Theorem nnzd 9493

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnzd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 9347	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 9492	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2175  ℕcn 9035  ℤcz 9371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-inn 9036  df-n0 9295  df-z 9372

This theorem is referenced by:  qapne  9759  qtri3or  10381  exbtwnzlemstep  10388  modifeq2int  10529  modsumfzodifsn  10539  addmodlteq  10541  expnnval  10685  expnegap0  10690  expaddzaplem  10725  expmulzap  10728  facndiv  10882  bcval  10892  bcval5  10906  bcpasc  10909  caucvgre  11234  cvg1nlemcau  11237  cvg1nlemres  11238  resqrexlemdecn  11265  resqrexlemnmsq  11270  resqrexlemnm  11271  resqrexlemcvg  11272  resqrexlemoverl  11274  sumeq2  11612  nnf1o  11629  summodclem3  11633  summodclem2a  11634  summodclem2  11635  summodc  11636  zsumdc  11637  fsum3  11640  fisumss  11645  fsum3cvg3  11649  fsumcl2lem  11651  fsumadd  11659  sumsnf  11662  fsummulc2  11701  bcxmas  11742  geo2lim  11769  cvgratnnlembern  11776  cvgratnnlemseq  11779  cvgratnnlemabsle  11780  cvgratnnlemsumlt  11781  cvgratnnlemfm  11782  cvgratnnlemrate  11783  cvgratz  11785  mertenslemub  11787  mertenslemi1  11788  mertenslem2  11789  prodeq2  11810  prodmodclem3  11828  prodmodclem2a  11829  prodmodclem2  11830  fprodseq  11836  fprodssdc  11843  fprodmul  11844  prodsnf  11845  eftcl  11907  eftlub  11943  eirraplem  12030  dvdsle  12097  fzm1ndvds  12109  dvdsfac  12113  dvdsmod  12115  divalglemeunn  12174  bitsfzolem  12207  bitsmod  12209  bitsfi  12210  bitscmp  12211  bitsinv1  12215  gcddvds  12226  gcdnncl  12230  gcd1  12250  dvdsgcdidd  12257  bezoutlemnewy  12259  bezoutlemstep  12260  mulgcd  12279  gcdmultiplez  12284  rplpwr  12290  rppwr  12291  sqgcd  12292  dvdssq  12294  uzwodc  12300  lcmneg  12338  lcmgcdlem  12341  ncoprmgcdne1b  12353  rpdvds  12363  congr  12364  cncongr1  12367  cncongr2  12368  prmz  12375  prmind2  12384  divgcdodd  12407  isprm6  12411  prmexpb  12415  prmfac1  12416  rpexp  12417  sqrt2irrlem  12425  pw2dvdslemn  12429  pw2dvdseulemle  12431  oddpwdclemxy  12433  oddpwdclemodd  12436  sqpweven  12439  2sqpwodd  12440  sqrt2irraplemnn  12443  numdensq  12466  phivalfi  12476  hashdvds  12485  phiprmpw  12486  crth  12488  phimullem  12489  eulerthlem1  12491  eulerthlemfi  12492  eulerthlemrprm  12493  eulerthlema  12494  eulerthlemh  12495  eulerthlemth  12496  eulerth  12497  prmdivdiv  12501  hashgcdlem  12502  hashgcdeq  12504  phisum  12505  odzdvds  12510  powm2modprm  12517  pythagtriplem2  12531  pythagtriplem4  12533  pythagtriplem6  12535  pythagtriplem7  12536  pythagtriplem11  12539  pythagtriplem13  12541  pythagtriplem16  12544  pythagtriplem19  12547  pythagtrip  12548  pclemub  12552  pcprendvds2  12556  pcpre1  12557  pcpremul  12558  pceulem  12559  pcqmul  12568  pcdvdsb  12585  pcidlem  12588  pcdvdstr  12592  pcgcd1  12593  pc2dvds  12595  pcprmpw2  12598  pcaddlem  12604  pcadd  12605  pcmpt  12608  pcmpt2  12609  pcmptdvds  12610  pcprod  12611  pcfac  12615  pcbc  12616  qexpz  12617  oddprmdvds  12619  prmpwdvds  12620  pockthlem  12621  pockthg  12622  infpnlem2  12625  1arithlem4  12631  1arith  12632  4sqlem5  12647  4sqlem6  12648  4sqlem8  12650  4sqlem9  12651  4sqlem10  12652  4sqlemafi  12660  4sqlemffi  12661  4sqleminfi  12662  4sqlem11  12666  4sqlem12  12667  4sqlem14  12669  4sqlem16  12671  4sqlem17  12672  oddennn  12705  exmidunben  12739  nninfdclemcl  12761  nninfdclemp1  12763  nninfdclemlt  12764  unbendc  12767  strleund  12877  gsumwsubmcl  13270  gsumwmhm  13272  mulgneg  13418  mulgnndir  13429  znrrg  14364  logbgcd1irraplemexp  15382  logbgcd1irraplemap  15383  sgmnncl  15402  dvdsppwf1o  15403  mpodvdsmulf1o  15404  mersenne  15411  perfect1  15412  perfectlem1  15413  perfectlem2  15414  perfect  15415  lgsfvalg  15424  lgsfcl2  15425  lgsmod  15445  lgsdir  15454  lgsdilem2  15455  lgsne0  15457  gausslemma2dlem0c  15470  gausslemma2dlem0d  15471  gausslemma2dlem0h  15475  gausslemma2dlem0i  15476  gausslemma2dlem1  15480  gausslemma2dlem2  15481  gausslemma2dlem3  15482  gausslemma2dlem4  15483  gausslemma2dlem5a  15484  gausslemma2dlem5  15485  gausslemma2dlem6  15486  gausslemma2dlem7  15487  gausslemma2d  15488  lgseisenlem1  15489  lgseisenlem2  15490  lgseisenlem3  15491  lgseisenlem4  15492  lgseisen  15493  lgsquadlemsfi  15494  lgsquadlem1  15496  lgsquadlem2  15497  lgsquadlem3  15498  lgsquad2lem1  15500  lgsquad2lem2  15501  lgsquad2  15502  lgsquad3  15503  m1lgs  15504  2lgslem1  15510  2lgslem2  15511  2sqlem3  15536  2sqlem4  15537  2sqlem8  15542  2sqlem9  15543  cvgcmp2nlemabs  15904  trilpolemclim  15908  trilpolemisumle  15910  trilpolemeq1  15912  trilpolemlt1  15913  nconstwlpolemgt0  15936