Theorem isnzr2 14156

Description: Equivalent characterization of nonzero rings: they have at least two elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
isnzr2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isnzr2	⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 2o ≼ 𝐵))

Proof of Theorem isnzr2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
2		eqid 2229	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3	1, 2	isnzr 14153	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
4		isnzr2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5	4, 1	ringidcl 13991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
6	5	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
7	4, 2	ring0cl 13992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
8	7	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
9		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
10		df-ne 2401	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
11		neeq1 2413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑅) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ (1r‘𝑅) ≠ 𝑦))
12	10, 11	bitr3id 194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑅) → (¬ 𝑥 = 𝑦 ↔ (1r‘𝑅) ≠ 𝑦))
13		neeq2 2414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (0g‘𝑅) → ((1r‘𝑅) ≠ 𝑦 ↔ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
14	12, 13	rspc2ev 2922	. . . . . . 7 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦)
15	6, 8, 9, 14	syl3anc 1271	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦)
16	15	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦))
17	4, 1, 2	ring1eq0 14019	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
18	17	3expb 1228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((1r‘𝑅) = (0g‘𝑅) → 𝑥 = 𝑦))
19	18	necon3bd 2443	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑥 = 𝑦 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
20	19	rexlimdvva 2656	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
21	16, 20	impbid 129	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦))
22		simpl 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
23		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
24		simprr 531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦)) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
25	22, 23, 24	enpr2d 6980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦)) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
27	26	ensymd 6943	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))) → 2o ≈ {𝑥, 𝑦})
28		basfn 13099	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Base Fn V
29		elex 2811	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ V)
30		funfvex 5646	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
31	30	funfni 5423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
32	28, 29, 31	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ V)
33	4, 32	eqeltrid 2316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ V)
34		ssdomg 6938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ V → ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 → {𝑥, 𝑦} ≼ 𝐵))
35	33, 34	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 → {𝑥, 𝑦} ≼ 𝐵))
36	22, 23	prssd 3827	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦)) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵)
37	35, 36	impel 280	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))) → {𝑥, 𝑦} ≼ 𝐵)
38		endomtr 6950	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2o ≈ {𝑥, 𝑦} ∧ {𝑥, 𝑦} ≼ 𝐵) → 2o ≼ 𝐵)
39	27, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))) → 2o ≼ 𝐵)
40	39	anassrs 400	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦)) → 2o ≼ 𝐵)
41	40	rexlimdvaa 2649	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦 → 2o ≼ 𝐵))
42	41	rexlimdva 2648	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦 → 2o ≼ 𝐵))
43		2dom 6966	. . . . 5 ⊢ (2o ≼ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦)
44	42, 43	impbid1 142	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 = 𝑦 ↔ 2o ≼ 𝐵))
45	21, 44	bitrd 188	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) ↔ 2o ≼ 𝐵))
46	45	pm5.32i 454	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 2o ≼ 𝐵))
47	3, 46	bitri 184	1 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 2o ≼ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∃wrex 2509  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197  {cpr 3667   class class class wbr 4083   Fn wfn 5313  ‘cfv 5318  2_oc2o 6562   ≈ cen 6893   ≼ cdom 6894  Basecbs 13040  0_gc0g 13297  1_rcur 13930  Ringcrg 13967  NzRingcnzr 14151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1o 6568  df-2o 6569  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-ltxr 8194  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-sets 13047  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-0g 13299  df-mgm 13397  df-sgrp 13443  df-mnd 13458  df-grp 13544  df-minusg 13545  df-mgp 13892  df-ur 13931  df-ring 13969  df-nzr 14152

This theorem is referenced by:  znidom  14629  znidomb  14630