ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  intfracq GIF version

Theorem intfracq 10333
Description: Decompose a rational number, expressed as a ratio, into integer and fractional parts. The fractional part has a tighter bound than that of intqfrac2 10332. (Contributed by NM, 16-Aug-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
intfracq.1 ๐‘ = (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘))
intfracq.2 ๐น = ((๐‘€ / ๐‘) โˆ’ ๐‘)
Assertion
Ref Expression
intfracq ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (0 โ‰ค ๐น โˆง ๐น โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) โˆง (๐‘€ / ๐‘) = (๐‘ + ๐น)))

Proof of Theorem intfracq
StepHypRef Expression
1 znq 9637 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„š)
2 intfracq.1 . . . . 5 ๐‘ = (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘))
3 intfracq.2 . . . . 5 ๐น = ((๐‘€ / ๐‘) โˆ’ ๐‘)
42, 3intqfrac2 10332 . . . 4 ((๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„š โ†’ (0 โ‰ค ๐น โˆง ๐น < 1 โˆง (๐‘€ / ๐‘) = (๐‘ + ๐น)))
51, 4syl 14 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (0 โ‰ค ๐น โˆง ๐น < 1 โˆง (๐‘€ / ๐‘) = (๐‘ + ๐น)))
65simp1d 1010 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค ๐น)
7 qfraclt1 10293 . . . . . . 7 ((๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„š โ†’ ((๐‘€ / ๐‘) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘))) < 1)
81, 7syl 14 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ / ๐‘) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘))) < 1)
92oveq2i 5899 . . . . . . . 8 ((๐‘€ / ๐‘) โˆ’ ๐‘) = ((๐‘€ / ๐‘) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘)))
103, 9eqtri 2208 . . . . . . 7 ๐น = ((๐‘€ / ๐‘) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘)))
1110a1i 9 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐น = ((๐‘€ / ๐‘) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘))))
12 simpr 110 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
1312nncnd 8946 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1412nnap0d 8978 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ # 0)
1513, 14dividapd 8756 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ / ๐‘) = 1)
168, 11, 153brtr4d 4047 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐น < (๐‘ / ๐‘))
17 qre 9638 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„š โ†’ (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„)
181, 17syl 14 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„)
191flqcld 10290 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
202, 19eqeltrid 2274 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2120zred 9388 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2218, 21resubcld 8351 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ / ๐‘) โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„)
233, 22eqeltrid 2274 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐น โˆˆ โ„)
24 nnre 8939 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2524adantl 277 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
26 nngt0 8957 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘)
2724, 26jca 306 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘))
2827adantl 277 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘))
29 ltmuldiv2 8845 . . . . . 6 ((๐น โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐น) < ๐‘ โ†” ๐น < (๐‘ / ๐‘)))
3023, 25, 28, 29syl3anc 1248 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท ๐น) < ๐‘ โ†” ๐น < (๐‘ / ๐‘)))
3116, 30mpbird 167 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท ๐น) < ๐‘)
323oveq2i 5899 . . . . . . 7 (๐‘ ยท ๐น) = (๐‘ ยท ((๐‘€ / ๐‘) โˆ’ ๐‘))
3318recnd 7999 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„‚)
3420zcnd 9389 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3513, 33, 34subdid 8384 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท ((๐‘€ / ๐‘) โˆ’ ๐‘)) = ((๐‘ ยท (๐‘€ / ๐‘)) โˆ’ (๐‘ ยท ๐‘)))
3632, 35eqtrid 2232 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท ๐น) = ((๐‘ ยท (๐‘€ / ๐‘)) โˆ’ (๐‘ ยท ๐‘)))
37 zcn 9271 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
3837adantr 276 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
3938, 13, 14divcanap2d 8762 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘€ / ๐‘)) = ๐‘€)
40 simpl 109 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
4139, 40eqeltrd 2264 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘€ / ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
42 nnz 9285 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4342adantl 277 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4443, 20zmulcld 9394 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
4541, 44zsubcld 9393 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘€ / ๐‘)) โˆ’ (๐‘ ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
4636, 45eqeltrd 2264 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท ๐น) โˆˆ โ„ค)
47 zltlem1 9323 . . . . 5 (((๐‘ ยท ๐น) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ ยท ๐น) < ๐‘ โ†” (๐‘ ยท ๐น) โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1)))
4846, 43, 47syl2anc 411 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท ๐น) < ๐‘ โ†” (๐‘ ยท ๐น) โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1)))
4931, 48mpbid 147 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท ๐น) โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1))
50 peano2rem 8237 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
5124, 50syl 14 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
5251adantl 277 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
53 lemuldiv2 8852 . . . 4 ((๐น โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐น) โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1) โ†” ๐น โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)))
5423, 52, 28, 53syl3anc 1248 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท ๐น) โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1) โ†” ๐น โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)))
5549, 54mpbid 147 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐น โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘))
565simp3d 1012 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ / ๐‘) = (๐‘ + ๐น))
576, 55, 563jca 1178 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (0 โ‰ค ๐น โˆง ๐น โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) โˆง (๐‘€ / ๐‘) = (๐‘ + ๐น)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158   class class class wbr 4015  โ€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7822  โ„cr 7823  0cc0 7824  1c1 7825   + caddc 7827   ยท cmul 7829   < clt 8005   โ‰ค cle 8006   โˆ’ cmin 8141   / cdiv 8642  โ„•cn 8932  โ„คcz 9266  โ„šcq 9632  โŒŠcfl 10281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-q 9633  df-rp 9667  df-fl 10283
This theorem is referenced by:  flqdiv  10334
  Copyright terms: Public domain W3C validator