Theorem nnzd 9777

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnzd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 9629	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 9776	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ℕcn 9313  ℤcz 9653

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9654

This theorem is used by:  qapne  10054  ltesubnnd  10186  qtri3or  10691  exbtwnzlemstep  10698  modifeq2int  10843  modsumfzodifsn  10853  addmodlteq  10855  expnnval  10999  expnegap0  11004  expaddzaplem  11039  expmulzap  11042  facndiv  11198  bcval  11208  bcval5  11222  bcpasc  11225  hashf1  11308  caucvgre  11768  cvg1nlemcau  11771  cvg1nlemres  11772  resqrexlemdecn  11799  resqrexlemnmsq  11804  resqrexlemnm  11805  resqrexlemcvg  11806  resqrexlemoverl  11808  sumeq2  12149  nnf1o  12167  summodclem3  12171  summodclem2a  12172  summodclem2  12173  summodc  12174  zsumdc  12175  fsum3  12178  fisumss  12183  fsum3cvg3  12187  fsumcl2lem  12189  fsumadd  12197  sumsnf  12200  fsummulc2  12239  bcxmas  12280  geo2lim  12307  cvgratnnlembern  12314  cvgratnnlemseq  12317  cvgratnnlemabsle  12318  cvgratnnlemsumlt  12319  cvgratnnlemfm  12320  cvgratnnlemrate  12321  cvgratz  12323  mertenslemub  12325  mertenslemi1  12326  mertenslem2  12327  prodeq2  12348  prodmodclem3  12366  prodmodclem2a  12367  prodmodclem2  12368  fprodseq  12374  fprodssdc  12381  fprodmul  12382  prodsnf  12383  eftcl  12445  eftlub  12481  eirraplem  12568  dvdsle  12635  fzm1ndvds  12647  dvdsfac  12651  dvdsmod  12653  divalglemeunn  12712  bitsfzolem  12745  bitsmod  12747  bitsfi  12748  bitscmp  12749  bitsinv1  12753  gcddvds  12764  gcdnncl  12768  gcd1  12788  dvdsgcdidd  12795  bezoutlemnewy  12797  bezoutlemstep  12798  mulgcd  12817  gcdmultiplez  12822  rplpwr  12828  rppwr  12829  sqgcd  12830  dvdssq  12832  uzwodc  12838  lcmneg  12876  lcmgcdlem  12879  ncoprmgcdne1b  12891  rpdvds  12901  congr  12902  cncongr1  12905  cncongr2  12906  prmz  12913  prmind2  12922  divgcdodd  12946  isprm6  12950  prmexpb  12954  prmfac1  12955  rpexp  12956  sqrt2irrlem  12964  pwbdvdslemn  12968  pwbdvds  12969  pwbdvdseulemle  12970  nnmaxpwlemxy  12972  nnmaxpwlemnfac  12975  sqpweven  12979  2sqpwodd  12980  sqrt2irraplemnn  12983  numdensq  13006  phivalfi  13018  hashdvds  13027  phiprmpw  13028  crth  13030  phimullem  13031  eulerthlem1  13033  eulerthlemfi  13034  eulerthlemrprm  13035  eulerthlema  13036  eulerthlemh  13037  eulerthlemth  13038  eulerth  13039  prmdivdiv  13043  hashgcdlem  13044  hashgcdeq  13046  phisum  13047  odzdvds  13052  powm2modprm  13059  pythagtriplem2  13073  pythagtriplem4  13075  pythagtriplem6  13077  pythagtriplem7  13078  pythagtriplem11  13081  pythagtriplem13  13083  pythagtriplem16  13086  pythagtriplem19  13089  pythagtrip  13090  pclemub  13094  pcprendvds2  13098  pcpre1  13099  pcpremul  13100  pceulem  13101  pcqmul  13110  pcdvdsb  13127  pcidlem  13130  pcdvdstr  13134  pcgcd1  13135  pc2dvds  13137  pcprmpw2  13140  pcaddlem  13146  pcadd  13147  pcmpt  13150  pcmpt2  13151  pcmptdvds  13152  pcprod  13153  pcfac  13157  pcbc  13158  qexpz  13159  oddprmdvds  13161  prmpwdvds  13162  pockthlem  13163  pockthg  13164  infpnlem2  13167  1arithlem4  13173  1arith  13174  4sqlem5  13189  4sqlem6  13190  4sqlem8  13192  4sqlem9  13193  4sqlem10  13194  4sqlemafi  13202  4sqlemffi  13203  4sqleminfi  13204  4sqlem11  13208  4sqlem12  13209  4sqlem14  13211  4sqlem16  13213  4sqlem17  13214  ballotfilemfp1  13288  ballotfilemfc0  13289  ballotfilemfcc  13290  ballotfilemimin  13306  ballotfilemic  13307  ballotfilem1c  13308  oddennn  13340  exmidunben  13374  nninfdclemcl  13396  nninfdclemp1  13398  nninfdclemlt  13399  unbendc  13402  bassetsnn  13466  strleund  13515  gzsumwsubmcl  13859  gzsumwmhm  13861  mulgneg  14001  mulgnndir  14012  znrrg  15103  logbgcd1irraplemexp  16221  logbgcd1irraplemap  16222  zprmlogbaplem2  16233  sgmnncl  16274  efchtqdvds  16282  dvdsppwf1o  16300  mpodvdsmulf1o  16301  chtublem  16312  mersenne  16314  perfect1  16315  perfectlem1  16316  perfectlem2  16317  perfect  16318  bcmono  16321  bcp1ctr  16323  bclbnd  16324  bposlem1  16328  bposlem2  16329  bposlem3  16330  bposlem4  16331  bposlem5  16332  bposlem6  16333  bposlem9  16336  lgsfvalg  16346  lgsfcl2  16347  lgsmod  16367  lgsdir  16376  lgsdilem2  16377  lgsne0  16379  gausslemma2dlem0c  16392  gausslemma2dlem0d  16393  gausslemma2dlem0h  16397  gausslemma2dlem0i  16398  gausslemma2dlem1  16402  gausslemma2dlem2  16403  gausslemma2dlem3  16404  gausslemma2dlem4  16405  gausslemma2dlem5a  16406  gausslemma2dlem5  16407  gausslemma2dlem6  16408  gausslemma2dlem7  16409  gausslemma2d  16410  lgseisenlem1  16411  lgseisenlem2  16412  lgseisenlem3  16413  lgseisenlem4  16414  lgseisen  16415  lgsquadlemsfi  16416  lgsquadlem1  16418  lgsquadlem2  16419  lgsquadlem3  16420  lgsquad2lem1  16422  lgsquad2lem2  16423  lgsquad2  16424  lgsquad3  16425  m1lgs  16426  2lgslem1  16432  2lgslem2  16433  2sqlem3  16458  2sqlem4  16459  2sqlem8  16464  2sqlem9  16465  cvgcmp2nlemabs  17304  trilpolemclim  17309  trilpolemisumle  17311  trilpolemeq1  17313  trilpolemlt1  17314  nconstwlpolemgt0  17338