Theorem zsubcld 9752

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 9664	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6075   − cmin 8487  ℤcz 9623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624

This theorem is referenced by:  eluzmn  9907  eluzsub  9931  uzm1  9932  ltesubnnd  10149  uzsubsubfz  10430  fzsplit3  10436  fzspl  10454  fzm1  10485  eluzgtdifelfzo  10593  ubmelm1fzo  10622  intfracq  10735  modqsubdir  10808  modsumfzodifsn  10811  addmodlteq  10813  uzennn  10851  seq3f1olemqsumkj  10926  zesq  11074  bcval5  11179  hashfz  11240  ccatlen  11341  ccatval2  11344  ccatvalfn  11347  ccatsymb  11348  ccatalpha  11359  swrdval  11398  swrdclg  11400  swrdlen  11402  swrdfv2  11413  swrdwrdsymbg  11414  swrdspsleq  11417  ccatswrd  11420  pfxval  11424  fnpfx  11427  wrdind  11472  wrd2ind  11473  pfxccatin12  11483  swrdccat  11485  seq3shft  11581  resqrexlemnmsq  11761  resqrexlemcvg  11763  fzomaxdiflem  11856  fsum0diaglem  12185  fisum0diag  12186  mptfzshft  12187  fsumrev  12188  fsumshft  12189  fisum0diag2  12192  geo2sum  12259  cvgratnnlemabsle  12272  cvgratnnlemsumlt  12273  cvgratz  12277  mertenslemub  12279  mertenslemi1  12280  mertenslem2  12281  mertensabs  12282  fprodshft  12363  fprodrev  12364  fprod0diagfz  12373  eirraplem  12522  dvdsaddre2b  12586  fzocongeq  12603  3dvds  12609  modremain  12674  bitsfzolem  12699  bitsmod  12701  bitscmp  12703  bitsinv1lem  12706  bezoutlemnewy  12751  uzwodc  12792  cncongr1  12859  prmind2  12876  pw2dvds  12922  hashdvds  12977  phiprmpw  12978  crth  12980  eulerthlemh  12987  eulerthlemth  12988  prmdiveq  12992  modprm0  13011  pythagtriplem2  13023  pythagtriplem4  13025  pythagtriplem6  13027  pythagtriplem7  13028  pythagtriplem11  13031  pythagtriplem13  13033  pythagtriplem15  13035  pythagtriplem16  13036  pythagtrip  13040  pceu  13052  pcdiv  13059  pcqcl  13063  pcaddlem  13096  pcbc  13108  gzmulcl  13135  4sqlem5  13139  4sqlem8  13142  4sqlemffi  13153  4sqleminfi  13154  4sqlem11  13158  4sqlem12  13159  4sqlem14  13161  4sqlem16  13163  ballotfilemfval  13207  ballotfilemfelz  13208  ballotfilemfp1  13209  ballotfilemimin  13227  ballotfilemic  13228  ballotfilem1c  13229  ballotfilemsv  13231  ballotfilemsf1o  13235  ballotfilemgval  13245  ballotfilemfrceq  13250  ballotfilemfrcn0  13251  gzsumshift  14126  gzsumgsum  14132  zndvds  14956  znf1o  14958  psrbagcon  14985  psrbagconf1o  14987  plymullem1  15772  mersenne  16025  lgsval  16037  lgsfvalg  16038  lgsmod  16059  lgsdirprm  16067  gausslemma2dlem0h  16089  gausslemma2dlem1a  16091  gausslemma2dlem1cl  16092  gausslemma2dlem3  16096  gausslemma2dlem4  16097  gausslemma2dlem5a  16098  lgseisenlem1  16103  lgseisenlem2  16104  lgsquadlem1  16110  2lgslem2  16125  2sqlem4  16151  2sqlem8  16156  clwwlknonex2lem2  16593  nconstwlpolemgt0  17019