Theorem prarloclem 7868

Description: A special case of Lemma 6.16 from [BauerTaylor], p. 32. Given evenly spaced rational numbers from 𝐴 to 𝐴 +_Q (𝑁 ·_Q 𝑃) (which are in the lower and upper cuts, respectively, of a real number), there are a pair of numbers, two positions apart in the even spacing, which straddle the cut. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclem	⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝐿   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗   𝑈,𝑗

Proof of Theorem prarloclem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prarloclem5 7867	. 2 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
2		prarloclem4 7865	. . . 4 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ 𝑃 ∈ Q) → (∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
3	2	3ad2antr2 1194	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁)) → (∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
4	3	3adant3 1048	. 2 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → (∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +o 2o) +o 𝑥), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
5	1, 4	mpd 13	1 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) ∧ (𝑁 ∈ N ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 1o <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  ⟨cop 3712   class class class wbr 4130  ωcom 4737  (class class class)co 6085  1_oc1o 6680  2_oc2o 6681   +_o coa 6684  [cec 6805  Ncnpi 7639   <_N clti 7642   ~_Q ceq 7646  Qcnq 7647   +_Q cplq 7649   ·_Q cmq 7650   ~_Q0 ceq0 7653   +_Q0 cplq0 7656   ·_Q0 cmq0 7657  Pcnp 7658

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-eprel 4434  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6807  df-ec 6809  df-qs 6813  df-ni 7671  df-pli 7672  df-mi 7673  df-lti 7674  df-plpq 7711  df-mpq 7712  df-enq 7714  df-nqqs 7715  df-plqqs 7716  df-mqqs 7717  df-ltnqqs 7720  df-enq0 7791  df-nq0 7792  df-0nq0 7793  df-plq0 7794  df-mq0 7795  df-inp 7833

This theorem is used by:  prarloc  7870