Theorem peano2rem 8600

Description: "Reverse" second Peano postulate analog for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
peano2rem	⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 8331	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		resubcl 8597	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 429	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088  ℝcr 8184  1c1 8186   − cmin 8504

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-sub 8506  df-neg 8507

This theorem is used by:  lem1  9185  addltmul  9553  div4p1lem1div2  9570  suprzclex  9754  qbtwnxr  10708  fldiv4p1lem1div2  10760  fldiv4lem1div2uz2  10761  ceiqle  10770  intfracq  10777  flqdiv  10778  iseqf1olemab  10959  seq3f1olemqsum  10970  expubnd  11053  bernneq2  11119  zfz1isolemiso  11312  sq01  11681  tgioo  15797  hovercncf  15889  hovera  15890  hoverb  15891  hoverlt1  15892  hovergt0  15893  ivthdichlem  15894  birthdaylem3  16244  ppiqub  16310  chtqub  16313  perfectlem2  16317  lgsval2lem  16351  gausslemma2dlem0c  16392  gausslemma2dlem1a  16399  lgseisenlem2  16412  lgseisen  16415  lgsquadlem1  16418  lgsquadlem2  16419  2lgslem1c  16431  2lgsoddprmlem2  16447  clwwlknonex2lem2  16901