Theorem isnzr2 14432

Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
isnzr2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isnzr2	⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 2o ≼ 𝐵))

Proof of Theorem isnzr2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
2		eqid 2234	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3	1, 2	isnzr 14429	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
4		isnzr2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5	4, 1	ringidcl 14266	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
6	5	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
7	4, 2	ring0cl 14267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
8	7	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
9		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
10		df-ne 2415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
11		neeq1 2427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑅) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ (1r‘𝑅) ≠ 𝑦))
12	10, 11	bitr3id 194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑅) → (¬ 𝑥 = 𝑦 ↔ (1r‘𝑅) ≠ 𝑦))
13		neeq2 2428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (0g‘𝑅) → ((1r‘𝑅) ≠ 𝑦 ↔ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
14	12, 13	rspc2ev 2939	. . . . . . 7 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦)
15	6, 8, 9, 14	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦)
16	15	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦))
17	4, 1, 2	ring1eq0 14294	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
18	17	3expb 1231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
19	18	necon3bd 2457	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
20	19	rexlimdvva 2670	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
21	16, 20	impbid 129	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦))
22		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
23		simprl 531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
24		simprr 533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦)) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
25	22, 23, 24	enpr2d 7077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦)) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
27	26	ensymd 7036	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))) → 2o ≈ {𝑥, 𝑦})
28		basfn 13358	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Base Fn V
29		elex 2827	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ V)
30		funfvex 5692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
31	30	funfni 5463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
32	28, 29, 31	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ V)
33	4, 32	eqeltrid 2321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ V)
34		ssdomg 7031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ V → ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 → {𝑥, 𝑦} ≼ 𝐵))
35	33, 34	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 → {𝑥, 𝑦} ≼ 𝐵))
36	22, 23	prssd 3858	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦)) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵)
37	35, 36	impel 280	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))) → {𝑥, 𝑦} ≼ 𝐵)
38		endomtr 7043	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2o ≈ {𝑥, 𝑦} ∧ {𝑥, 𝑦} ≼ 𝐵) → 2o ≼ 𝐵)
39	27, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))) → 2o ≼ 𝐵)
40	39	anassrs 400	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦)) → 2o ≼ 𝐵)
41	40	rexlimdvaa 2663	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦 → 2o ≼ 𝐵))
42	41	rexlimdva 2662	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦 → 2o ≼ 𝐵))
43		2dom 7059	. . . . 5 ⊢ (2o ≼ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦)
44	42, 43	impbid1 142	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦 ↔ 2o ≼ 𝐵))
45	21, 44	bitrd 188	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) ↔ 2o ≼ 𝐵))
46	45	pm5.32i 454	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 2o ≼ 𝐵))
47	3, 46	bitri 184	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 2o ≼ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  ∃wrex 2523  Vcvv 2815   ⊆ wss 3214  {cpr 3695   class class class wbr 4114   Fn wfn 5352  ‘cfv 5357  2_oc2o 6654   ≈ cen 6986   ≼ cdom 6987  Basecbs 13299  0_gc0g 13556  1_rcur 14205  Ringcrg 14242  NzRingcnzr 14427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-sets 13306  df-plusg 13390  df-mulr 13391  df-0g 13558  df-mgm 13622  df-sgrp 13668  df-mnd 13681  df-grp 13761  df-minusg 13762  df-mgp 14163  df-ur 14206  df-ring 14244  df-nzr 14428

This theorem is referenced by:  znidom  14934  znidomb  14935