Theorem nnzd 9024

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnzd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 8882	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 9023	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1448  ℕcn 8578  ℤcz 8906

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-ltadd 7611

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907

This theorem is referenced by:  qapne  9281  qtri3or  9861  exbtwnzlemstep  9866  modifeq2int  10000  modsumfzodifsn  10010  addmodlteq  10012  expnnval  10137  expnegap0  10142  expaddzaplem  10177  expmulzap  10180  facndiv  10326  bcval  10336  bcval5  10350  bcpasc  10353  caucvgre  10593  cvg1nlemcau  10596  cvg1nlemres  10597  resqrexlemdecn  10624  resqrexlemnmsq  10629  resqrexlemnm  10630  resqrexlemcvg  10631  resqrexlemoverl  10633  sumeq2  10967  isummolemnm  10987  summodclem3  10988  summodclem2a  10989  summodclem2  10990  summodc  10991  zsumdc  10992  fsum3  10995  fisumss  11000  fsum3cvg3  11004  fsumcl2lem  11006  fsumadd  11014  sumsnf  11017  fsummulc2  11056  bcxmas  11097  geo2lim  11124  cvgratnnlembern  11131  cvgratnnlemseq  11134  cvgratnnlemabsle  11135  cvgratnnlemsumlt  11136  cvgratnnlemfm  11137  cvgratnnlemrate  11138  cvgratz  11140  mertenslemub  11142  mertenslemi1  11143  mertenslem2  11144  eftcl  11158  eftlub  11194  eirraplem  11278  dvdsle  11337  fzm1ndvds  11349  dvdsfac  11353  dvdsmod  11355  divalglemeunn  11413  gcddvds  11447  gcdnncl  11451  gcd1  11470  bezoutlemnewy  11477  bezoutlemstep  11478  mulgcd  11497  gcdmultiplez  11502  rplpwr  11508  rppwr  11509  sqgcd  11510  dvdssq  11512  lcmneg  11548  lcmgcdlem  11551  ncoprmgcdne1b  11563  rpdvds  11573  congr  11574  cncongr1  11577  cncongr2  11578  prmz  11585  prmind2  11594  divgcdodd  11614  isprm6  11618  prmexpb  11622  prmfac1  11623  rpexp  11624  sqrt2irrlem  11632  pw2dvdslemn  11635  pw2dvdseulemle  11637  oddpwdclemxy  11639  oddpwdclemodd  11642  sqpweven  11645  2sqpwodd  11646  sqrt2irraplemnn  11649  numdensq  11672  phivalfi  11680  hashdvds  11689  phiprmpw  11690  crth  11692  phimullem  11693  hashgcdlem  11695  hashgcdeq  11696  oddennn  11697  exmidunben  11731  strleund  11829  cvgcmp2nlemabs  12811  trilpolemclim  12813  trilpolemisumle  12815  trilpolemeq1  12817  trilpolemlt1  12818