Theorem nnzd 9717

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnzd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 9570	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 9716	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  ℕcn 9254  ℤcz 9594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595

This theorem is referenced by:  qapne  9989  ltesubnnd  10120  qtri3or  10624  exbtwnzlemstep  10631  modifeq2int  10772  modsumfzodifsn  10782  addmodlteq  10784  expnnval  10928  expnegap0  10933  expaddzaplem  10968  expmulzap  10971  facndiv  11126  bcval  11136  bcval5  11150  bcpasc  11153  caucvgre  11691  cvg1nlemcau  11694  cvg1nlemres  11695  resqrexlemdecn  11722  resqrexlemnmsq  11727  resqrexlemnm  11728  resqrexlemcvg  11729  resqrexlemoverl  11731  sumeq2  12069  nnf1o  12087  summodclem3  12091  summodclem2a  12092  summodclem2  12093  summodc  12094  zsumdc  12095  fsum3  12098  fisumss  12103  fsum3cvg3  12107  fsumcl2lem  12109  fsumadd  12117  sumsnf  12120  fsummulc2  12159  bcxmas  12200  geo2lim  12227  cvgratnnlembern  12234  cvgratnnlemseq  12237  cvgratnnlemabsle  12238  cvgratnnlemsumlt  12239  cvgratnnlemfm  12240  cvgratnnlemrate  12241  cvgratz  12243  mertenslemub  12245  mertenslemi1  12246  mertenslem2  12247  prodeq2  12268  prodmodclem3  12286  prodmodclem2a  12287  prodmodclem2  12288  fprodseq  12294  fprodssdc  12301  fprodmul  12302  prodsnf  12303  eftcl  12365  eftlub  12401  eirraplem  12488  dvdsle  12555  fzm1ndvds  12567  dvdsfac  12571  dvdsmod  12573  divalglemeunn  12632  bitsfzolem  12665  bitsmod  12667  bitsfi  12668  bitscmp  12669  bitsinv1  12673  gcddvds  12684  gcdnncl  12688  gcd1  12708  dvdsgcdidd  12715  bezoutlemnewy  12717  bezoutlemstep  12718  mulgcd  12737  gcdmultiplez  12742  rplpwr  12748  rppwr  12749  sqgcd  12750  dvdssq  12752  uzwodc  12758  lcmneg  12796  lcmgcdlem  12799  ncoprmgcdne1b  12811  rpdvds  12821  congr  12822  cncongr1  12825  cncongr2  12826  prmz  12833  prmind2  12842  divgcdodd  12865  isprm6  12869  prmexpb  12873  prmfac1  12874  rpexp  12875  sqrt2irrlem  12883  pw2dvdslemn  12887  pw2dvdseulemle  12889  oddpwdclemxy  12891  oddpwdclemodd  12894  sqpweven  12897  2sqpwodd  12898  sqrt2irraplemnn  12901  numdensq  12924  phivalfi  12934  hashdvds  12943  phiprmpw  12944  crth  12946  phimullem  12947  eulerthlem1  12949  eulerthlemfi  12950  eulerthlemrprm  12951  eulerthlema  12952  eulerthlemh  12953  eulerthlemth  12954  eulerth  12955  prmdivdiv  12959  hashgcdlem  12960  hashgcdeq  12962  phisum  12963  odzdvds  12968  powm2modprm  12975  pythagtriplem2  12989  pythagtriplem4  12991  pythagtriplem6  12993  pythagtriplem7  12994  pythagtriplem11  12997  pythagtriplem13  12999  pythagtriplem16  13002  pythagtriplem19  13005  pythagtrip  13006  pclemub  13010  pcprendvds2  13014  pcpre1  13015  pcpremul  13016  pceulem  13017  pcqmul  13026  pcdvdsb  13043  pcidlem  13046  pcdvdstr  13050  pcgcd1  13051  pc2dvds  13053  pcprmpw2  13056  pcaddlem  13062  pcadd  13063  pcmpt  13066  pcmpt2  13067  pcmptdvds  13068  pcprod  13069  pcfac  13073  pcbc  13074  qexpz  13075  oddprmdvds  13077  prmpwdvds  13078  pockthlem  13079  pockthg  13080  infpnlem2  13083  1arithlem4  13089  1arith  13090  4sqlem5  13105  4sqlem6  13106  4sqlem8  13108  4sqlem9  13109  4sqlem10  13110  4sqlemafi  13118  4sqlemffi  13119  4sqleminfi  13120  4sqlem11  13124  4sqlem12  13125  4sqlem14  13127  4sqlem16  13129  4sqlem17  13130  ballotfilemfp1  13175  ballotfilemfc0  13176  ballotfilemfcc  13177  ballotfilemimin  13193  ballotfilemic  13194  ballotfilem1c  13195  oddennn  13227  exmidunben  13261  nninfdclemcl  13283  nninfdclemp1  13285  nninfdclemlt  13286  unbendc  13289  bassetsnn  13353  strleund  13400  gsumwsubmcl  13751  gsumwmhm  13753  mulgneg  13893  mulgnndir  13904  znrrg  14934  logbgcd1irraplemexp  15959  logbgcd1irraplemap  15960  sgmnncl  15982  dvdsppwf1o  15983  mpodvdsmulf1o  15984  mersenne  15991  perfect1  15992  perfectlem1  15993  perfectlem2  15994  perfect  15995  lgsfvalg  16004  lgsfcl2  16005  lgsmod  16025  lgsdir  16034  lgsdilem2  16035  lgsne0  16037  gausslemma2dlem0c  16050  gausslemma2dlem0d  16051  gausslemma2dlem0h  16055  gausslemma2dlem0i  16056  gausslemma2dlem1  16060  gausslemma2dlem2  16061  gausslemma2dlem3  16062  gausslemma2dlem4  16063  gausslemma2dlem5a  16064  gausslemma2dlem5  16065  gausslemma2dlem6  16066  gausslemma2dlem7  16067  gausslemma2d  16068  lgseisenlem1  16069  lgseisenlem2  16070  lgseisenlem3  16071  lgseisenlem4  16072  lgseisen  16073  lgsquadlemsfi  16074  lgsquadlem1  16076  lgsquadlem2  16077  lgsquadlem3  16078  lgsquad2lem1  16080  lgsquad2lem2  16081  lgsquad2  16082  lgsquad3  16083  m1lgs  16084  2lgslem1  16090  2lgslem2  16091  2sqlem3  16116  2sqlem4  16117  2sqlem8  16122  2sqlem9  16123  cvgcmp2nlemabs  16942  trilpolemclim  16946  trilpolemisumle  16948  trilpolemeq1  16950  trilpolemlt1  16951  nconstwlpolemgt0  16976