Theorem nnzd 9600

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnzd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 9454	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 9599	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ℕcn 9142  ℤcz 9478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479

This theorem is referenced by:  qapne  9872  qtri3or  10499  exbtwnzlemstep  10506  modifeq2int  10647  modsumfzodifsn  10657  addmodlteq  10659  expnnval  10803  expnegap0  10808  expaddzaplem  10843  expmulzap  10846  facndiv  11000  bcval  11010  bcval5  11024  bcpasc  11027  caucvgre  11541  cvg1nlemcau  11544  cvg1nlemres  11545  resqrexlemdecn  11572  resqrexlemnmsq  11577  resqrexlemnm  11578  resqrexlemcvg  11579  resqrexlemoverl  11581  sumeq2  11919  nnf1o  11936  summodclem3  11940  summodclem2a  11941  summodclem2  11942  summodc  11943  zsumdc  11944  fsum3  11947  fisumss  11952  fsum3cvg3  11956  fsumcl2lem  11958  fsumadd  11966  sumsnf  11969  fsummulc2  12008  bcxmas  12049  geo2lim  12076  cvgratnnlembern  12083  cvgratnnlemseq  12086  cvgratnnlemabsle  12087  cvgratnnlemsumlt  12088  cvgratnnlemfm  12089  cvgratnnlemrate  12090  cvgratz  12092  mertenslemub  12094  mertenslemi1  12095  mertenslem2  12096  prodeq2  12117  prodmodclem3  12135  prodmodclem2a  12136  prodmodclem2  12137  fprodseq  12143  fprodssdc  12150  fprodmul  12151  prodsnf  12152  eftcl  12214  eftlub  12250  eirraplem  12337  dvdsle  12404  fzm1ndvds  12416  dvdsfac  12420  dvdsmod  12422  divalglemeunn  12481  bitsfzolem  12514  bitsmod  12516  bitsfi  12517  bitscmp  12518  bitsinv1  12522  gcddvds  12533  gcdnncl  12537  gcd1  12557  dvdsgcdidd  12564  bezoutlemnewy  12566  bezoutlemstep  12567  mulgcd  12586  gcdmultiplez  12591  rplpwr  12597  rppwr  12598  sqgcd  12599  dvdssq  12601  uzwodc  12607  lcmneg  12645  lcmgcdlem  12648  ncoprmgcdne1b  12660  rpdvds  12670  congr  12671  cncongr1  12674  cncongr2  12675  prmz  12682  prmind2  12691  divgcdodd  12714  isprm6  12718  prmexpb  12722  prmfac1  12723  rpexp  12724  sqrt2irrlem  12732  pw2dvdslemn  12736  pw2dvdseulemle  12738  oddpwdclemxy  12740  oddpwdclemodd  12743  sqpweven  12746  2sqpwodd  12747  sqrt2irraplemnn  12750  numdensq  12773  phivalfi  12783  hashdvds  12792  phiprmpw  12793  crth  12795  phimullem  12796  eulerthlem1  12798  eulerthlemfi  12799  eulerthlemrprm  12800  eulerthlema  12801  eulerthlemh  12802  eulerthlemth  12803  eulerth  12804  prmdivdiv  12808  hashgcdlem  12809  hashgcdeq  12811  phisum  12812  odzdvds  12817  powm2modprm  12824  pythagtriplem2  12838  pythagtriplem4  12840  pythagtriplem6  12842  pythagtriplem7  12843  pythagtriplem11  12846  pythagtriplem13  12848  pythagtriplem16  12851  pythagtriplem19  12854  pythagtrip  12855  pclemub  12859  pcprendvds2  12863  pcpre1  12864  pcpremul  12865  pceulem  12866  pcqmul  12875  pcdvdsb  12892  pcidlem  12895  pcdvdstr  12899  pcgcd1  12900  pc2dvds  12902  pcprmpw2  12905  pcaddlem  12911  pcadd  12912  pcmpt  12915  pcmpt2  12916  pcmptdvds  12917  pcprod  12918  pcfac  12922  pcbc  12923  qexpz  12924  oddprmdvds  12926  prmpwdvds  12927  pockthlem  12928  pockthg  12929  infpnlem2  12932  1arithlem4  12938  1arith  12939  4sqlem5  12954  4sqlem6  12955  4sqlem8  12957  4sqlem9  12958  4sqlem10  12959  4sqlemafi  12967  4sqlemffi  12968  4sqleminfi  12969  4sqlem11  12973  4sqlem12  12974  4sqlem14  12976  4sqlem16  12978  4sqlem17  12979  oddennn  13012  exmidunben  13046  nninfdclemcl  13068  nninfdclemp1  13070  nninfdclemlt  13071  unbendc  13074  bassetsnn  13138  strleund  13185  gsumwsubmcl  13578  gsumwmhm  13580  mulgneg  13726  mulgnndir  13737  znrrg  14673  logbgcd1irraplemexp  15691  logbgcd1irraplemap  15692  sgmnncl  15711  dvdsppwf1o  15712  mpodvdsmulf1o  15713  mersenne  15720  perfect1  15721  perfectlem1  15722  perfectlem2  15723  perfect  15724  lgsfvalg  15733  lgsfcl2  15734  lgsmod  15754  lgsdir  15763  lgsdilem2  15764  lgsne0  15766  gausslemma2dlem0c  15779  gausslemma2dlem0d  15780  gausslemma2dlem0h  15784  gausslemma2dlem0i  15785  gausslemma2dlem1  15789  gausslemma2dlem2  15790  gausslemma2dlem3  15791  gausslemma2dlem4  15792  gausslemma2dlem5a  15793  gausslemma2dlem5  15794  gausslemma2dlem6  15795  gausslemma2dlem7  15796  gausslemma2d  15797  lgseisenlem1  15798  lgseisenlem2  15799  lgseisenlem3  15800  lgseisenlem4  15801  lgseisen  15802  lgsquadlemsfi  15803  lgsquadlem1  15805  lgsquadlem2  15806  lgsquadlem3  15807  lgsquad2lem1  15809  lgsquad2lem2  15810  lgsquad2  15811  lgsquad3  15812  m1lgs  15813  2lgslem1  15819  2lgslem2  15820  2sqlem3  15845  2sqlem4  15846  2sqlem8  15851  2sqlem9  15852  cvgcmp2nlemabs  16636  trilpolemclim  16640  trilpolemisumle  16642  trilpolemeq1  16644  trilpolemlt1  16645  nconstwlpolemgt0  16668