Theorem nnzd 9564

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnzd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 9418	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 9563	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ℕcn 9106  ℤcz 9442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443

This theorem is referenced by:  qapne  9830  qtri3or  10455  exbtwnzlemstep  10462  modifeq2int  10603  modsumfzodifsn  10613  addmodlteq  10615  expnnval  10759  expnegap0  10764  expaddzaplem  10799  expmulzap  10802  facndiv  10956  bcval  10966  bcval5  10980  bcpasc  10983  caucvgre  11487  cvg1nlemcau  11490  cvg1nlemres  11491  resqrexlemdecn  11518  resqrexlemnmsq  11523  resqrexlemnm  11524  resqrexlemcvg  11525  resqrexlemoverl  11527  sumeq2  11865  nnf1o  11882  summodclem3  11886  summodclem2a  11887  summodclem2  11888  summodc  11889  zsumdc  11890  fsum3  11893  fisumss  11898  fsum3cvg3  11902  fsumcl2lem  11904  fsumadd  11912  sumsnf  11915  fsummulc2  11954  bcxmas  11995  geo2lim  12022  cvgratnnlembern  12029  cvgratnnlemseq  12032  cvgratnnlemabsle  12033  cvgratnnlemsumlt  12034  cvgratnnlemfm  12035  cvgratnnlemrate  12036  cvgratz  12038  mertenslemub  12040  mertenslemi1  12041  mertenslem2  12042  prodeq2  12063  prodmodclem3  12081  prodmodclem2a  12082  prodmodclem2  12083  fprodseq  12089  fprodssdc  12096  fprodmul  12097  prodsnf  12098  eftcl  12160  eftlub  12196  eirraplem  12283  dvdsle  12350  fzm1ndvds  12362  dvdsfac  12366  dvdsmod  12368  divalglemeunn  12427  bitsfzolem  12460  bitsmod  12462  bitsfi  12463  bitscmp  12464  bitsinv1  12468  gcddvds  12479  gcdnncl  12483  gcd1  12503  dvdsgcdidd  12510  bezoutlemnewy  12512  bezoutlemstep  12513  mulgcd  12532  gcdmultiplez  12537  rplpwr  12543  rppwr  12544  sqgcd  12545  dvdssq  12547  uzwodc  12553  lcmneg  12591  lcmgcdlem  12594  ncoprmgcdne1b  12606  rpdvds  12616  congr  12617  cncongr1  12620  cncongr2  12621  prmz  12628  prmind2  12637  divgcdodd  12660  isprm6  12664  prmexpb  12668  prmfac1  12669  rpexp  12670  sqrt2irrlem  12678  pw2dvdslemn  12682  pw2dvdseulemle  12684  oddpwdclemxy  12686  oddpwdclemodd  12689  sqpweven  12692  2sqpwodd  12693  sqrt2irraplemnn  12696  numdensq  12719  phivalfi  12729  hashdvds  12738  phiprmpw  12739  crth  12741  phimullem  12742  eulerthlem1  12744  eulerthlemfi  12745  eulerthlemrprm  12746  eulerthlema  12747  eulerthlemh  12748  eulerthlemth  12749  eulerth  12750  prmdivdiv  12754  hashgcdlem  12755  hashgcdeq  12757  phisum  12758  odzdvds  12763  powm2modprm  12770  pythagtriplem2  12784  pythagtriplem4  12786  pythagtriplem6  12788  pythagtriplem7  12789  pythagtriplem11  12792  pythagtriplem13  12794  pythagtriplem16  12797  pythagtriplem19  12800  pythagtrip  12801  pclemub  12805  pcprendvds2  12809  pcpre1  12810  pcpremul  12811  pceulem  12812  pcqmul  12821  pcdvdsb  12838  pcidlem  12841  pcdvdstr  12845  pcgcd1  12846  pc2dvds  12848  pcprmpw2  12851  pcaddlem  12857  pcadd  12858  pcmpt  12861  pcmpt2  12862  pcmptdvds  12863  pcprod  12864  pcfac  12868  pcbc  12869  qexpz  12870  oddprmdvds  12872  prmpwdvds  12873  pockthlem  12874  pockthg  12875  infpnlem2  12878  1arithlem4  12884  1arith  12885  4sqlem5  12900  4sqlem6  12901  4sqlem8  12903  4sqlem9  12904  4sqlem10  12905  4sqlemafi  12913  4sqlemffi  12914  4sqleminfi  12915  4sqlem11  12919  4sqlem12  12920  4sqlem14  12922  4sqlem16  12924  4sqlem17  12925  oddennn  12958  exmidunben  12992  nninfdclemcl  13014  nninfdclemp1  13016  nninfdclemlt  13017  unbendc  13020  bassetsnn  13084  strleund  13131  gsumwsubmcl  13524  gsumwmhm  13526  mulgneg  13672  mulgnndir  13683  znrrg  14618  logbgcd1irraplemexp  15636  logbgcd1irraplemap  15637  sgmnncl  15656  dvdsppwf1o  15657  mpodvdsmulf1o  15658  mersenne  15665  perfect1  15666  perfectlem1  15667  perfectlem2  15668  perfect  15669  lgsfvalg  15678  lgsfcl2  15679  lgsmod  15699  lgsdir  15708  lgsdilem2  15709  lgsne0  15711  gausslemma2dlem0c  15724  gausslemma2dlem0d  15725  gausslemma2dlem0h  15729  gausslemma2dlem0i  15730  gausslemma2dlem1  15734  gausslemma2dlem2  15735  gausslemma2dlem3  15736  gausslemma2dlem4  15737  gausslemma2dlem5a  15738  gausslemma2dlem5  15739  gausslemma2dlem6  15740  gausslemma2dlem7  15741  gausslemma2d  15742  lgseisenlem1  15743  lgseisenlem2  15744  lgseisenlem3  15745  lgseisenlem4  15746  lgseisen  15747  lgsquadlemsfi  15748  lgsquadlem1  15750  lgsquadlem2  15751  lgsquadlem3  15752  lgsquad2lem1  15754  lgsquad2lem2  15755  lgsquad2  15756  lgsquad3  15757  m1lgs  15758  2lgslem1  15764  2lgslem2  15765  2sqlem3  15790  2sqlem4  15791  2sqlem8  15796  2sqlem9  15797  cvgcmp2nlemabs  16359  trilpolemclim  16363  trilpolemisumle  16365  trilpolemeq1  16367  trilpolemlt1  16368  nconstwlpolemgt0  16391