Theorem nnzd 9374

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnzd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 9229	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 9373	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148  ℕcn 8919  ℤcz 9253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254

This theorem is referenced by:  qapne  9639  qtri3or  10243  exbtwnzlemstep  10248  modifeq2int  10386  modsumfzodifsn  10396  addmodlteq  10398  expnnval  10523  expnegap0  10528  expaddzaplem  10563  expmulzap  10566  facndiv  10719  bcval  10729  bcval5  10743  bcpasc  10746  caucvgre  10990  cvg1nlemcau  10993  cvg1nlemres  10994  resqrexlemdecn  11021  resqrexlemnmsq  11026  resqrexlemnm  11027  resqrexlemcvg  11028  resqrexlemoverl  11030  sumeq2  11367  nnf1o  11384  summodclem3  11388  summodclem2a  11389  summodclem2  11390  summodc  11391  zsumdc  11392  fsum3  11395  fisumss  11400  fsum3cvg3  11404  fsumcl2lem  11406  fsumadd  11414  sumsnf  11417  fsummulc2  11456  bcxmas  11497  geo2lim  11524  cvgratnnlembern  11531  cvgratnnlemseq  11534  cvgratnnlemabsle  11535  cvgratnnlemsumlt  11536  cvgratnnlemfm  11537  cvgratnnlemrate  11538  cvgratz  11540  mertenslemub  11542  mertenslemi1  11543  mertenslem2  11544  prodeq2  11565  prodmodclem3  11583  prodmodclem2a  11584  prodmodclem2  11585  fprodseq  11591  fprodssdc  11598  fprodmul  11599  prodsnf  11600  eftcl  11662  eftlub  11698  eirraplem  11784  dvdsle  11850  fzm1ndvds  11862  dvdsfac  11866  dvdsmod  11868  divalglemeunn  11926  gcddvds  11964  gcdnncl  11968  gcd1  11988  dvdsgcdidd  11995  bezoutlemnewy  11997  bezoutlemstep  11998  mulgcd  12017  gcdmultiplez  12022  rplpwr  12028  rppwr  12029  sqgcd  12030  dvdssq  12032  uzwodc  12038  lcmneg  12074  lcmgcdlem  12077  ncoprmgcdne1b  12089  rpdvds  12099  congr  12100  cncongr1  12103  cncongr2  12104  prmz  12111  prmind2  12120  divgcdodd  12143  isprm6  12147  prmexpb  12151  prmfac1  12152  rpexp  12153  sqrt2irrlem  12161  pw2dvdslemn  12165  pw2dvdseulemle  12167  oddpwdclemxy  12169  oddpwdclemodd  12172  sqpweven  12175  2sqpwodd  12176  sqrt2irraplemnn  12179  numdensq  12202  phivalfi  12212  hashdvds  12221  phiprmpw  12222  crth  12224  phimullem  12225  eulerthlem1  12227  eulerthlemfi  12228  eulerthlemrprm  12229  eulerthlema  12230  eulerthlemh  12231  eulerthlemth  12232  eulerth  12233  prmdivdiv  12237  hashgcdlem  12238  hashgcdeq  12239  phisum  12240  odzdvds  12245  powm2modprm  12252  pythagtriplem2  12266  pythagtriplem4  12268  pythagtriplem6  12270  pythagtriplem7  12271  pythagtriplem11  12274  pythagtriplem13  12276  pythagtriplem16  12279  pythagtriplem19  12282  pythagtrip  12283  pclemub  12287  pcprendvds2  12291  pcpre1  12292  pcpremul  12293  pceulem  12294  pcqmul  12303  pcdvdsb  12319  pcidlem  12322  pcdvdstr  12326  pcgcd1  12327  pc2dvds  12329  pcprmpw2  12332  pcaddlem  12338  pcadd  12339  pcmpt  12341  pcmpt2  12342  pcmptdvds  12343  pcprod  12344  pcfac  12348  pcbc  12349  qexpz  12350  oddprmdvds  12352  prmpwdvds  12353  pockthlem  12354  pockthg  12355  infpnlem2  12358  1arithlem4  12364  1arith  12365  4sqlem5  12380  4sqlem6  12381  4sqlem8  12383  4sqlem9  12384  4sqlem10  12385  oddennn  12393  exmidunben  12427  nninfdclemcl  12449  nninfdclemp1  12451  nninfdclemlt  12452  unbendc  12455  strleund  12562  mulgneg  13001  mulgnndir  13012  logbgcd1irraplemexp  14389  logbgcd1irraplemap  14390  lgsfvalg  14409  lgsfcl2  14410  lgsmod  14430  lgsdir  14439  lgsdilem2  14440  lgsne0  14442  lgseisenlem1  14453  lgseisenlem2  14454  m1lgs  14455  2sqlem3  14467  2sqlem4  14468  2sqlem8  14473  2sqlem9  14474  cvgcmp2nlemabs  14783  trilpolemclim  14787  trilpolemisumle  14789  trilpolemeq1  14791  trilpolemlt1  14792  nconstwlpolemgt0  14814