Theorem nnzd 8803

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnzd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 8662	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 8802	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1436  ℕcn 8360  ℤcz 8686

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-addcom 7392  ax-addass 7394  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-cnre 7403  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-ltwlin 7405  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-ltadd 7408

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-br 3823  df-opab 3877  df-id 4096  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-sub 7602  df-neg 7603  df-inn 8361  df-n0 8610  df-z 8687

This theorem is referenced by:  qapne  9059  qtri3or  9585  exbtwnzlemstep  9590  modifeq2int  9724  modsumfzodifsn  9734  addmodlteq  9736  expnegap0  9883  expaddzaplem  9918  expmulzap  9921  facndiv  10065  bcval  10075  ibcval5  10089  bcpasc  10092  caucvgre  10331  cvg1nlemcau  10334  cvg1nlemres  10335  resqrexlemdecn  10362  resqrexlemnmsq  10367  resqrexlemnm  10368  resqrexlemcvg  10369  resqrexlemoverl  10371  sumeq2  10662  isummolemnm  10682  isummolem3  10683  isummolem2a  10684  isummolem2  10685  isummo  10686  zisum  10687  fisum  10689  fisumss  10694  fisumcvg3  10698  fsumcl2lem  10699  fsumadd  10707  sumsnf  10710  dvdsle  10770  fzm1ndvds  10782  dvdsfac  10786  dvdsmod  10788  divalglemeunn  10846  gcddvds  10880  gcdnncl  10884  gcd1  10903  bezoutlemnewy  10910  bezoutlemstep  10911  mulgcd  10930  gcdmultiplez  10935  rplpwr  10941  rppwr  10942  sqgcd  10943  dvdssq  10945  lcmneg  10981  lcmgcdlem  10984  ncoprmgcdne1b  10996  rpdvds  11006  congr  11007  cncongr1  11010  cncongr2  11011  prmz  11018  prmind2  11027  divgcdodd  11047  isprm6  11051  prmexpb  11055  prmfac1  11056  rpexp  11057  sqrt2irrlem  11065  pw2dvdslemn  11068  pw2dvdseulemle  11070  oddpwdclemxy  11072  oddpwdclemodd  11075  sqpweven  11078  2sqpwodd  11079  sqrt2irraplemnn  11082  numdensq  11105  phivalfi  11113  hashdvds  11122  phiprmpw  11123  crth  11125  phimullem  11126  hashgcdlem  11128  hashgcdeq  11129  oddennn  11130