ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isnzr2 GIF version

Theorem isnzr2 13680
Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isnzr2.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
isnzr2 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 2o𝐵))

Proof of Theorem isnzr2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2193 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2 eqid 2193 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
31, 2isnzr 13677 . 2 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
4 isnzr2.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑅)
54, 1ringidcl 13516 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
65adantr 276 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
74, 2ring0cl 13517 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
87adantr 276 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
9 simpr 110 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
10 df-ne 2365 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
11 neeq1 2377 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (1r𝑅) → (𝑥𝑦 ↔ (1r𝑅) ≠ 𝑦))
1210, 11bitr3id 194 . . . . . . . 8 (𝑥 = (1r𝑅) → (¬ 𝑥 = 𝑦 ↔ (1r𝑅) ≠ 𝑦))
13 neeq2 2378 . . . . . . . 8 (𝑦 = (0g𝑅) → ((1r𝑅) ≠ 𝑦 ↔ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
1412, 13rspc2ev 2879 . . . . . . 7 (((1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦)
156, 8, 9, 14syl3anc 1249 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦)
1615ex 115 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ((1r𝑅) ≠ (0g𝑅) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦))
174, 1, 2ring1eq0 13544 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
18173expb 1206 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
1918necon3bd 2407 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
2019rexlimdvva 2619 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦 → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
2116, 20impbid 129 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((1r𝑅) ≠ (0g𝑅) ↔ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦))
22 simpl 109 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐵 ∧ (𝑦𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦)) → 𝑥𝐵)
23 simprl 529 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐵 ∧ (𝑦𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦)) → 𝑦𝐵)
24 simprr 531 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐵 ∧ (𝑦𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦)) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
2522, 23, 24enpr2d 6871 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐵 ∧ (𝑦𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦)) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
2625adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵 ∧ (𝑦𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
2726ensymd 6837 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵 ∧ (𝑦𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))) → 2o ≈ {𝑥, 𝑦})
28 basfn 12676 . . . . . . . . . . . . 13 Base Fn V
29 elex 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ V)
30 funfvex 5571 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
3130funfni 5354 . . . . . . . . . . . . 13 ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
3228, 29, 31sylancr 414 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ V)
334, 32eqeltrid 2280 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ V)
34 ssdomg 6832 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ V → ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 → {𝑥, 𝑦} ≼ 𝐵))
3533, 34syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 → {𝑥, 𝑦} ≼ 𝐵))
3622, 23prssd 3777 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵 ∧ (𝑦𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦)) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵)
3735, 36impel 280 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵 ∧ (𝑦𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))) → {𝑥, 𝑦} ≼ 𝐵)
38 endomtr 6844 . . . . . . . . 9 ((2o ≈ {𝑥, 𝑦} ∧ {𝑥, 𝑦} ≼ 𝐵) → 2o𝐵)
3927, 37, 38syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵 ∧ (𝑦𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))) → 2o𝐵)
4039anassrs 400 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦)) → 2o𝐵)
4140rexlimdvaa 2612 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → (∃𝑦𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦 → 2o𝐵))
4241rexlimdva 2611 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦 → 2o𝐵))
43 2dom 6859 . . . . 5 (2o𝐵 → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦)
4442, 43impbid1 142 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦 ↔ 2o𝐵))
4521, 44bitrd 188 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((1r𝑅) ≠ (0g𝑅) ↔ 2o𝐵))
4645pm5.32i 454 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 2o𝐵))
473, 46bitri 184 1 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 2o𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wcel 2164  wne 2364  wrex 2473  Vcvv 2760  wss 3153  {cpr 3619   class class class wbr 4029   Fn wfn 5249  cfv 5254  2oc2o 6463  cen 6792  cdom 6793  Basecbs 12618  0gc0g 12867  1rcur 13455  Ringcrg 13492  NzRingcnzr 13675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltadd 7988
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1o 6469  df-2o 6470  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-mgp 13417  df-ur 13456  df-ring 13494  df-nzr 13676
This theorem is referenced by:  znidom  14145  znidomb  14146
  Copyright terms: Public domain W3C validator