Theorem ceiqle 10326

Description: The ceiling of a real number is the smallest integer greater than or equal to it. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ceiqle	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → -(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ceiqle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ceiqcl 10320	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -(⌊‘-𝐴) ∈ ℤ)
2	1	zred 9388	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -(⌊‘-𝐴) ∈ ℝ)
3		peano2rem 8237	. . . . 5 ⊢ (-(⌊‘-𝐴) ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) ∈ ℝ)
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) ∈ ℝ)
5	4	3ad2ant1 1019	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (-(⌊‘-𝐴) − 1) ∈ ℝ)
6		qre 9638	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	3ad2ant1 1019	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
8		zre 9270	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	3ad2ant2 1020	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		ceiqm1l 10324	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐴)
11	10	3ad2ant1 1019	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐴)
12		simp3 1000	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
13	5, 7, 9, 11, 12	ltletrd 8393	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐵)
14		zlem1lt 9322	. . . 4 ⊢ ((-(⌊‘-𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐵))
15	1, 14	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐵))
16	15	3adant3 1018	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (-(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐵))
17	13, 16	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → -(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 979   ∈ wcel 2158   class class class wbr 4015  ‘cfv 5228  (class class class)co 5888  ℝcr 7823  1c1 7825   < clt 8005   ≤ cle 8006   − cmin 8141  -cneg 8142  ℤcz 9266  ℚcq 9632  ⌊cfl 10281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-q 9633  df-rp 9667  df-fl 10283

This theorem is referenced by:  ceilqle  10327