Theorem nnzd 9591

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnzd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 9445	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 9590	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ℕcn 9133  ℤcz 9469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470

This theorem is referenced by:  qapne  9863  qtri3or  10490  exbtwnzlemstep  10497  modifeq2int  10638  modsumfzodifsn  10648  addmodlteq  10650  expnnval  10794  expnegap0  10799  expaddzaplem  10834  expmulzap  10837  facndiv  10991  bcval  11001  bcval5  11015  bcpasc  11018  caucvgre  11532  cvg1nlemcau  11535  cvg1nlemres  11536  resqrexlemdecn  11563  resqrexlemnmsq  11568  resqrexlemnm  11569  resqrexlemcvg  11570  resqrexlemoverl  11572  sumeq2  11910  nnf1o  11927  summodclem3  11931  summodclem2a  11932  summodclem2  11933  summodc  11934  zsumdc  11935  fsum3  11938  fisumss  11943  fsum3cvg3  11947  fsumcl2lem  11949  fsumadd  11957  sumsnf  11960  fsummulc2  11999  bcxmas  12040  geo2lim  12067  cvgratnnlembern  12074  cvgratnnlemseq  12077  cvgratnnlemabsle  12078  cvgratnnlemsumlt  12079  cvgratnnlemfm  12080  cvgratnnlemrate  12081  cvgratz  12083  mertenslemub  12085  mertenslemi1  12086  mertenslem2  12087  prodeq2  12108  prodmodclem3  12126  prodmodclem2a  12127  prodmodclem2  12128  fprodseq  12134  fprodssdc  12141  fprodmul  12142  prodsnf  12143  eftcl  12205  eftlub  12241  eirraplem  12328  dvdsle  12395  fzm1ndvds  12407  dvdsfac  12411  dvdsmod  12413  divalglemeunn  12472  bitsfzolem  12505  bitsmod  12507  bitsfi  12508  bitscmp  12509  bitsinv1  12513  gcddvds  12524  gcdnncl  12528  gcd1  12548  dvdsgcdidd  12555  bezoutlemnewy  12557  bezoutlemstep  12558  mulgcd  12577  gcdmultiplez  12582  rplpwr  12588  rppwr  12589  sqgcd  12590  dvdssq  12592  uzwodc  12598  lcmneg  12636  lcmgcdlem  12639  ncoprmgcdne1b  12651  rpdvds  12661  congr  12662  cncongr1  12665  cncongr2  12666  prmz  12673  prmind2  12682  divgcdodd  12705  isprm6  12709  prmexpb  12713  prmfac1  12714  rpexp  12715  sqrt2irrlem  12723  pw2dvdslemn  12727  pw2dvdseulemle  12729  oddpwdclemxy  12731  oddpwdclemodd  12734  sqpweven  12737  2sqpwodd  12738  sqrt2irraplemnn  12741  numdensq  12764  phivalfi  12774  hashdvds  12783  phiprmpw  12784  crth  12786  phimullem  12787  eulerthlem1  12789  eulerthlemfi  12790  eulerthlemrprm  12791  eulerthlema  12792  eulerthlemh  12793  eulerthlemth  12794  eulerth  12795  prmdivdiv  12799  hashgcdlem  12800  hashgcdeq  12802  phisum  12803  odzdvds  12808  powm2modprm  12815  pythagtriplem2  12829  pythagtriplem4  12831  pythagtriplem6  12833  pythagtriplem7  12834  pythagtriplem11  12837  pythagtriplem13  12839  pythagtriplem16  12842  pythagtriplem19  12845  pythagtrip  12846  pclemub  12850  pcprendvds2  12854  pcpre1  12855  pcpremul  12856  pceulem  12857  pcqmul  12866  pcdvdsb  12883  pcidlem  12886  pcdvdstr  12890  pcgcd1  12891  pc2dvds  12893  pcprmpw2  12896  pcaddlem  12902  pcadd  12903  pcmpt  12906  pcmpt2  12907  pcmptdvds  12908  pcprod  12909  pcfac  12913  pcbc  12914  qexpz  12915  oddprmdvds  12917  prmpwdvds  12918  pockthlem  12919  pockthg  12920  infpnlem2  12923  1arithlem4  12929  1arith  12930  4sqlem5  12945  4sqlem6  12946  4sqlem8  12948  4sqlem9  12949  4sqlem10  12950  4sqlemafi  12958  4sqlemffi  12959  4sqleminfi  12960  4sqlem11  12964  4sqlem12  12965  4sqlem14  12967  4sqlem16  12969  4sqlem17  12970  oddennn  13003  exmidunben  13037  nninfdclemcl  13059  nninfdclemp1  13061  nninfdclemlt  13062  unbendc  13065  bassetsnn  13129  strleund  13176  gsumwsubmcl  13569  gsumwmhm  13571  mulgneg  13717  mulgnndir  13728  znrrg  14664  logbgcd1irraplemexp  15682  logbgcd1irraplemap  15683  sgmnncl  15702  dvdsppwf1o  15703  mpodvdsmulf1o  15704  mersenne  15711  perfect1  15712  perfectlem1  15713  perfectlem2  15714  perfect  15715  lgsfvalg  15724  lgsfcl2  15725  lgsmod  15745  lgsdir  15754  lgsdilem2  15755  lgsne0  15757  gausslemma2dlem0c  15770  gausslemma2dlem0d  15771  gausslemma2dlem0h  15775  gausslemma2dlem0i  15776  gausslemma2dlem1  15780  gausslemma2dlem2  15781  gausslemma2dlem3  15782  gausslemma2dlem4  15783  gausslemma2dlem5a  15784  gausslemma2dlem5  15785  gausslemma2dlem6  15786  gausslemma2dlem7  15787  gausslemma2d  15788  lgseisenlem1  15789  lgseisenlem2  15790  lgseisenlem3  15791  lgseisenlem4  15792  lgseisen  15793  lgsquadlemsfi  15794  lgsquadlem1  15796  lgsquadlem2  15797  lgsquadlem3  15798  lgsquad2lem1  15800  lgsquad2lem2  15801  lgsquad2  15802  lgsquad3  15803  m1lgs  15804  2lgslem1  15810  2lgslem2  15811  2sqlem3  15836  2sqlem4  15837  2sqlem8  15842  2sqlem9  15843  cvgcmp2nlemabs  16572  trilpolemclim  16576  trilpolemisumle  16578  trilpolemeq1  16580  trilpolemlt1  16581  nconstwlpolemgt0  16604