300  ballotfilemsv  13302  ballotfilemsf1o  13306  ballotfilemgval  13316  ballotfilemfrceq  13321  ballotfilemfrcn0  13322  gzsumshift  14198  gzsumgsum  14204  zndvds  15033  znf1o  15035  psrbagcon  15111  psrbagconf1o  15113  plymullem1  15898  ppiqub  16194  mersenne  16195  bcmono  16202  bcmax  16203  bposlem1  16209  lgsval  16221  lgsfvalg  16222  lgsmod  16243  lgsdirprm  16251  gausslemma2dlem0h  16273  gausslemma2dlem1a  16275  gausslemma2dlem1cl  16276  gausslemma2dlem3  16280  gausslemma2dlem4  16281  gausslemma2dlem5a  16282  lgseisenlem1  16287  lgseisenlem2  16288  lgsquadlem1  16294  2lgslem2  16309  2sqlem4  16335  2sqlem8  16340  clwwlknonex2lem2  16777  nconstwlpolemgt0  17212