Theorem zsubcld 9585

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 9498	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6007   − cmin 8328  ℤcz 9457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458

This theorem is referenced by:  eluzmn  9740  eluzsub  9764  uzm1  9765  uzsubsubfz  10255  fzm1  10308  eluzgtdifelfzo  10415  ubmelm1fzo  10444  intfracq  10554  modqsubdir  10627  modsumfzodifsn  10630  addmodlteq  10632  uzennn  10670  seq3f1olemqsumkj  10745  zesq  10892  bcval5  10997  hashfz  11056  ccatlen  11143  ccatval2  11146  ccatvalfn  11149  ccatsymb  11150  ccatalpha  11161  swrdval  11196  swrdclg  11198  swrdlen  11200  swrdfv2  11211  swrdwrdsymbg  11212  swrdspsleq  11215  ccatswrd  11218  pfxval  11222  fnpfx  11225  wrdind  11270  wrd2ind  11271  pfxccatin12  11281  swrdccat  11283  seq3shft  11365  resqrexlemnmsq  11544  resqrexlemcvg  11546  fzomaxdiflem  11639  fsum0diaglem  11967  fisum0diag  11968  mptfzshft  11969  fsumrev  11970  fsumshft  11971  fisum0diag2  11974  geo2sum  12041  cvgratnnlemabsle  12054  cvgratnnlemsumlt  12055  cvgratz  12059  mertenslemub  12061  mertenslemi1  12062  mertenslem2  12063  mertensabs  12064  fprodshft  12145  fprodrev  12146  fprod0diagfz  12155  eirraplem  12304  dvdsaddre2b  12368  fzocongeq  12385  3dvds  12391  modremain  12456  bitsfzolem  12481  bitsmod  12483  bitscmp  12485  bitsinv1lem  12488  bezoutlemnewy  12533  uzwodc  12574  cncongr1  12641  prmind2  12658  pw2dvds  12704  hashdvds  12759  phiprmpw  12760  crth  12762  eulerthlemh  12769  eulerthlemth  12770  prmdiveq  12774  modprm0  12793  pythagtriplem2  12805  pythagtriplem4  12807  pythagtriplem6  12809  pythagtriplem7  12810  pythagtriplem11  12813  pythagtriplem13  12815  pythagtriplem15  12817  pythagtriplem16  12818  pythagtrip  12822  pceu  12834  pcdiv  12841  pcqcl  12845  pcaddlem  12878  pcbc  12890  gzmulcl  12917  4sqlem5  12921  4sqlem8  12924  4sqlemffi  12935  4sqleminfi  12936  4sqlem11  12940  4sqlem12  12941  4sqlem14  12943  4sqlem16  12945  zndvds  14629  znf1o  14631  plymullem1  15438  mersenne  15687  lgsval  15699  lgsfvalg  15700  lgsmod  15721  lgsdirprm  15729  gausslemma2dlem0h  15751  gausslemma2dlem1a  15753  gausslemma2dlem1cl  15754  gausslemma2dlem3  15758  gausslemma2dlem4  15759  gausslemma2dlem5a  15760  lgseisenlem1  15765  lgseisenlem2  15766  lgsquadlem1  15772  2lgslem2  15787  2sqlem4  15813  2sqlem8  15818  nconstwlpolemgt0  16520