Theorem nnzd 9771

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnzd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 9624	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 9770	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ℕcn 9306  ℤcz 9648

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-inn 9307  df-n0 9568  df-z 9649

This theorem is used by:  qapne  10048  ltesubnnd  10180  qtri3or  10685  exbtwnzlemstep  10692  modifeq2int  10836  modsumfzodifsn  10846  addmodlteq  10848  expnnval  10992  expnegap0  10997  expaddzaplem  11032  expmulzap  11035  facndiv  11191  bcval  11201  bcval5  11215  bcpasc  11218  hashf1  11301  caucvgre  11761  cvg1nlemcau  11764  cvg1nlemres  11765  resqrexlemdecn  11792  resqrexlemnmsq  11797  resqrexlemnm  11798  resqrexlemcvg  11799  resqrexlemoverl  11801  sumeq2  12141  nnf1o  12159  summodclem3  12163  summodclem2a  12164  summodclem2  12165  summodc  12166  zsumdc  12167  fsum3  12170  fisumss  12175  fsum3cvg3  12179  fsumcl2lem  12181  fsumadd  12189  sumsnf  12192  fsummulc2  12231  bcxmas  12272  geo2lim  12299  cvgratnnlembern  12306  cvgratnnlemseq  12309  cvgratnnlemabsle  12310  cvgratnnlemsumlt  12311  cvgratnnlemfm  12312  cvgratnnlemrate  12313  cvgratz  12315  mertenslemub  12317  mertenslemi1  12318  mertenslem2  12319  prodeq2  12340  prodmodclem3  12358  prodmodclem2a  12359  prodmodclem2  12360  fprodseq  12366  fprodssdc  12373  fprodmul  12374  prodsnf  12375  eftcl  12437  eftlub  12473  eirraplem  12560  dvdsle  12627  fzm1ndvds  12639  dvdsfac  12643  dvdsmod  12645  divalglemeunn  12704  bitsfzolem  12737  bitsmod  12739  bitsfi  12740  bitscmp  12741  bitsinv1  12745  gcddvds  12756  gcdnncl  12760  gcd1  12780  dvdsgcdidd  12787  bezoutlemnewy  12789  bezoutlemstep  12790  mulgcd  12809  gcdmultiplez  12814  rplpwr  12820  rppwr  12821  sqgcd  12822  dvdssq  12824  uzwodc  12830  lcmneg  12868  lcmgcdlem  12871  ncoprmgcdne1b  12883  rpdvds  12893  congr  12894  cncongr1  12897  cncongr2  12898  prmz  12905  prmind2  12914  divgcdodd  12938  isprm6  12942  prmexpb  12946  prmfac1  12947  rpexp  12948  sqrt2irrlem  12956  pwbdvdslemn  12960  pwbdvds  12961  pwbdvdseulemle  12962  nnmaxpwlemxy  12964  nnmaxpwlemnfac  12967  sqpweven  12971  2sqpwodd  12972  sqrt2irraplemnn  12975  numdensq  12998  phivalfi  13010  hashdvds  13019  phiprmpw  13020  crth  13022  phimullem  13023  eulerthlem1  13025  eulerthlemfi  13026  eulerthlemrprm  13027  eulerthlema  13028  eulerthlemh  13029  eulerthlemth  13030  eulerth  13031  prmdivdiv  13035  hashgcdlem  13036  hashgcdeq  13038  phisum  13039  odzdvds  13044  powm2modprm  13051  pythagtriplem2  13065  pythagtriplem4  13067  pythagtriplem6  13069  pythagtriplem7  13070  pythagtriplem11  13073  pythagtriplem13  13075  pythagtriplem16  13078  pythagtriplem19  13081  pythagtrip  13082  pclemub  13086  pcprendvds2  13090  pcpre1  13091  pcpremul  13092  pceulem  13093  pcqmul  13102  pcdvdsb  13119  pcidlem  13122  pcdvdstr  13126  pcgcd1  13127  pc2dvds  13129  pcprmpw2  13132  pcaddlem  13138  pcadd  13139  pcmpt  13142  pcmpt2  13143  pcmptdvds  13144  pcprod  13145  pcfac  13149  pcbc  13150  qexpz  13151  oddprmdvds  13153  prmpwdvds  13154  pockthlem  13155  pockthg  13156  infpnlem2  13159  1arithlem4  13165  1arith  13166  4sqlem5  13181  4sqlem6  13182  4sqlem8  13184  4sqlem9  13185  4sqlem10  13186  4sqlemafi  13194  4sqlemffi  13195  4sqleminfi  13196  4sqlem11  13200  4sqlem12  13201  4sqlem14  13203  4sqlem16  13205  4sqlem17  13206  ballotfilemfp1  13280  ballotfilemfc0  13281  ballotfilemfcc  13282  ballotfilemimin  13298  ballotfilemic  13299  ballotfilem1c  13300  oddennn  13332  exmidunben  13366  nninfdclemcl  13388  nninfdclemp1  13390  nninfdclemlt  13391  unbendc  13394  bassetsnn  13458  strleund  13506  gzsumwsubmcl  13850  gzsumwmhm  13852  mulgneg  13992  mulgnndir  14003  znrrg  15044  logbgcd1irraplemexp  16123  logbgcd1irraplemap  16124  zprmlogbaplem2  16135  sgmnncl  16169  dvdsppwf1o  16184  mpodvdsmulf1o  16185  mersenne  16195  perfect1  16196  perfectlem1  16197  perfectlem2  16198  perfect  16199  bcmono  16202  bcp1ctr  16204  bclbnd  16205  bposlem1  16209  bposlem2  16210  bposlem3  16211  bposlem4  16212  bposlem5  16213  lgsfvalg  16222  lgsfcl2  16223  lgsmod  16243  lgsdir  16252  lgsdilem2  16253  lgsne0  16255  gausslemma2dlem0c  16268  gausslemma2dlem0d  16269  gausslemma2dlem0h  16273  gausslemma2dlem0i  16274  gausslemma2dlem1  16278  gausslemma2dlem2  16279  gausslemma2dlem3  16280  gausslemma2dlem4  16281  gausslemma2dlem5a  16282  gausslemma2dlem5  16283  gausslemma2dlem6  16284  gausslemma2dlem7  16285  gausslemma2d  16286  lgseisenlem1  16287  lgseisenlem2  16288  lgseisenlem3  16289  lgseisenlem4  16290  lgseisen  16291  lgsquadlemsfi  16292  lgsquadlem1  16294  lgsquadlem2  16295  lgsquadlem3  16296  lgsquad2lem1  16298  lgsquad2lem2  16299  lgsquad2  16300  lgsquad3  16301  m1lgs  16302  2lgslem1  16308  2lgslem2  16309  2sqlem3  16334  2sqlem4  16335  2sqlem8  16340  2sqlem9  16341  cvgcmp2nlemabs  17179  trilpolemclim  17183  trilpolemisumle  17185  trilpolemeq1  17187  trilpolemlt1  17188  nconstwlpolemgt0  17212