Theorem zsubcld 9783

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 9694	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088   − cmin 8504  ℤcz 9653

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9654

This theorem is used by:  eluzmn  9943  eluzsub  9967  uzm1  9968  ltesubnnd  10186  uzsubsubfz  10468  fzsplit3  10474  fzspl  10492  fzm1  10523  eluzgtdifelfzo  10631  ubmelm1fzo  10660  intfracq  10777  modqsubdir  10850  modsumfzodifsn  10853  addmodlteq  10855  uzennn  10893  seq3f1olemqsumkj  10968  zesq  11116  bcval5  11222  hashfz  11283  ccatlen  11384  ccatval2  11387  ccatvalfn  11390  ccatsymb  11391  ccatalpha  11402  swrdval  11441  swrdclg  11443  swrdlen  11445  swrdfv2  11456  swrdwrdsymbg  11457  swrdspsleq  11460  ccatswrd  11463  pfxval  11467  fnpfx  11470  wrdind  11515  wrd2ind  11516  pfxccatin12  11526  swrdccat  11528  seq3shft  11624  resqrexlemnmsq  11804  resqrexlemcvg  11806  fzomaxdiflem  11900  fsum0diaglem  12231  fisum0diag  12232  mptfzshft  12233  fsumrev  12234  fsumshft  12235  fisum0diag2  12238  geo2sum  12305  cvgratnnlemabsle  12318  cvgratnnlemsumlt  12319  cvgratz  12323  mertenslemub  12325  mertenslemi1  12326  mertenslem2  12327  mertensabs  12328  fprodshft  12409  fprodrev  12410  fprod0diagfz  12419  eirraplem  12568  dvdsaddre2b  12632  fzocongeq  12649  3dvds  12655  modremain  12720  bitsfzolem  12745  bitsmod  12747  bitscmp  12749  bitsinv1lem  12752  bezoutlemnewy  12797  uzwodc  12838  cncongr1  12905  prmind2  12922  pwbdvds  12969  hashdvds  13027  phiprmpw  13028  crth  13030  eulerthlemh  13037  eulerthlemth  13038  prmdiveq  13042  modprm0  13061  pythagtriplem2  13073  pythagtriplem4  13075  pythagtriplem6  13077  pythagtriplem7  13078  pythagtriplem11  13081  pythagtriplem13  13083  pythagtriplem15  13085  pythagtriplem16  13086  pythagtrip  13090  pceu  13102  pcdiv  13109  pcqcl  13113  pcaddlem  13146  pcbc  13158  gzmulcl  13185  4sqlem5  13189  4sqlem8  13192  4sqlemffi  13203  4sqleminfi  13204  4sqlem11  13208  4sqlem12  13209  4sqlem14  13211  4sqlem16  13213  ballotfilemfval  13286  ballotfilemfelz  13287  ballotfilemfp1  13288  ballotfilemimin  13306  ballotfilemic  13307  ballotfilem1c  13308  ballotfilemsv  13310  ballotfilemsf1o  13314  ballotfilemgval  13324  ballotfilemfrceq  13329  ballotfilemfrcn0  13330  gzsumshift  14238  gzsumgsum  14244  zndvds  15092  znf1o  15094  psrbagcon  15174  psrbagconf1o  15177  gsumbagdiaglem  15184  psrass1filem  15186  psrass1fi  15210  plymullem1  15991  ppiqub  16310  mersenne  16314  bcmono  16321  bcmax  16322  bposlem1  16328  lgsval  16345  lgsfvalg  16346  lgsmod  16367  lgsdirprm  16375  gausslemma2dlem0h  16397  gausslemma2dlem1a  16399  gausslemma2dlem1cl  16400  gausslemma2dlem3  16404  gausslemma2dlem4  16405  gausslemma2dlem5a  16406  lgseisenlem1  16411  lgseisenlem2  16412  lgsquadlem1  16418  2lgslem2  16433  2sqlem4  16459  2sqlem8  16464  clwwlknonex2lem2  16901  nconstwlpolemgt0  17338