Theorem prnmaddl 7431

Description: A lower cut has no largest member. Addition version. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prnmaddl	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐿)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐿   𝑥,𝑈

Proof of Theorem prnmaddl

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prnmaxl 7429	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ∃𝑦 ∈ 𝐿 𝐵 <Q 𝑦)
2		ltexnqi 7350	. . . 4 ⊢ (𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦)
3		eleq1a 2238	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐿 → ((𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦 → (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐿))
4	3	reximdv 2567	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐿 → (∃𝑥 ∈ Q (𝐵 +Q 𝑥) = 𝑦 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐿))
5	2, 4	syl5 32	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐿 → (𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐿))
6	5	rexlimiv 2577	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐿 𝐵 <Q 𝑦 → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐿)
7	1, 6	syl 14	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ∃𝑥 ∈ Q (𝐵 +Q 𝑥) ∈ 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∃wrex 2445  ⟨cop 3579   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  Qcnq 7221   +_Q cplq 7223   <_Q cltq 7226  Pcnp 7232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-pli 7246  df-mi 7247  df-lti 7248  df-plpq 7285  df-mpq 7286  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-plqqs 7290  df-mqqs 7291  df-1nqqs 7292  df-ltnqqs 7294  df-inp 7407

This theorem is referenced by:  ltexprlemrl  7551  addcanprleml  7555