Theorem ceiqle 10256

Description: The ceiling of a real number is the smallest integer greater than or equal to it. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ceiqle	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → -(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ceiqle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ceiqcl 10250	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -(⌊‘-𝐴) ∈ ℤ)
2	1	zred 9321	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -(⌊‘-𝐴) ∈ ℝ)
3		peano2rem 8173	. . . . 5 ⊢ (-(⌊‘-𝐴) ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) ∈ ℝ)
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) ∈ ℝ)
5	4	3ad2ant1 1013	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (-(⌊‘-𝐴) − 1) ∈ ℝ)
6		qre 9571	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	3ad2ant1 1013	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
8		zre 9203	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	3ad2ant2 1014	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		ceiqm1l 10254	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐴)
11	10	3ad2ant1 1013	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐴)
12		simp3 994	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
13	5, 7, 9, 11, 12	ltletrd 8329	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐵)
14		zlem1lt 9255	. . . 4 ⊢ ((-(⌊‘-𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐵))
15	1, 14	sylan 281	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐵))
16	15	3adant3 1012	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (-(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐵))
17	13, 16	mpbird 166	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → -(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∧ w3a 973   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3987  ‘cfv 5196  (class class class)co 5850  ℝcr 7760  1c1 7762   < clt 7941   ≤ cle 7942   − cmin 8077  -cneg 8078  ℤcz 9199  ℚcq 9565  ⌊cfl 10211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200  df-q 9566  df-rp 9598  df-fl 10213

This theorem is referenced by:  ceilqle  10257