Theorem nnzd 9312

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnzd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 9167	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 9311	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136  ℕcn 8857  ℤcz 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192

This theorem is referenced by:  qapne  9577  qtri3or  10178  exbtwnzlemstep  10183  modifeq2int  10321  modsumfzodifsn  10331  addmodlteq  10333  expnnval  10458  expnegap0  10463  expaddzaplem  10498  expmulzap  10501  facndiv  10652  bcval  10662  bcval5  10676  bcpasc  10679  caucvgre  10923  cvg1nlemcau  10926  cvg1nlemres  10927  resqrexlemdecn  10954  resqrexlemnmsq  10959  resqrexlemnm  10960  resqrexlemcvg  10961  resqrexlemoverl  10963  sumeq2  11300  nnf1o  11317  summodclem3  11321  summodclem2a  11322  summodclem2  11323  summodc  11324  zsumdc  11325  fsum3  11328  fisumss  11333  fsum3cvg3  11337  fsumcl2lem  11339  fsumadd  11347  sumsnf  11350  fsummulc2  11389  bcxmas  11430  geo2lim  11457  cvgratnnlembern  11464  cvgratnnlemseq  11467  cvgratnnlemabsle  11468  cvgratnnlemsumlt  11469  cvgratnnlemfm  11470  cvgratnnlemrate  11471  cvgratz  11473  mertenslemub  11475  mertenslemi1  11476  mertenslem2  11477  prodeq2  11498  prodmodclem3  11516  prodmodclem2a  11517  prodmodclem2  11518  fprodseq  11524  fprodssdc  11531  fprodmul  11532  prodsnf  11533  eftcl  11595  eftlub  11631  eirraplem  11717  dvdsle  11782  fzm1ndvds  11794  dvdsfac  11798  dvdsmod  11800  divalglemeunn  11858  gcddvds  11896  gcdnncl  11900  gcd1  11920  dvdsgcdidd  11927  bezoutlemnewy  11929  bezoutlemstep  11930  mulgcd  11949  gcdmultiplez  11954  rplpwr  11960  rppwr  11961  sqgcd  11962  dvdssq  11964  uzwodc  11970  lcmneg  12006  lcmgcdlem  12009  ncoprmgcdne1b  12021  rpdvds  12031  congr  12032  cncongr1  12035  cncongr2  12036  prmz  12043  prmind2  12052  divgcdodd  12075  isprm6  12079  prmexpb  12083  prmfac1  12084  rpexp  12085  sqrt2irrlem  12093  pw2dvdslemn  12097  pw2dvdseulemle  12099  oddpwdclemxy  12101  oddpwdclemodd  12104  sqpweven  12107  2sqpwodd  12108  sqrt2irraplemnn  12111  numdensq  12134  phivalfi  12144  hashdvds  12153  phiprmpw  12154  crth  12156  phimullem  12157  eulerthlem1  12159  eulerthlemfi  12160  eulerthlemrprm  12161  eulerthlema  12162  eulerthlemh  12163  eulerthlemth  12164  eulerth  12165  prmdivdiv  12169  hashgcdlem  12170  hashgcdeq  12171  phisum  12172  odzdvds  12177  powm2modprm  12184  pythagtriplem2  12198  pythagtriplem4  12200  pythagtriplem6  12202  pythagtriplem7  12203  pythagtriplem11  12206  pythagtriplem13  12208  pythagtriplem16  12211  pythagtriplem19  12214  pythagtrip  12215  pclemub  12219  pcprendvds2  12223  pcpre1  12224  pcpremul  12225  pceulem  12226  pcqmul  12235  pcdvdsb  12251  pcidlem  12254  pcdvdstr  12258  pcgcd1  12259  pc2dvds  12261  pcprmpw2  12264  pcaddlem  12270  pcadd  12271  pcmpt  12273  pcmpt2  12274  pcmptdvds  12275  pcprod  12276  pcfac  12280  pcbc  12281  qexpz  12282  oddprmdvds  12284  prmpwdvds  12285  pockthlem  12286  pockthg  12287  infpnlem2  12290  1arithlem4  12296  1arith  12297  4sqlem5  12312  4sqlem6  12313  4sqlem8  12315  4sqlem9  12316  4sqlem10  12317  oddennn  12325  exmidunben  12359  nninfdclemcl  12381  nninfdclemp1  12383  nninfdclemlt  12384  unbendc  12387  strleund  12483  logbgcd1irraplemexp  13526  logbgcd1irraplemap  13527  lgsfvalg  13546  lgsfcl2  13547  lgsmod  13567  lgsdir  13576  lgsdilem2  13577  lgsne0  13579  2sqlem3  13593  2sqlem4  13594  2sqlem8  13599  2sqlem9  13600  cvgcmp2nlemabs  13911  trilpolemclim  13915  trilpolemisumle  13917  trilpolemeq1  13919  trilpolemlt1  13920  nconstwlpolemgt0  13942