Theorem zsubcld 9784

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 9696	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088   − cmin 8504  ℤcz 9655

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656

This theorem is used by:  eluzmn  9944  eluzsub  9968  uzm1  9969  ltesubnnd  10187  uzsubsubfz  10469  fzsplit3  10475  fzspl  10493  fzm1  10524  eluzgtdifelfzo  10632  ubmelm1fzo  10661  intfracq  10778  modqsubdir  10851  modsumfzodifsn  10854  addmodlteq  10856  uzennn  10894  seq3f1olemqsumkj  10969  zesq  11117  bcval5  11223  hashfz  11284  ccatlen  11385  ccatval2  11388  ccatvalfn  11391  ccatsymb  11392  ccatalpha  11403  swrdval  11442  swrdclg  11444  swrdlen  11446  swrdfv2  11457  swrdwrdsymbg  11458  swrdspsleq  11461  ccatswrd  11464  pfxval  11468  fnpfx  11471  wrdind  11516  wrd2ind  11517  pfxccatin12  11527  swrdccat  11529  seq3shft  11625  resqrexlemnmsq  11805  resqrexlemcvg  11807  fzomaxdiflem  11901  fsum0diaglem  12232  fisum0diag  12233  mptfzshft  12234  fsumrev  12235  fsumshft  12236  fisum0diag2  12239  geo2sum  12306  cvgratnnlemabsle  12319  cvgratnnlemsumlt  12320  cvgratz  12324  mertenslemub  12326  mertenslemi1  12327  mertenslem2  12328  mertensabs  12329  fprodshft  12410  fprodrev  12411  fprod0diagfz  12420  eirraplem  12569  dvdsaddre2b  12633  fzocongeq  12650  3dvds  12656  modremain  12721  bitsfzolem  12746  bitsmod  12748  bitscmp  12750  bitsinv1lem  12753  bezoutlemnewy  12798  uzwodc  12839  cncongr1  12906  prmind2  12923  pwbdvds  12970  hashdvds  13028  phiprmpw  13029  crth  13031  eulerthlemh  13038  eulerthlemth  13039  prmdiveq  13043  modprm0  13062  pythagtriplem2  13074  pythagtriplem4  13076  pythagtriplem6  13078  pythagtriplem7  13079  pythagtriplem11  13082  pythagtriplem13  13084  pythagtriplem15  13086  pythagtriplem16  13087  pythagtrip  13091  pceu  13103  pcdiv  13110  pcqcl  13114  pcaddlem  13147  pcbc  13159  gzmulcl  13186  4sqlem5  13190  4sqlem8  13193  4sqlemffi  13204  4sqleminfi  13205  4sqlem11  13209  4sqlem12  13210  4sqlem14  13212  4sqlem16  13214  ballotfilemfval  13287  ballotfilemfelz  13288  ballotfilemfp1  13289  ballotfilemimin  13307  ballotfilemic  13308  ballotfilem1c  13309  ballotfilemsv  13311  ballotfilemsf1o  13315  ballotfilemgval  13325  ballotfilemfrceq  13330  ballotfilemfrcn0  13331  gzsumshift  14239  gzsumgsum  14245  zndvds  15093  znf1o  15095  psrbagcon  15171  psrbagconf1o  15174  gsumbagdiaglem  15175  psrass1filem  15177  psrass1fi  15201  plymullem1  15974  ppiqub  16293  mersenne  16297  bcmono  16304  bcmax  16305  bposlem1  16311  lgsval  16328  lgsfvalg  16329  lgsmod  16350  lgsdirprm  16358  gausslemma2dlem0h  16380  gausslemma2dlem1a  16382  gausslemma2dlem1cl  16383  gausslemma2dlem3  16387  gausslemma2dlem4  16388  gausslemma2dlem5a  16389  lgseisenlem1  16394  lgseisenlem2  16395  lgsquadlem1  16401  2lgslem2  16416  2sqlem4  16442  2sqlem8  16447  clwwlknonex2lem2  16884  nconstwlpolemgt0  17321