Theorem nnzd 9464

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnzd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 9319	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 9463	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ℕcn 9007  ℤcz 9343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344

This theorem is referenced by:  qapne  9730  qtri3or  10347  exbtwnzlemstep  10354  modifeq2int  10495  modsumfzodifsn  10505  addmodlteq  10507  expnnval  10651  expnegap0  10656  expaddzaplem  10691  expmulzap  10694  facndiv  10848  bcval  10858  bcval5  10872  bcpasc  10875  caucvgre  11163  cvg1nlemcau  11166  cvg1nlemres  11167  resqrexlemdecn  11194  resqrexlemnmsq  11199  resqrexlemnm  11200  resqrexlemcvg  11201  resqrexlemoverl  11203  sumeq2  11541  nnf1o  11558  summodclem3  11562  summodclem2a  11563  summodclem2  11564  summodc  11565  zsumdc  11566  fsum3  11569  fisumss  11574  fsum3cvg3  11578  fsumcl2lem  11580  fsumadd  11588  sumsnf  11591  fsummulc2  11630  bcxmas  11671  geo2lim  11698  cvgratnnlembern  11705  cvgratnnlemseq  11708  cvgratnnlemabsle  11709  cvgratnnlemsumlt  11710  cvgratnnlemfm  11711  cvgratnnlemrate  11712  cvgratz  11714  mertenslemub  11716  mertenslemi1  11717  mertenslem2  11718  prodeq2  11739  prodmodclem3  11757  prodmodclem2a  11758  prodmodclem2  11759  fprodseq  11765  fprodssdc  11772  fprodmul  11773  prodsnf  11774  eftcl  11836  eftlub  11872  eirraplem  11959  dvdsle  12026  fzm1ndvds  12038  dvdsfac  12042  dvdsmod  12044  divalglemeunn  12103  bitsfzolem  12136  bitsmod  12138  bitsfi  12139  bitscmp  12140  bitsinv1  12144  gcddvds  12155  gcdnncl  12159  gcd1  12179  dvdsgcdidd  12186  bezoutlemnewy  12188  bezoutlemstep  12189  mulgcd  12208  gcdmultiplez  12213  rplpwr  12219  rppwr  12220  sqgcd  12221  dvdssq  12223  uzwodc  12229  lcmneg  12267  lcmgcdlem  12270  ncoprmgcdne1b  12282  rpdvds  12292  congr  12293  cncongr1  12296  cncongr2  12297  prmz  12304  prmind2  12313  divgcdodd  12336  isprm6  12340  prmexpb  12344  prmfac1  12345  rpexp  12346  sqrt2irrlem  12354  pw2dvdslemn  12358  pw2dvdseulemle  12360  oddpwdclemxy  12362  oddpwdclemodd  12365  sqpweven  12368  2sqpwodd  12369  sqrt2irraplemnn  12372  numdensq  12395  phivalfi  12405  hashdvds  12414  phiprmpw  12415  crth  12417  phimullem  12418  eulerthlem1  12420  eulerthlemfi  12421  eulerthlemrprm  12422  eulerthlema  12423  eulerthlemh  12424  eulerthlemth  12425  eulerth  12426  prmdivdiv  12430  hashgcdlem  12431  hashgcdeq  12433  phisum  12434  odzdvds  12439  powm2modprm  12446  pythagtriplem2  12460  pythagtriplem4  12462  pythagtriplem6  12464  pythagtriplem7  12465  pythagtriplem11  12468  pythagtriplem13  12470  pythagtriplem16  12473  pythagtriplem19  12476  pythagtrip  12477  pclemub  12481  pcprendvds2  12485  pcpre1  12486  pcpremul  12487  pceulem  12488  pcqmul  12497  pcdvdsb  12514  pcidlem  12517  pcdvdstr  12521  pcgcd1  12522  pc2dvds  12524  pcprmpw2  12527  pcaddlem  12533  pcadd  12534  pcmpt  12537  pcmpt2  12538  pcmptdvds  12539  pcprod  12540  pcfac  12544  pcbc  12545  qexpz  12546  oddprmdvds  12548  prmpwdvds  12549  pockthlem  12550  pockthg  12551  infpnlem2  12554  1arithlem4  12560  1arith  12561  4sqlem5  12576  4sqlem6  12577  4sqlem8  12579  4sqlem9  12580  4sqlem10  12581  4sqlemafi  12589  4sqlemffi  12590  4sqleminfi  12591  4sqlem11  12595  4sqlem12  12596  4sqlem14  12598  4sqlem16  12600  4sqlem17  12601  oddennn  12634  exmidunben  12668  nninfdclemcl  12690  nninfdclemp1  12692  nninfdclemlt  12693  unbendc  12696  strleund  12806  gsumwsubmcl  13198  gsumwmhm  13200  mulgneg  13346  mulgnndir  13357  znrrg  14292  logbgcd1irraplemexp  15288  logbgcd1irraplemap  15289  sgmnncl  15308  dvdsppwf1o  15309  mpodvdsmulf1o  15310  mersenne  15317  perfect1  15318  perfectlem1  15319  perfectlem2  15320  perfect  15321  lgsfvalg  15330  lgsfcl2  15331  lgsmod  15351  lgsdir  15360  lgsdilem2  15361  lgsne0  15363  gausslemma2dlem0c  15376  gausslemma2dlem0d  15377  gausslemma2dlem0h  15381  gausslemma2dlem0i  15382  gausslemma2dlem1  15386  gausslemma2dlem2  15387  gausslemma2dlem3  15388  gausslemma2dlem4  15389  gausslemma2dlem5a  15390  gausslemma2dlem5  15391  gausslemma2dlem6  15392  gausslemma2dlem7  15393  gausslemma2d  15394  lgseisenlem1  15395  lgseisenlem2  15396  lgseisenlem3  15397  lgseisenlem4  15398  lgseisen  15399  lgsquadlemsfi  15400  lgsquadlem1  15402  lgsquadlem2  15403  lgsquadlem3  15404  lgsquad2lem1  15406  lgsquad2lem2  15407  lgsquad2  15408  lgsquad3  15409  m1lgs  15410  2lgslem1  15416  2lgslem2  15417  2sqlem3  15442  2sqlem4  15443  2sqlem8  15448  2sqlem9  15449  cvgcmp2nlemabs  15763  trilpolemclim  15767  trilpolemisumle  15769  trilpolemeq1  15771  trilpolemlt1  15772  nconstwlpolemgt0  15795