Theorem ceiqle 9623

Description: The ceiling of a real number is the smallest integer greater than or equal to it. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ceiqle	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → -(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ceiqle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ceiqcl 9617	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -(⌊‘-𝐴) ∈ ℤ)
2	1	zred 8778	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -(⌊‘-𝐴) ∈ ℝ)
3		peano2rem 7670	. . . . 5 ⊢ (-(⌊‘-𝐴) ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) ∈ ℝ)
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) ∈ ℝ)
5	4	3ad2ant1 962	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (-(⌊‘-𝐴) − 1) ∈ ℝ)
6		qre 9019	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	3ad2ant1 962	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
8		zre 8664	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	3ad2ant2 963	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		ceiqm1l 9621	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐴)
11	10	3ad2ant1 962	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐴)
12		simp3 943	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
13	5, 7, 9, 11, 12	ltletrd 7822	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐵)
14		zlem1lt 8716	. . . 4 ⊢ ((-(⌊‘-𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐵))
15	1, 14	sylan 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (-(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐵))
16	15	3adant3 961	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (-(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐵))
17	13, 16	mpbird 165	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → -(⌊‘-𝐴) ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 103   ∧ w3a 922   ∈ wcel 1436   class class class wbr 3814  ‘cfv 4972  (class class class)co 5594  ℝcr 7270  1c1 7272   < clt 7443   ≤ cle 7444   − cmin 7574  -cneg 7575  ℤcz 8660  ℚcq 9013  ⌊cfl 9578

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-mulrcl 7365  ax-addcom 7366  ax-mulcom 7367  ax-addass 7368  ax-mulass 7369  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-1rid 7373  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-precex 7376  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381  ax-pre-ltadd 7382  ax-pre-mulgt0 7383  ax-pre-mulext 7384  ax-arch 7385

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-id 4087  df-po 4090  df-iso 4091  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-reap 7970  df-ap 7977  df-div 8056  df-inn 8335  df-n0 8584  df-z 8661  df-q 9014  df-rp 9044  df-fl 9580

This theorem is referenced by:  ceilqle  9624