Theorem prnmaddl 7103

Description: A lower cut has no largest member. Addition version. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prnmaddl	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐿)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐿   𝑥,𝑈

Proof of Theorem prnmaddl

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prnmaxl 7101	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ∃𝑦 ∈ 𝐿 𝐵 <Q 𝑦)
2		ltexnqi 7022	. . . 4 ⊢ (𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦)
3		eleq1a 2160	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐿 → ((𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦 → (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐿))
4	3	reximdv 2475	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐿 → (∃𝑥 ∈ Q (𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐿))
5	2, 4	syl5 32	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐿 → (𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐿))
6	5	rexlimiv 2484	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐿 𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐿)
7	1, 6	syl 14	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  ∃wrex 2361  ⟨cop 3453   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666  Qcnq 6893   +_Q cplq 6895   <_Q cltq 6898  Pcnp 6904

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-eprel 4125  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-1o 6195  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ec 6308  df-qs 6312  df-ni 6917  df-pli 6918  df-mi 6919  df-lti 6920  df-plpq 6957  df-mpq 6958  df-enq 6960  df-nqqs 6961  df-plqqs 6962  df-mqqs 6963  df-1nqqs 6964  df-ltnqqs 6966  df-inp 7079

This theorem is referenced by:  ltexprlemrl  7223  addcanprleml  7227