Theorem prnmaddl 7552

Description: A lower cut has no largest member. Addition version. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prnmaddl	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐿)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐿   𝑥,𝑈

Proof of Theorem prnmaddl

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prnmaxl 7550	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ∃𝑦 ∈ 𝐿 𝐵 <Q 𝑦)
2		ltexnqi 7471	. . . 4 ⊢ (𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦)
3		eleq1a 2265	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐿 → ((𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦 → (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐿))
4	3	reximdv 2595	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐿 → (∃𝑥 ∈ Q (𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐿))
5	2, 4	syl5 32	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐿 → (𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐿))
6	5	rexlimiv 2605	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐿 𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐿)
7	1, 6	syl 14	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∃wrex 2473  ⟨cop 3622   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919  Qcnq 7342   +_Q cplq 7344   <_Q cltq 7347  Pcnp 7353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-eprel 4321  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-omul 6476  df-er 6589  df-ec 6591  df-qs 6595  df-ni 7366  df-pli 7367  df-mi 7368  df-lti 7369  df-plpq 7406  df-mpq 7407  df-enq 7409  df-nqqs 7410  df-plqqs 7411  df-mqqs 7412  df-1nqqs 7413  df-ltnqqs 7415  df-inp 7528

This theorem is referenced by:  ltexprlemrl  7672  addcanprleml  7676