Theorem zsubcld 9447

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 9361	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5919   − cmin 8192  ℤcz 9320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321

This theorem is referenced by:  eluzsub  9625  uzm1  9626  uzsubsubfz  10116  fzm1  10169  eluzgtdifelfzo  10267  ubmelm1fzo  10296  intfracq  10394  modqsubdir  10467  modsumfzodifsn  10470  addmodlteq  10472  uzennn  10510  seq3f1olemqsumkj  10585  zesq  10732  bcval5  10837  hashfz  10895  seq3shft  10985  resqrexlemnmsq  11164  resqrexlemcvg  11166  fzomaxdiflem  11259  fsum0diaglem  11586  fisum0diag  11587  mptfzshft  11588  fsumrev  11589  fsumshft  11590  fisum0diag2  11593  geo2sum  11660  cvgratnnlemabsle  11673  cvgratnnlemsumlt  11674  cvgratz  11678  mertenslemub  11680  mertenslemi1  11681  mertenslem2  11682  mertensabs  11683  fprodshft  11764  fprodrev  11765  fprod0diagfz  11774  eirraplem  11923  dvdsaddre2b  11987  fzocongeq  12003  modremain  12073  bezoutlemnewy  12136  uzwodc  12177  cncongr1  12244  prmind2  12261  pw2dvds  12307  hashdvds  12362  phiprmpw  12363  crth  12365  eulerthlemh  12372  eulerthlemth  12373  prmdiveq  12377  modprm0  12395  pythagtriplem2  12407  pythagtriplem4  12409  pythagtriplem6  12411  pythagtriplem7  12412  pythagtriplem11  12415  pythagtriplem13  12417  pythagtriplem15  12419  pythagtriplem16  12420  pythagtrip  12424  pceu  12436  pcdiv  12443  pcqcl  12447  pcaddlem  12480  pcbc  12492  gzmulcl  12519  4sqlem5  12523  4sqlem8  12526  4sqlemffi  12537  4sqleminfi  12538  4sqlem11  12542  4sqlem12  12543  4sqlem14  12545  4sqlem16  12547  zndvds  14148  znf1o  14150  plymullem1  14927  lgsval  15161  lgsfvalg  15162  lgsmod  15183  lgsdirprm  15191  gausslemma2dlem0h  15213  gausslemma2dlem1a  15215  gausslemma2dlem1cl  15216  gausslemma2dlem3  15220  gausslemma2dlem4  15221  gausslemma2dlem5a  15222  lgseisenlem1  15227  lgseisenlem2  15228  lgsquadlem1  15234  2lgslem2  15249  2sqlem4  15275  2sqlem8  15280  nconstwlpolemgt0  15624