Theorem isnzr2 13990

Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
isnzr2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isnzr2	⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 2o ≼ 𝐵))

Proof of Theorem isnzr2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2206	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
2		eqid 2206	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3	1, 2	isnzr 13987	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
4		isnzr2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5	4, 1	ringidcl 13826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
6	5	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
7	4, 2	ring0cl 13827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
8	7	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
9		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
10		df-ne 2378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
11		neeq1 2390	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑅) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ (1r‘𝑅) ≠ 𝑦))
12	10, 11	bitr3id 194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑅) → (¬ 𝑥 = 𝑦 ↔ (1r‘𝑅) ≠ 𝑦))
13		neeq2 2391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (0g‘𝑅) → ((1r‘𝑅) ≠ 𝑦 ↔ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
14	12, 13	rspc2ev 2893	. . . . . . 7 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦)
15	6, 8, 9, 14	syl3anc 1250	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦)
16	15	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦))
17	4, 1, 2	ring1eq0 13854	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
18	17	3expb 1207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
19	18	necon3bd 2420	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
20	19	rexlimdvva 2632	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
21	16, 20	impbid 129	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦))
22		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
23		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
24		simprr 531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦)) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
25	22, 23, 24	enpr2d 6918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦)) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
27	26	ensymd 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))) → 2o ≈ {𝑥, 𝑦})
28		basfn 12934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Base Fn V
29		elex 2784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ V)
30		funfvex 5600	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
31	30	funfni 5381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
32	28, 29, 31	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ V)
33	4, 32	eqeltrid 2293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ V)
34		ssdomg 6877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ V → ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 → {𝑥, 𝑦} ≼ 𝐵))
35	33, 34	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 → {𝑥, 𝑦} ≼ 𝐵))
36	22, 23	prssd 3794	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦)) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵)
37	35, 36	impel 280	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))) → {𝑥, 𝑦} ≼ 𝐵)
38		endomtr 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2o ≈ {𝑥, 𝑦} ∧ {𝑥, 𝑦} ≼ 𝐵) → 2o ≼ 𝐵)
39	27, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))) → 2o ≼ 𝐵)
40	39	anassrs 400	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦)) → 2o ≼ 𝐵)
41	40	rexlimdvaa 2625	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦 → 2o ≼ 𝐵))
42	41	rexlimdva 2624	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦 → 2o ≼ 𝐵))
43		2dom 6904	. . . . 5 ⊢ (2o ≼ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦)
44	42, 43	impbid1 142	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦 ↔ 2o ≼ 𝐵))
45	21, 44	bitrd 188	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) ↔ 2o ≼ 𝐵))
46	45	pm5.32i 454	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 2o ≼ 𝐵))
47	3, 46	bitri 184	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 2o ≼ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377  ∃wrex 2486  Vcvv 2773   ⊆ wss 3167  {cpr 3635   class class class wbr 4047   Fn wfn 5271  ‘cfv 5276  2_oc2o 6503   ≈ cen 6832   ≼ cdom 6833  Basecbs 12876  0_gc0g 13132  1_rcur 13765  Ringcrg 13802  NzRingcnzr 13985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-iord 4417  df-on 4419  df-suc 4422  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1o 6509  df-2o 6510  df-er 6627  df-en 6835  df-dom 6836  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-ltxr 8119  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sets 12883  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-0g 13134  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-grp 13379  df-minusg 13380  df-mgp 13727  df-ur 13766  df-ring 13804  df-nzr 13986

This theorem is referenced by:  znidom  14463  znidomb  14464