Theorem prnmaddl 6950

Description: A lower cut has no largest member. Addition version. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prnmaddl	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐿)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐿   𝑥,𝑈

Proof of Theorem prnmaddl

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prnmaxl 6948	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ∃𝑦 ∈ 𝐿 𝐵 <Q 𝑦)
2		ltexnqi 6869	. . . 4 ⊢ (𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦)
3		eleq1a 2154	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐿 → ((𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦 → (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐿))
4	3	reximdv 2468	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐿 → (∃𝑥 ∈ Q (𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐿))
5	2, 4	syl5 32	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐿 → (𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐿))
6	5	rexlimiv 2477	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐿 𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐿)
7	1, 6	syl 14	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  ∃wrex 2354  ⟨cop 3425   class class class wbr 3811  (class class class)co 5589  Qcnq 6740   +_Q cplq 6742   <_Q cltq 6745  Pcnp 6751

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-eprel 4079  df-id 4083  df-iord 4156  df-on 4158  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-fv 4975  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-1st 5844  df-2nd 5845  df-recs 6000  df-irdg 6065  df-1o 6111  df-oadd 6115  df-omul 6116  df-er 6220  df-ec 6222  df-qs 6226  df-ni 6764  df-pli 6765  df-mi 6766  df-lti 6767  df-plpq 6804  df-mpq 6805  df-enq 6807  df-nqqs 6808  df-plqqs 6809  df-mqqs 6810  df-1nqqs 6811  df-ltnqqs 6813  df-inp 6926

This theorem is referenced by:  ltexprlemrl  7070  addcanprleml  7074