Theorem nnleltp1 9529

Description: Positive integer ordering relation. (Contributed by NM, 13-Aug-2001.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnleltp1	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 < (𝐵 + 1)))

Proof of Theorem nnleltp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9488	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
2		nnz 9488	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zleltp1 9525	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 < (𝐵 + 1)))
4	1, 2, 3	syl2an 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 < (𝐵 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013  1c1 8023   + caddc 8025   < clt 8204   ≤ cle 8205  ℕcn 9133  ℤcz 9469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470

This theorem is referenced by:  indstr  9817  caucvgre  11532  eftlub  12241  eirraplem  12328  sqrt2irr  12724  pcmpt  12906  infpnlem2  12923  lgsquadlem2  15797