Theorem zsubcld 9606

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 9519	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6017   − cmin 8349  ℤcz 9478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479

This theorem is referenced by:  eluzmn  9761  eluzsub  9785  uzm1  9786  uzsubsubfz  10281  fzm1  10334  eluzgtdifelfzo  10441  ubmelm1fzo  10470  intfracq  10581  modqsubdir  10654  modsumfzodifsn  10657  addmodlteq  10659  uzennn  10697  seq3f1olemqsumkj  10772  zesq  10919  bcval5  11024  hashfz  11084  ccatlen  11171  ccatval2  11174  ccatvalfn  11177  ccatsymb  11178  ccatalpha  11189  swrdval  11228  swrdclg  11230  swrdlen  11232  swrdfv2  11243  swrdwrdsymbg  11244  swrdspsleq  11247  ccatswrd  11250  pfxval  11254  fnpfx  11257  wrdind  11302  wrd2ind  11303  pfxccatin12  11313  swrdccat  11315  seq3shft  11398  resqrexlemnmsq  11577  resqrexlemcvg  11579  fzomaxdiflem  11672  fsum0diaglem  12000  fisum0diag  12001  mptfzshft  12002  fsumrev  12003  fsumshft  12004  fisum0diag2  12007  geo2sum  12074  cvgratnnlemabsle  12087  cvgratnnlemsumlt  12088  cvgratz  12092  mertenslemub  12094  mertenslemi1  12095  mertenslem2  12096  mertensabs  12097  fprodshft  12178  fprodrev  12179  fprod0diagfz  12188  eirraplem  12337  dvdsaddre2b  12401  fzocongeq  12418  3dvds  12424  modremain  12489  bitsfzolem  12514  bitsmod  12516  bitscmp  12518  bitsinv1lem  12521  bezoutlemnewy  12566  uzwodc  12607  cncongr1  12674  prmind2  12691  pw2dvds  12737  hashdvds  12792  phiprmpw  12793  crth  12795  eulerthlemh  12802  eulerthlemth  12803  prmdiveq  12807  modprm0  12826  pythagtriplem2  12838  pythagtriplem4  12840  pythagtriplem6  12842  pythagtriplem7  12843  pythagtriplem11  12846  pythagtriplem13  12848  pythagtriplem15  12850  pythagtriplem16  12851  pythagtrip  12855  pceu  12867  pcdiv  12874  pcqcl  12878  pcaddlem  12911  pcbc  12923  gzmulcl  12950  4sqlem5  12954  4sqlem8  12957  4sqlemffi  12968  4sqleminfi  12969  4sqlem11  12973  4sqlem12  12974  4sqlem14  12976  4sqlem16  12978  zndvds  14662  znf1o  14664  plymullem1  15471  mersenne  15720  lgsval  15732  lgsfvalg  15733  lgsmod  15754  lgsdirprm  15762  gausslemma2dlem0h  15784  gausslemma2dlem1a  15786  gausslemma2dlem1cl  15787  gausslemma2dlem3  15791  gausslemma2dlem4  15792  gausslemma2dlem5a  15793  lgseisenlem1  15798  lgseisenlem2  15799  lgsquadlem1  15805  2lgslem2  15820  2sqlem4  15846  2sqlem8  15851  clwwlknonex2lem2  16288  nconstwlpolemgt0  16668  gsumgfsumlem  16683  gsumgfsum  16684