Theorem intfracq 10446

Description: Decompose a rational number, expressed as a ratio, into integer and fractional parts. The fractional part has a tighter bound than that of intqfrac2 10445. (Contributed by NM, 16-Aug-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
intfracq.1	⊢ 𝑍 = (⌊‘(𝑀 / 𝑁))
intfracq.2	⊢ 𝐹 = ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
intfracq	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹)))

Proof of Theorem intfracq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znq 9727	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ)
2		intfracq.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (⌊‘(𝑀 / 𝑁))
3		intfracq.2	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍)
4	2, 3	intqfrac2 10445	. . . 4 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ → (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1 ∧ (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹)))
5	1, 4	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1 ∧ (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹)))
6	5	simp1d 1011	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐹)
7		qfraclt1 10404	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ → ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) < 1)
8	1, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) < 1)
9	2	oveq2i 5945	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍) = ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))
10	3, 9	eqtri 2225	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))
11	10	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 = ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
12		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
13	12	nncnd 9032	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
14	12	nnap0d 9064	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 # 0)
15	13, 14	dividapd 8841	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝑁) = 1)
16	8, 11, 15	3brtr4d 4075	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 < (𝑁 / 𝑁))
17		qre 9728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
18	1, 17	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
19	1	flqcld 10401	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ)
20	2, 19	eqeltrid 2291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑍 ∈ ℤ)
21	20	zred 9477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑍 ∈ ℝ)
22	18, 21	resubcld 8435	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍) ∈ ℝ)
23	3, 22	eqeltrid 2291	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ ℝ)
24		nnre 9025	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
25	24	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
26		nngt0 9043	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
27	24, 26	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
28	27	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
29		ltmuldiv2 8930	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑁 · 𝐹) < 𝑁 ↔ 𝐹 < (𝑁 / 𝑁)))
30	23, 25, 28, 29	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐹) < 𝑁 ↔ 𝐹 < (𝑁 / 𝑁)))
31	16, 30	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐹) < 𝑁)
32	3	oveq2i 5945	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 · 𝐹) = (𝑁 · ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍))
33	18	recnd 8083	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℂ)
34	20	zcnd 9478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑍 ∈ ℂ)
35	13, 33, 34	subdid 8468	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍)) = ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) − (𝑁 · 𝑍)))
36	32, 35	eqtrid 2249	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐹) = ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) − (𝑁 · 𝑍)))
37		zcn 9359	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
38	37	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
39	38, 13, 14	divcanap2d 8847	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) = 𝑀)
40		simpl 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
41	39, 40	eqeltrd 2281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ)
42		nnz 9373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
43	42	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
44	43, 20	zmulcld 9483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑍) ∈ ℤ)
45	41, 44	zsubcld 9482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) − (𝑁 · 𝑍)) ∈ ℤ)
46	36, 45	eqeltrd 2281	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐹) ∈ ℤ)
47		zltlem1 9412	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 · 𝐹) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝐹) < 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1)))
48	46, 43, 47	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐹) < 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1)))
49	31, 48	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1))
50		peano2rem 8321	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
51	24, 50	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
52	51	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
53		lemuldiv2 8937	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1) ↔ 𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁)))
54	23, 52, 28, 53	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1) ↔ 𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁)))
55	49, 54	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁))
56	5	simp3d 1013	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹))
57	6, 55, 56	3jca 1179	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  ‘cfv 5268  (class class class)co 5934  ℂcc 7905  ℝcr 7906  0cc0 7907  1c1 7908   + caddc 7910   · cmul 7912   < clt 8089   ≤ cle 8090   − cmin 8225   / cdiv 8727  ℕcn 9018  ℤcz 9354  ℚcq 9722  ⌊cfl 10392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024  ax-pre-mulext 8025  ax-arch 8026

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-po 4341  df-iso 4342  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-ap 8637  df-div 8728  df-inn 9019  df-n0 9278  df-z 9355  df-q 9723  df-rp 9758  df-fl 10394

This theorem is referenced by:  flqdiv  10447