Theorem nnzd 9333

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnzd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 9188	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 9332	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  ℕcn 8878  ℤcz 9212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213

This theorem is referenced by:  qapne  9598  qtri3or  10199  exbtwnzlemstep  10204  modifeq2int  10342  modsumfzodifsn  10352  addmodlteq  10354  expnnval  10479  expnegap0  10484  expaddzaplem  10519  expmulzap  10522  facndiv  10673  bcval  10683  bcval5  10697  bcpasc  10700  caucvgre  10945  cvg1nlemcau  10948  cvg1nlemres  10949  resqrexlemdecn  10976  resqrexlemnmsq  10981  resqrexlemnm  10982  resqrexlemcvg  10983  resqrexlemoverl  10985  sumeq2  11322  nnf1o  11339  summodclem3  11343  summodclem2a  11344  summodclem2  11345  summodc  11346  zsumdc  11347  fsum3  11350  fisumss  11355  fsum3cvg3  11359  fsumcl2lem  11361  fsumadd  11369  sumsnf  11372  fsummulc2  11411  bcxmas  11452  geo2lim  11479  cvgratnnlembern  11486  cvgratnnlemseq  11489  cvgratnnlemabsle  11490  cvgratnnlemsumlt  11491  cvgratnnlemfm  11492  cvgratnnlemrate  11493  cvgratz  11495  mertenslemub  11497  mertenslemi1  11498  mertenslem2  11499  prodeq2  11520  prodmodclem3  11538  prodmodclem2a  11539  prodmodclem2  11540  fprodseq  11546  fprodssdc  11553  fprodmul  11554  prodsnf  11555  eftcl  11617  eftlub  11653  eirraplem  11739  dvdsle  11804  fzm1ndvds  11816  dvdsfac  11820  dvdsmod  11822  divalglemeunn  11880  gcddvds  11918  gcdnncl  11922  gcd1  11942  dvdsgcdidd  11949  bezoutlemnewy  11951  bezoutlemstep  11952  mulgcd  11971  gcdmultiplez  11976  rplpwr  11982  rppwr  11983  sqgcd  11984  dvdssq  11986  uzwodc  11992  lcmneg  12028  lcmgcdlem  12031  ncoprmgcdne1b  12043  rpdvds  12053  congr  12054  cncongr1  12057  cncongr2  12058  prmz  12065  prmind2  12074  divgcdodd  12097  isprm6  12101  prmexpb  12105  prmfac1  12106  rpexp  12107  sqrt2irrlem  12115  pw2dvdslemn  12119  pw2dvdseulemle  12121  oddpwdclemxy  12123  oddpwdclemodd  12126  sqpweven  12129  2sqpwodd  12130  sqrt2irraplemnn  12133  numdensq  12156  phivalfi  12166  hashdvds  12175  phiprmpw  12176  crth  12178  phimullem  12179  eulerthlem1  12181  eulerthlemfi  12182  eulerthlemrprm  12183  eulerthlema  12184  eulerthlemh  12185  eulerthlemth  12186  eulerth  12187  prmdivdiv  12191  hashgcdlem  12192  hashgcdeq  12193  phisum  12194  odzdvds  12199  powm2modprm  12206  pythagtriplem2  12220  pythagtriplem4  12222  pythagtriplem6  12224  pythagtriplem7  12225  pythagtriplem11  12228  pythagtriplem13  12230  pythagtriplem16  12233  pythagtriplem19  12236  pythagtrip  12237  pclemub  12241  pcprendvds2  12245  pcpre1  12246  pcpremul  12247  pceulem  12248  pcqmul  12257  pcdvdsb  12273  pcidlem  12276  pcdvdstr  12280  pcgcd1  12281  pc2dvds  12283  pcprmpw2  12286  pcaddlem  12292  pcadd  12293  pcmpt  12295  pcmpt2  12296  pcmptdvds  12297  pcprod  12298  pcfac  12302  pcbc  12303  qexpz  12304  oddprmdvds  12306  prmpwdvds  12307  pockthlem  12308  pockthg  12309  infpnlem2  12312  1arithlem4  12318  1arith  12319  4sqlem5  12334  4sqlem6  12335  4sqlem8  12337  4sqlem9  12338  4sqlem10  12339  oddennn  12347  exmidunben  12381  nninfdclemcl  12403  nninfdclemp1  12405  nninfdclemlt  12406  unbendc  12409  strleund  12506  logbgcd1irraplemexp  13680  logbgcd1irraplemap  13681  lgsfvalg  13700  lgsfcl2  13701  lgsmod  13721  lgsdir  13730  lgsdilem2  13731  lgsne0  13733  2sqlem3  13747  2sqlem4  13748  2sqlem8  13753  2sqlem9  13754  cvgcmp2nlemabs  14064  trilpolemclim  14068  trilpolemisumle  14070  trilpolemeq1  14072  trilpolemlt1  14073  nconstwlpolemgt0  14095