Theorem zsubcld 9520

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 9433	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177  (class class class)co 5957   − cmin 8263  ℤcz 9392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393

This theorem is referenced by:  eluzsub  9698  uzm1  9699  uzsubsubfz  10189  fzm1  10242  eluzgtdifelfzo  10348  ubmelm1fzo  10377  intfracq  10487  modqsubdir  10560  modsumfzodifsn  10563  addmodlteq  10565  uzennn  10603  seq3f1olemqsumkj  10678  zesq  10825  bcval5  10930  hashfz  10988  ccatlen  11074  ccatval2  11077  ccatvalfn  11080  ccatsymb  11081  swrdval  11124  swrdclg  11126  swrdlen  11128  swrdfv2  11139  swrdwrdsymbg  11140  swrdspsleq  11143  ccatswrd  11146  pfxval  11150  fnpfx  11153  wrdind  11198  wrd2ind  11199  seq3shft  11224  resqrexlemnmsq  11403  resqrexlemcvg  11405  fzomaxdiflem  11498  fsum0diaglem  11826  fisum0diag  11827  mptfzshft  11828  fsumrev  11829  fsumshft  11830  fisum0diag2  11833  geo2sum  11900  cvgratnnlemabsle  11913  cvgratnnlemsumlt  11914  cvgratz  11918  mertenslemub  11920  mertenslemi1  11921  mertenslem2  11922  mertensabs  11923  fprodshft  12004  fprodrev  12005  fprod0diagfz  12014  eirraplem  12163  dvdsaddre2b  12227  fzocongeq  12244  3dvds  12250  modremain  12315  bitsfzolem  12340  bitsmod  12342  bitscmp  12344  bitsinv1lem  12347  bezoutlemnewy  12392  uzwodc  12433  cncongr1  12500  prmind2  12517  pw2dvds  12563  hashdvds  12618  phiprmpw  12619  crth  12621  eulerthlemh  12628  eulerthlemth  12629  prmdiveq  12633  modprm0  12652  pythagtriplem2  12664  pythagtriplem4  12666  pythagtriplem6  12668  pythagtriplem7  12669  pythagtriplem11  12672  pythagtriplem13  12674  pythagtriplem15  12676  pythagtriplem16  12677  pythagtrip  12681  pceu  12693  pcdiv  12700  pcqcl  12704  pcaddlem  12737  pcbc  12749  gzmulcl  12776  4sqlem5  12780  4sqlem8  12783  4sqlemffi  12794  4sqleminfi  12795  4sqlem11  12799  4sqlem12  12800  4sqlem14  12802  4sqlem16  12804  zndvds  14486  znf1o  14488  plymullem1  15295  mersenne  15544  lgsval  15556  lgsfvalg  15557  lgsmod  15578  lgsdirprm  15586  gausslemma2dlem0h  15608  gausslemma2dlem1a  15610  gausslemma2dlem1cl  15611  gausslemma2dlem3  15615  gausslemma2dlem4  15616  gausslemma2dlem5a  15617  lgseisenlem1  15622  lgseisenlem2  15623  lgsquadlem1  15629  2lgslem2  15644  2sqlem4  15670  2sqlem8  15675  nconstwlpolemgt0  16144