Theorem nnzd 9466

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnzd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 9321	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 9465	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ℕcn 9009  ℤcz 9345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-inn 9010  df-n0 9269  df-z 9346

This theorem is referenced by:  qapne  9732  qtri3or  10349  exbtwnzlemstep  10356  modifeq2int  10497  modsumfzodifsn  10507  addmodlteq  10509  expnnval  10653  expnegap0  10658  expaddzaplem  10693  expmulzap  10696  facndiv  10850  bcval  10860  bcval5  10874  bcpasc  10877  caucvgre  11165  cvg1nlemcau  11168  cvg1nlemres  11169  resqrexlemdecn  11196  resqrexlemnmsq  11201  resqrexlemnm  11202  resqrexlemcvg  11203  resqrexlemoverl  11205  sumeq2  11543  nnf1o  11560  summodclem3  11564  summodclem2a  11565  summodclem2  11566  summodc  11567  zsumdc  11568  fsum3  11571  fisumss  11576  fsum3cvg3  11580  fsumcl2lem  11582  fsumadd  11590  sumsnf  11593  fsummulc2  11632  bcxmas  11673  geo2lim  11700  cvgratnnlembern  11707  cvgratnnlemseq  11710  cvgratnnlemabsle  11711  cvgratnnlemsumlt  11712  cvgratnnlemfm  11713  cvgratnnlemrate  11714  cvgratz  11716  mertenslemub  11718  mertenslemi1  11719  mertenslem2  11720  prodeq2  11741  prodmodclem3  11759  prodmodclem2a  11760  prodmodclem2  11761  fprodseq  11767  fprodssdc  11774  fprodmul  11775  prodsnf  11776  eftcl  11838  eftlub  11874  eirraplem  11961  dvdsle  12028  fzm1ndvds  12040  dvdsfac  12044  dvdsmod  12046  divalglemeunn  12105  bitsfzolem  12138  bitsmod  12140  bitsfi  12141  bitscmp  12142  bitsinv1  12146  gcddvds  12157  gcdnncl  12161  gcd1  12181  dvdsgcdidd  12188  bezoutlemnewy  12190  bezoutlemstep  12191  mulgcd  12210  gcdmultiplez  12215  rplpwr  12221  rppwr  12222  sqgcd  12223  dvdssq  12225  uzwodc  12231  lcmneg  12269  lcmgcdlem  12272  ncoprmgcdne1b  12284  rpdvds  12294  congr  12295  cncongr1  12298  cncongr2  12299  prmz  12306  prmind2  12315  divgcdodd  12338  isprm6  12342  prmexpb  12346  prmfac1  12347  rpexp  12348  sqrt2irrlem  12356  pw2dvdslemn  12360  pw2dvdseulemle  12362  oddpwdclemxy  12364  oddpwdclemodd  12367  sqpweven  12370  2sqpwodd  12371  sqrt2irraplemnn  12374  numdensq  12397  phivalfi  12407  hashdvds  12416  phiprmpw  12417  crth  12419  phimullem  12420  eulerthlem1  12422  eulerthlemfi  12423  eulerthlemrprm  12424  eulerthlema  12425  eulerthlemh  12426  eulerthlemth  12427  eulerth  12428  prmdivdiv  12432  hashgcdlem  12433  hashgcdeq  12435  phisum  12436  odzdvds  12441  powm2modprm  12448  pythagtriplem2  12462  pythagtriplem4  12464  pythagtriplem6  12466  pythagtriplem7  12467  pythagtriplem11  12470  pythagtriplem13  12472  pythagtriplem16  12475  pythagtriplem19  12478  pythagtrip  12479  pclemub  12483  pcprendvds2  12487  pcpre1  12488  pcpremul  12489  pceulem  12490  pcqmul  12499  pcdvdsb  12516  pcidlem  12519  pcdvdstr  12523  pcgcd1  12524  pc2dvds  12526  pcprmpw2  12529  pcaddlem  12535  pcadd  12536  pcmpt  12539  pcmpt2  12540  pcmptdvds  12541  pcprod  12542  pcfac  12546  pcbc  12547  qexpz  12548  oddprmdvds  12550  prmpwdvds  12551  pockthlem  12552  pockthg  12553  infpnlem2  12556  1arithlem4  12562  1arith  12563  4sqlem5  12578  4sqlem6  12579  4sqlem8  12581  4sqlem9  12582  4sqlem10  12583  4sqlemafi  12591  4sqlemffi  12592  4sqleminfi  12593  4sqlem11  12597  4sqlem12  12598  4sqlem14  12600  4sqlem16  12602  4sqlem17  12603  oddennn  12636  exmidunben  12670  nninfdclemcl  12692  nninfdclemp1  12694  nninfdclemlt  12695  unbendc  12698  strleund  12808  gsumwsubmcl  13200  gsumwmhm  13202  mulgneg  13348  mulgnndir  13359  znrrg  14294  logbgcd1irraplemexp  15312  logbgcd1irraplemap  15313  sgmnncl  15332  dvdsppwf1o  15333  mpodvdsmulf1o  15334  mersenne  15341  perfect1  15342  perfectlem1  15343  perfectlem2  15344  perfect  15345  lgsfvalg  15354  lgsfcl2  15355  lgsmod  15375  lgsdir  15384  lgsdilem2  15385  lgsne0  15387  gausslemma2dlem0c  15400  gausslemma2dlem0d  15401  gausslemma2dlem0h  15405  gausslemma2dlem0i  15406  gausslemma2dlem1  15410  gausslemma2dlem2  15411  gausslemma2dlem3  15412  gausslemma2dlem4  15413  gausslemma2dlem5a  15414  gausslemma2dlem5  15415  gausslemma2dlem6  15416  gausslemma2dlem7  15417  gausslemma2d  15418  lgseisenlem1  15419  lgseisenlem2  15420  lgseisenlem3  15421  lgseisenlem4  15422  lgseisen  15423  lgsquadlemsfi  15424  lgsquadlem1  15426  lgsquadlem2  15427  lgsquadlem3  15428  lgsquad2lem1  15430  lgsquad2lem2  15431  lgsquad2  15432  lgsquad3  15433  m1lgs  15434  2lgslem1  15440  2lgslem2  15441  2sqlem3  15466  2sqlem4  15467  2sqlem8  15472  2sqlem9  15473  cvgcmp2nlemabs  15789  trilpolemclim  15793  trilpolemisumle  15795  trilpolemeq1  15797  trilpolemlt1  15798  nconstwlpolemgt0  15821