Theorem nnzd 9514

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnzd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 9368	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 9513	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177  ℕcn 9056  ℤcz 9392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393

This theorem is referenced by:  qapne  9780  qtri3or  10405  exbtwnzlemstep  10412  modifeq2int  10553  modsumfzodifsn  10563  addmodlteq  10565  expnnval  10709  expnegap0  10714  expaddzaplem  10749  expmulzap  10752  facndiv  10906  bcval  10916  bcval5  10930  bcpasc  10933  caucvgre  11367  cvg1nlemcau  11370  cvg1nlemres  11371  resqrexlemdecn  11398  resqrexlemnmsq  11403  resqrexlemnm  11404  resqrexlemcvg  11405  resqrexlemoverl  11407  sumeq2  11745  nnf1o  11762  summodclem3  11766  summodclem2a  11767  summodclem2  11768  summodc  11769  zsumdc  11770  fsum3  11773  fisumss  11778  fsum3cvg3  11782  fsumcl2lem  11784  fsumadd  11792  sumsnf  11795  fsummulc2  11834  bcxmas  11875  geo2lim  11902  cvgratnnlembern  11909  cvgratnnlemseq  11912  cvgratnnlemabsle  11913  cvgratnnlemsumlt  11914  cvgratnnlemfm  11915  cvgratnnlemrate  11916  cvgratz  11918  mertenslemub  11920  mertenslemi1  11921  mertenslem2  11922  prodeq2  11943  prodmodclem3  11961  prodmodclem2a  11962  prodmodclem2  11963  fprodseq  11969  fprodssdc  11976  fprodmul  11977  prodsnf  11978  eftcl  12040  eftlub  12076  eirraplem  12163  dvdsle  12230  fzm1ndvds  12242  dvdsfac  12246  dvdsmod  12248  divalglemeunn  12307  bitsfzolem  12340  bitsmod  12342  bitsfi  12343  bitscmp  12344  bitsinv1  12348  gcddvds  12359  gcdnncl  12363  gcd1  12383  dvdsgcdidd  12390  bezoutlemnewy  12392  bezoutlemstep  12393  mulgcd  12412  gcdmultiplez  12417  rplpwr  12423  rppwr  12424  sqgcd  12425  dvdssq  12427  uzwodc  12433  lcmneg  12471  lcmgcdlem  12474  ncoprmgcdne1b  12486  rpdvds  12496  congr  12497  cncongr1  12500  cncongr2  12501  prmz  12508  prmind2  12517  divgcdodd  12540  isprm6  12544  prmexpb  12548  prmfac1  12549  rpexp  12550  sqrt2irrlem  12558  pw2dvdslemn  12562  pw2dvdseulemle  12564  oddpwdclemxy  12566  oddpwdclemodd  12569  sqpweven  12572  2sqpwodd  12573  sqrt2irraplemnn  12576  numdensq  12599  phivalfi  12609  hashdvds  12618  phiprmpw  12619  crth  12621  phimullem  12622  eulerthlem1  12624  eulerthlemfi  12625  eulerthlemrprm  12626  eulerthlema  12627  eulerthlemh  12628  eulerthlemth  12629  eulerth  12630  prmdivdiv  12634  hashgcdlem  12635  hashgcdeq  12637  phisum  12638  odzdvds  12643  powm2modprm  12650  pythagtriplem2  12664  pythagtriplem4  12666  pythagtriplem6  12668  pythagtriplem7  12669  pythagtriplem11  12672  pythagtriplem13  12674  pythagtriplem16  12677  pythagtriplem19  12680  pythagtrip  12681  pclemub  12685  pcprendvds2  12689  pcpre1  12690  pcpremul  12691  pceulem  12692  pcqmul  12701  pcdvdsb  12718  pcidlem  12721  pcdvdstr  12725  pcgcd1  12726  pc2dvds  12728  pcprmpw2  12731  pcaddlem  12737  pcadd  12738  pcmpt  12741  pcmpt2  12742  pcmptdvds  12743  pcprod  12744  pcfac  12748  pcbc  12749  qexpz  12750  oddprmdvds  12752  prmpwdvds  12753  pockthlem  12754  pockthg  12755  infpnlem2  12758  1arithlem4  12764  1arith  12765  4sqlem5  12780  4sqlem6  12781  4sqlem8  12783  4sqlem9  12784  4sqlem10  12785  4sqlemafi  12793  4sqlemffi  12794  4sqleminfi  12795  4sqlem11  12799  4sqlem12  12800  4sqlem14  12802  4sqlem16  12804  4sqlem17  12805  oddennn  12838  exmidunben  12872  nninfdclemcl  12894  nninfdclemp1  12896  nninfdclemlt  12897  unbendc  12900  strleund  13010  gsumwsubmcl  13403  gsumwmhm  13405  mulgneg  13551  mulgnndir  13562  znrrg  14497  logbgcd1irraplemexp  15515  logbgcd1irraplemap  15516  sgmnncl  15535  dvdsppwf1o  15536  mpodvdsmulf1o  15537  mersenne  15544  perfect1  15545  perfectlem1  15546  perfectlem2  15547  perfect  15548  lgsfvalg  15557  lgsfcl2  15558  lgsmod  15578  lgsdir  15587  lgsdilem2  15588  lgsne0  15590  gausslemma2dlem0c  15603  gausslemma2dlem0d  15604  gausslemma2dlem0h  15608  gausslemma2dlem0i  15609  gausslemma2dlem1  15613  gausslemma2dlem2  15614  gausslemma2dlem3  15615  gausslemma2dlem4  15616  gausslemma2dlem5a  15617  gausslemma2dlem5  15618  gausslemma2dlem6  15619  gausslemma2dlem7  15620  gausslemma2d  15621  lgseisenlem1  15622  lgseisenlem2  15623  lgseisenlem3  15624  lgseisenlem4  15625  lgseisen  15626  lgsquadlemsfi  15627  lgsquadlem1  15629  lgsquadlem2  15630  lgsquadlem3  15631  lgsquad2lem1  15633  lgsquad2lem2  15634  lgsquad2  15635  lgsquad3  15636  m1lgs  15637  2lgslem1  15643  2lgslem2  15644  2sqlem3  15669  2sqlem4  15670  2sqlem8  15675  2sqlem9  15676  cvgcmp2nlemabs  16112  trilpolemclim  16116  trilpolemisumle  16118  trilpolemeq1  16120  trilpolemlt1  16121  nconstwlpolemgt0  16144