Theorem zsubcld 9410

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 9324	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2160  (class class class)co 5896   − cmin 8158  ℤcz 9283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-addcom 7941  ax-addass 7943  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-ltadd 7957

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-inn 8950  df-n0 9207  df-z 9284

This theorem is referenced by:  eluzsub  9587  uzm1  9588  uzsubsubfz  10077  fzm1  10130  eluzgtdifelfzo  10227  ubmelm1fzo  10256  intfracq  10351  modqsubdir  10424  modsumfzodifsn  10427  addmodlteq  10429  uzennn  10467  seq3f1olemqsumkj  10529  zesq  10670  bcval5  10775  hashfz  10833  seq3shft  10879  resqrexlemnmsq  11058  resqrexlemcvg  11060  fzomaxdiflem  11153  fsum0diaglem  11480  fisum0diag  11481  mptfzshft  11482  fsumrev  11483  fsumshft  11484  fisum0diag2  11487  geo2sum  11554  cvgratnnlemabsle  11567  cvgratnnlemsumlt  11568  cvgratz  11572  mertenslemub  11574  mertenslemi1  11575  mertenslem2  11576  mertensabs  11577  fprodshft  11658  fprodrev  11659  fprod0diagfz  11668  eirraplem  11816  dvdsaddre2b  11880  fzocongeq  11896  modremain  11966  bezoutlemnewy  12029  uzwodc  12070  cncongr1  12135  prmind2  12152  pw2dvds  12198  hashdvds  12253  phiprmpw  12254  crth  12256  eulerthlemh  12263  eulerthlemth  12264  prmdiveq  12268  modprm0  12286  pythagtriplem2  12298  pythagtriplem4  12300  pythagtriplem6  12302  pythagtriplem7  12303  pythagtriplem11  12306  pythagtriplem13  12308  pythagtriplem15  12310  pythagtriplem16  12311  pythagtrip  12315  pceu  12327  pcdiv  12334  pcqcl  12338  pcaddlem  12371  pcbc  12383  gzmulcl  12410  4sqlem5  12414  4sqlem8  12417  4sqlemffi  12428  4sqleminfi  12429  4sqlem11  12433  4sqlem12  12434  4sqlem14  12436  4sqlem16  12438  lgsval  14863  lgsfvalg  14864  lgsmod  14885  lgsdirprm  14893  lgseisenlem1  14908  lgseisenlem2  14909  2sqlem4  14923  2sqlem8  14928  nconstwlpolemgt0  15271