Theorem nnzd 9438

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnzd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 9293	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 9437	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  ℕcn 8982  ℤcz 9317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318

This theorem is referenced by:  qapne  9704  qtri3or  10310  exbtwnzlemstep  10316  modifeq2int  10457  modsumfzodifsn  10467  addmodlteq  10469  expnnval  10613  expnegap0  10618  expaddzaplem  10653  expmulzap  10656  facndiv  10810  bcval  10820  bcval5  10834  bcpasc  10837  caucvgre  11125  cvg1nlemcau  11128  cvg1nlemres  11129  resqrexlemdecn  11156  resqrexlemnmsq  11161  resqrexlemnm  11162  resqrexlemcvg  11163  resqrexlemoverl  11165  sumeq2  11502  nnf1o  11519  summodclem3  11523  summodclem2a  11524  summodclem2  11525  summodc  11526  zsumdc  11527  fsum3  11530  fisumss  11535  fsum3cvg3  11539  fsumcl2lem  11541  fsumadd  11549  sumsnf  11552  fsummulc2  11591  bcxmas  11632  geo2lim  11659  cvgratnnlembern  11666  cvgratnnlemseq  11669  cvgratnnlemabsle  11670  cvgratnnlemsumlt  11671  cvgratnnlemfm  11672  cvgratnnlemrate  11673  cvgratz  11675  mertenslemub  11677  mertenslemi1  11678  mertenslem2  11679  prodeq2  11700  prodmodclem3  11718  prodmodclem2a  11719  prodmodclem2  11720  fprodseq  11726  fprodssdc  11733  fprodmul  11734  prodsnf  11735  eftcl  11797  eftlub  11833  eirraplem  11920  dvdsle  11986  fzm1ndvds  11998  dvdsfac  12002  dvdsmod  12004  divalglemeunn  12062  gcddvds  12100  gcdnncl  12104  gcd1  12124  dvdsgcdidd  12131  bezoutlemnewy  12133  bezoutlemstep  12134  mulgcd  12153  gcdmultiplez  12158  rplpwr  12164  rppwr  12165  sqgcd  12166  dvdssq  12168  uzwodc  12174  lcmneg  12212  lcmgcdlem  12215  ncoprmgcdne1b  12227  rpdvds  12237  congr  12238  cncongr1  12241  cncongr2  12242  prmz  12249  prmind2  12258  divgcdodd  12281  isprm6  12285  prmexpb  12289  prmfac1  12290  rpexp  12291  sqrt2irrlem  12299  pw2dvdslemn  12303  pw2dvdseulemle  12305  oddpwdclemxy  12307  oddpwdclemodd  12310  sqpweven  12313  2sqpwodd  12314  sqrt2irraplemnn  12317  numdensq  12340  phivalfi  12350  hashdvds  12359  phiprmpw  12360  crth  12362  phimullem  12363  eulerthlem1  12365  eulerthlemfi  12366  eulerthlemrprm  12367  eulerthlema  12368  eulerthlemh  12369  eulerthlemth  12370  eulerth  12371  prmdivdiv  12375  hashgcdlem  12376  hashgcdeq  12377  phisum  12378  odzdvds  12383  powm2modprm  12390  pythagtriplem2  12404  pythagtriplem4  12406  pythagtriplem6  12408  pythagtriplem7  12409  pythagtriplem11  12412  pythagtriplem13  12414  pythagtriplem16  12417  pythagtriplem19  12420  pythagtrip  12421  pclemub  12425  pcprendvds2  12429  pcpre1  12430  pcpremul  12431  pceulem  12432  pcqmul  12441  pcdvdsb  12458  pcidlem  12461  pcdvdstr  12465  pcgcd1  12466  pc2dvds  12468  pcprmpw2  12471  pcaddlem  12477  pcadd  12478  pcmpt  12481  pcmpt2  12482  pcmptdvds  12483  pcprod  12484  pcfac  12488  pcbc  12489  qexpz  12490  oddprmdvds  12492  prmpwdvds  12493  pockthlem  12494  pockthg  12495  infpnlem2  12498  1arithlem4  12504  1arith  12505  4sqlem5  12520  4sqlem6  12521  4sqlem8  12523  4sqlem9  12524  4sqlem10  12525  4sqlemafi  12533  4sqlemffi  12534  4sqleminfi  12535  4sqlem11  12539  4sqlem12  12540  4sqlem14  12542  4sqlem16  12544  4sqlem17  12545  oddennn  12549  exmidunben  12583  nninfdclemcl  12605  nninfdclemp1  12607  nninfdclemlt  12608  unbendc  12611  strleund  12721  gsumwsubmcl  13068  gsumwmhm  13070  mulgneg  13210  mulgnndir  13221  znrrg  14148  logbgcd1irraplemexp  15100  logbgcd1irraplemap  15101  lgsfvalg  15121  lgsfcl2  15122  lgsmod  15142  lgsdir  15151  lgsdilem2  15152  lgsne0  15154  gausslemma2dlem0c  15167  gausslemma2dlem0d  15168  gausslemma2dlem0h  15172  gausslemma2dlem0i  15173  gausslemma2dlem1  15177  gausslemma2dlem2  15178  gausslemma2dlem3  15179  gausslemma2dlem4  15180  gausslemma2dlem5a  15181  gausslemma2dlem5  15182  gausslemma2dlem6  15183  gausslemma2dlem7  15184  gausslemma2d  15185  lgseisenlem1  15186  lgseisenlem2  15187  lgseisenlem3  15188  lgseisenlem4  15189  lgseisen  15190  lgsquadlem1  15191  m1lgs  15192  2sqlem3  15204  2sqlem4  15205  2sqlem8  15210  2sqlem9  15211  cvgcmp2nlemabs  15522  trilpolemclim  15526  trilpolemisumle  15528  trilpolemeq1  15530  trilpolemlt1  15531  nconstwlpolemgt0  15554