Theorem nnzd 9772

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnzd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 9625	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 9771	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ℕcn 9307  ℤcz 9649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650

This theorem is used by:  qapne  10049  ltesubnnd  10181  qtri3or  10686  exbtwnzlemstep  10693  modifeq2int  10838  modsumfzodifsn  10848  addmodlteq  10850  expnnval  10994  expnegap0  10999  expaddzaplem  11034  expmulzap  11037  facndiv  11193  bcval  11203  bcval5  11217  bcpasc  11220  hashf1  11303  caucvgre  11763  cvg1nlemcau  11766  cvg1nlemres  11767  resqrexlemdecn  11794  resqrexlemnmsq  11799  resqrexlemnm  11800  resqrexlemcvg  11801  resqrexlemoverl  11803  sumeq2  12144  nnf1o  12162  summodclem3  12166  summodclem2a  12167  summodclem2  12168  summodc  12169  zsumdc  12170  fsum3  12173  fisumss  12178  fsum3cvg3  12182  fsumcl2lem  12184  fsumadd  12192  sumsnf  12195  fsummulc2  12234  bcxmas  12275  geo2lim  12302  cvgratnnlembern  12309  cvgratnnlemseq  12312  cvgratnnlemabsle  12313  cvgratnnlemsumlt  12314  cvgratnnlemfm  12315  cvgratnnlemrate  12316  cvgratz  12318  mertenslemub  12320  mertenslemi1  12321  mertenslem2  12322  prodeq2  12343  prodmodclem3  12361  prodmodclem2a  12362  prodmodclem2  12363  fprodseq  12369  fprodssdc  12376  fprodmul  12377  prodsnf  12378  eftcl  12440  eftlub  12476  eirraplem  12563  dvdsle  12630  fzm1ndvds  12642  dvdsfac  12646  dvdsmod  12648  divalglemeunn  12707  bitsfzolem  12740  bitsmod  12742  bitsfi  12743  bitscmp  12744  bitsinv1  12748  gcddvds  12759  gcdnncl  12763  gcd1  12783  dvdsgcdidd  12790  bezoutlemnewy  12792  bezoutlemstep  12793  mulgcd  12812  gcdmultiplez  12817  rplpwr  12823  rppwr  12824  sqgcd  12825  dvdssq  12827  uzwodc  12833  lcmneg  12871  lcmgcdlem  12874  ncoprmgcdne1b  12886  rpdvds  12896  congr  12897  cncongr1  12900  cncongr2  12901  prmz  12908  prmind2  12917  divgcdodd  12941  isprm6  12945  prmexpb  12949  prmfac1  12950  rpexp  12951  sqrt2irrlem  12959  pwbdvdslemn  12963  pwbdvds  12964  pwbdvdseulemle  12965  nnmaxpwlemxy  12967  nnmaxpwlemnfac  12970  sqpweven  12974  2sqpwodd  12975  sqrt2irraplemnn  12978  numdensq  13001  phivalfi  13013  hashdvds  13022  phiprmpw  13023  crth  13025  phimullem  13026  eulerthlem1  13028  eulerthlemfi  13029  eulerthlemrprm  13030  eulerthlema  13031  eulerthlemh  13032  eulerthlemth  13033  eulerth  13034  prmdivdiv  13038  hashgcdlem  13039  hashgcdeq  13041  phisum  13042  odzdvds  13047  powm2modprm  13054  pythagtriplem2  13068  pythagtriplem4  13070  pythagtriplem6  13072  pythagtriplem7  13073  pythagtriplem11  13076  pythagtriplem13  13078  pythagtriplem16  13081  pythagtriplem19  13084  pythagtrip  13085  pclemub  13089  pcprendvds2  13093  pcpre1  13094  pcpremul  13095  pceulem  13096  pcqmul  13105  pcdvdsb  13122  pcidlem  13125  pcdvdstr  13129  pcgcd1  13130  pc2dvds  13132  pcprmpw2  13135  pcaddlem  13141  pcadd  13142  pcmpt  13145  pcmpt2  13146  pcmptdvds  13147  pcprod  13148  pcfac  13152  pcbc  13153  qexpz  13154  oddprmdvds  13156  prmpwdvds  13157  pockthlem  13158  pockthg  13159  infpnlem2  13162  1arithlem4  13168  1arith  13169  4sqlem5  13184  4sqlem6  13185  4sqlem8  13187  4sqlem9  13188  4sqlem10  13189  4sqlemafi  13197  4sqlemffi  13198  4sqleminfi  13199  4sqlem11  13203  4sqlem12  13204  4sqlem14  13206  4sqlem16  13208  4sqlem17  13209  ballotfilemfp1  13283  ballotfilemfc0  13284  ballotfilemfcc  13285  ballotfilemimin  13301  ballotfilemic  13302  ballotfilem1c  13303  oddennn  13335  exmidunben  13369  nninfdclemcl  13391  nninfdclemp1  13393  nninfdclemlt  13394  unbendc  13397  bassetsnn  13461  strleund  13510  gzsumwsubmcl  13854  gzsumwmhm  13856  mulgneg  13996  mulgnndir  14007  znrrg  15079  logbgcd1irraplemexp  16165  logbgcd1irraplemap  16166  zprmlogbaplem2  16177  sgmnncl  16218  efchtqdvds  16226  dvdsppwf1o  16244  mpodvdsmulf1o  16245  chtublem  16256  mersenne  16258  perfect1  16259  perfectlem1  16260  perfectlem2  16261  perfect  16262  bcmono  16265  bcp1ctr  16267  bclbnd  16268  bposlem1  16272  bposlem2  16273  bposlem3  16274  bposlem4  16275  bposlem5  16276  bposlem6  16277  bposlem9  16280  lgsfvalg  16290  lgsfcl2  16291  lgsmod  16311  lgsdir  16320  lgsdilem2  16321  lgsne0  16323  gausslemma2dlem0c  16336  gausslemma2dlem0d  16337  gausslemma2dlem0h  16341  gausslemma2dlem0i  16342  gausslemma2dlem1  16346  gausslemma2dlem2  16347  gausslemma2dlem3  16348  gausslemma2dlem4  16349  gausslemma2dlem5a  16350  gausslemma2dlem5  16351  gausslemma2dlem6  16352  gausslemma2dlem7  16353  gausslemma2d  16354  lgseisenlem1  16355  lgseisenlem2  16356  lgseisenlem3  16357  lgseisenlem4  16358  lgseisen  16359  lgsquadlemsfi  16360  lgsquadlem1  16362  lgsquadlem2  16363  lgsquadlem3  16364  lgsquad2lem1  16366  lgsquad2lem2  16367  lgsquad2  16368  lgsquad3  16369  m1lgs  16370  2lgslem1  16376  2lgslem2  16377  2sqlem3  16402  2sqlem4  16403  2sqlem8  16408  2sqlem9  16409  cvgcmp2nlemabs  17247  trilpolemclim  17252  trilpolemisumle  17254  trilpolemeq1  17256  trilpolemlt1  17257  nconstwlpolemgt0  17281