Theorem isnzr2 13740

Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
isnzr2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isnzr2	⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 2o ≼ 𝐵))

Proof of Theorem isnzr2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
2		eqid 2196	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3	1, 2	isnzr 13737	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
4		isnzr2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5	4, 1	ringidcl 13576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
6	5	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
7	4, 2	ring0cl 13577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
8	7	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
9		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
10		df-ne 2368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
11		neeq1 2380	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑅) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ (1r‘𝑅) ≠ 𝑦))
12	10, 11	bitr3id 194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑅) → (¬ 𝑥 = 𝑦 ↔ (1r‘𝑅) ≠ 𝑦))
13		neeq2 2381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (0g‘𝑅) → ((1r‘𝑅) ≠ 𝑦 ↔ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
14	12, 13	rspc2ev 2883	. . . . . . 7 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦)
15	6, 8, 9, 14	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦)
16	15	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦))
17	4, 1, 2	ring1eq0 13604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
18	17	3expb 1206	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
19	18	necon3bd 2410	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
20	19	rexlimdvva 2622	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
21	16, 20	impbid 129	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦))
22		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
23		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
24		simprr 531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦)) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
25	22, 23, 24	enpr2d 6876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦)) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
27	26	ensymd 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))) → 2o ≈ {𝑥, 𝑦})
28		basfn 12736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Base Fn V
29		elex 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ V)
30		funfvex 5575	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
31	30	funfni 5358	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
32	28, 29, 31	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ V)
33	4, 32	eqeltrid 2283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ V)
34		ssdomg 6837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ V → ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 → {𝑥, 𝑦} ≼ 𝐵))
35	33, 34	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 → {𝑥, 𝑦} ≼ 𝐵))
36	22, 23	prssd 3781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦)) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵)
37	35, 36	impel 280	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))) → {𝑥, 𝑦} ≼ 𝐵)
38		endomtr 6849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2o ≈ {𝑥, 𝑦} ∧ {𝑥, 𝑦} ≼ 𝐵) → 2o ≼ 𝐵)
39	27, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))) → 2o ≼ 𝐵)
40	39	anassrs 400	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦)) → 2o ≼ 𝐵)
41	40	rexlimdvaa 2615	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦 → 2o ≼ 𝐵))
42	41	rexlimdva 2614	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦 → 2o ≼ 𝐵))
43		2dom 6864	. . . . 5 ⊢ (2o ≼ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦)
44	42, 43	impbid1 142	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦 ↔ 2o ≼ 𝐵))
45	21, 44	bitrd 188	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) ↔ 2o ≼ 𝐵))
46	45	pm5.32i 454	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 2o ≼ 𝐵))
47	3, 46	bitri 184	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 2o ≼ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ∃wrex 2476  Vcvv 2763   ⊆ wss 3157  {cpr 3623   class class class wbr 4033   Fn wfn 5253  ‘cfv 5258  2_oc2o 6468   ≈ cen 6797   ≼ cdom 6798  Basecbs 12678  0_gc0g 12927  1_rcur 13515  Ringcrg 13552  NzRingcnzr 13735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1o 6474  df-2o 6475  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-mgp 13477  df-ur 13516  df-ring 13554  df-nzr 13736

This theorem is referenced by:  znidom  14213  znidomb  14214