Theorem intfracq 10572

Description: Decompose a rational number, expressed as a ratio, into integer and fractional parts. The fractional part has a tighter bound than that of intqfrac2 10571. (Contributed by NM, 16-Aug-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
intfracq.1	⊢ 𝑍 = (⌊‘(𝑀 / 𝑁))
intfracq.2	⊢ 𝐹 = ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
intfracq	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹)))

Proof of Theorem intfracq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znq 9848	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ)
2		intfracq.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (⌊‘(𝑀 / 𝑁))
3		intfracq.2	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍)
4	2, 3	intqfrac2 10571	. . . 4 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ → (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1 ∧ (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹)))
5	1, 4	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1 ∧ (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹)))
6	5	simp1d 1033	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐹)
7		qfraclt1 10530	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ → ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) < 1)
8	1, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) < 1)
9	2	oveq2i 6024	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍) = ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))
10	3, 9	eqtri 2250	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))
11	10	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 = ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
12		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
13	12	nncnd 9147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
14	12	nnap0d 9179	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 # 0)
15	13, 14	dividapd 8956	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝑁) = 1)
16	8, 11, 15	3brtr4d 4118	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 < (𝑁 / 𝑁))
17		qre 9849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
18	1, 17	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
19	1	flqcld 10527	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ)
20	2, 19	eqeltrid 2316	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑍 ∈ ℤ)
21	20	zred 9592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑍 ∈ ℝ)
22	18, 21	resubcld 8550	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍) ∈ ℝ)
23	3, 22	eqeltrid 2316	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ ℝ)
24		nnre 9140	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
25	24	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
26		nngt0 9158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
27	24, 26	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
28	27	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
29		ltmuldiv2 9045	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑁 · 𝐹) < 𝑁 ↔ 𝐹 < (𝑁 / 𝑁)))
30	23, 25, 28, 29	syl3anc 1271	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐹) < 𝑁 ↔ 𝐹 < (𝑁 / 𝑁)))
31	16, 30	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐹) < 𝑁)
32	3	oveq2i 6024	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 · 𝐹) = (𝑁 · ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍))
33	18	recnd 8198	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℂ)
34	20	zcnd 9593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑍 ∈ ℂ)
35	13, 33, 34	subdid 8583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · ((𝑀 / 𝑁) − 𝑍)) = ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) − (𝑁 · 𝑍)))
36	32, 35	eqtrid 2274	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐹) = ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) − (𝑁 · 𝑍)))
37		zcn 9474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
38	37	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
39	38, 13, 14	divcanap2d 8962	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) = 𝑀)
40		simpl 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
41	39, 40	eqeltrd 2306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ)
42		nnz 9488	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
43	42	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
44	43, 20	zmulcld 9598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑍) ∈ ℤ)
45	41, 44	zsubcld 9597	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) − (𝑁 · 𝑍)) ∈ ℤ)
46	36, 45	eqeltrd 2306	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐹) ∈ ℤ)
47		zltlem1 9527	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 · 𝐹) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝐹) < 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1)))
48	46, 43, 47	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐹) < 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1)))
49	31, 48	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1))
50		peano2rem 8436	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
51	24, 50	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
52	51	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
53		lemuldiv2 9052	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1) ↔ 𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁)))
54	23, 52, 28, 53	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝐹) ≤ (𝑁 − 1) ↔ 𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁)))
55	49, 54	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁))
56	5	simp3d 1035	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹))
57	6, 55, 56	3jca 1201	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ (𝑀 / 𝑁) = (𝑍 + 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℂcc 8020  ℝcr 8021  0cc0 8022  1c1 8023   + caddc 8025   · cmul 8027   < clt 8204   ≤ cle 8205   − cmin 8340   / cdiv 8842  ℕcn 9133  ℤcz 9469  ℚcq 9843  ⌊cfl 10518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-q 9844  df-rp 9879  df-fl 10520

This theorem is referenced by:  flqdiv  10573