ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prnmaddl GIF version

Theorem prnmaddl 7520
Description: A lower cut has no largest member. Addition version. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prnmaddl ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ∃𝑥Q (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐿)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐿   𝑥,𝑈

Proof of Theorem prnmaddl
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prnmaxl 7518 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ∃𝑦𝐿 𝐵 <Q 𝑦)
2 ltexnqi 7439 . . . 4 (𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥Q (𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦)
3 eleq1a 2261 . . . . 5 (𝑦𝐿 → ((𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦 → (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐿))
43reximdv 2591 . . . 4 (𝑦𝐿 → (∃𝑥Q (𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦 → ∃𝑥Q (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐿))
52, 4syl5 32 . . 3 (𝑦𝐿 → (𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥Q (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐿))
65rexlimiv 2601 . 2 (∃𝑦𝐿 𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥Q (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐿)
71, 6syl 14 1 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ∃𝑥Q (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐿)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2160  wrex 2469  cop 3610   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897  Qcnq 7310   +Q cplq 7312   <Q cltq 7315  Pcnp 7321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-1o 6442  df-oadd 6446  df-omul 6447  df-er 6560  df-ec 6562  df-qs 6566  df-ni 7334  df-pli 7335  df-mi 7336  df-lti 7337  df-plpq 7374  df-mpq 7375  df-enq 7377  df-nqqs 7378  df-plqqs 7379  df-mqqs 7380  df-1nqqs 7381  df-ltnqqs 7383  df-inp 7496
This theorem is referenced by:  ltexprlemrl  7640  addcanprleml  7644
  Copyright terms: Public domain W3C validator