Theorem zsubcld 9705

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 9618	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6050   − cmin 8444  ℤcz 9577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578

This theorem is referenced by:  eluzmn  9860  eluzsub  9884  uzm1  9885  uzsubsubfz  10381  fzm1  10434  eluzgtdifelfzo  10542  ubmelm1fzo  10571  intfracq  10682  modqsubdir  10755  modsumfzodifsn  10758  addmodlteq  10760  uzennn  10798  seq3f1olemqsumkj  10873  zesq  11020  bcval5  11125  hashfz  11186  ccatlen  11283  ccatval2  11286  ccatvalfn  11289  ccatsymb  11290  ccatalpha  11301  swrdval  11340  swrdclg  11342  swrdlen  11344  swrdfv2  11355  swrdwrdsymbg  11356  swrdspsleq  11359  ccatswrd  11362  pfxval  11366  fnpfx  11369  wrdind  11414  wrd2ind  11415  pfxccatin12  11425  swrdccat  11427  seq3shft  11523  resqrexlemnmsq  11702  resqrexlemcvg  11704  fzomaxdiflem  11797  fsum0diaglem  12126  fisum0diag  12127  mptfzshft  12128  fsumrev  12129  fsumshft  12130  fisum0diag2  12133  geo2sum  12200  cvgratnnlemabsle  12213  cvgratnnlemsumlt  12214  cvgratz  12218  mertenslemub  12220  mertenslemi1  12221  mertenslem2  12222  mertensabs  12223  fprodshft  12304  fprodrev  12305  fprod0diagfz  12314  eirraplem  12463  dvdsaddre2b  12527  fzocongeq  12544  3dvds  12550  modremain  12615  bitsfzolem  12640  bitsmod  12642  bitscmp  12644  bitsinv1lem  12647  bezoutlemnewy  12692  uzwodc  12733  cncongr1  12800  prmind2  12817  pw2dvds  12863  hashdvds  12918  phiprmpw  12919  crth  12921  eulerthlemh  12928  eulerthlemth  12929  prmdiveq  12933  modprm0  12952  pythagtriplem2  12964  pythagtriplem4  12966  pythagtriplem6  12968  pythagtriplem7  12969  pythagtriplem11  12972  pythagtriplem13  12974  pythagtriplem15  12976  pythagtriplem16  12977  pythagtrip  12981  pceu  12993  pcdiv  13000  pcqcl  13004  pcaddlem  13037  pcbc  13049  gzmulcl  13076  4sqlem5  13080  4sqlem8  13083  4sqlemffi  13094  4sqleminfi  13095  4sqlem11  13099  4sqlem12  13100  4sqlem14  13102  4sqlem16  13104  zndvds  14797  znf1o  14799  psrbagcon  14826  psrbagconf1o  14828  plymullem1  15613  mersenne  15865  lgsval  15877  lgsfvalg  15878  lgsmod  15899  lgsdirprm  15907  gausslemma2dlem0h  15929  gausslemma2dlem1a  15931  gausslemma2dlem1cl  15932  gausslemma2dlem3  15936  gausslemma2dlem4  15937  gausslemma2dlem5a  15938  lgseisenlem1  15943  lgseisenlem2  15944  lgsquadlem1  15950  2lgslem2  15965  2sqlem4  15991  2sqlem8  15996  clwwlknonex2lem2  16433  nconstwlpolemgt0  16850  gsumgfsumlem  16865  gsumgfsum  16866